hemicontinuidad

En matemáticas , la noción de continuidad de funciones no es inmediatamente extensible a funciones con valores de conjuntos entre dos conjuntos A y B. Los conceptos duales de hemicontinuidad superior y hemicontinuidad inferior facilitan dicha extensión. Se dice que una función de valor establecido que tiene ambas propiedades es continua en analogía con la propiedad del mismo nombre para funciones de un solo valor.

Para explicar ambas nociones, considere una secuencia a de puntos en un dominio y una secuencia b de puntos en el rango. Decimos que b corresponde a a si cada punto de b está contenido en la imagen del punto correspondiente en a .

• La hemicontinuidad superior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier secuencia convergente b que corresponda a a , la imagen del límite de a contenga el límite de b .
• La hemicontinuidad inferior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier punto x en la imagen del límite de a , exista una secuencia b que corresponda a una subsecuencia de a , que converja a x .

Ejemplos

Esta función de valores conjuntos es hemicontinua superior en todas partes, pero no hemicontinua inferior en  : para una secuencia de puntos que converge tenemos un ( ) tal que ninguna secuencia de converge hacia donde está cada uno ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{m}\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in f(x)}$ ${\displaystyle \left(y_{m}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{m}}$ ${\displaystyle f\left(x_{m}\right).}$

Esta función con valores de conjunto es hemicontinua inferior en todas partes, pero no hemicontinua superior en porque el gráfico (conjunto) no está cerrado. ${\displaystyle x,}$

La imagen de la derecha muestra una función que no es hemicontinua inferior en x . Para ver esto, sea a una secuencia que converge a x desde la izquierda. La imagen de x es una línea vertical que contiene algún punto ( x , y ). Pero cada secuencia b que corresponde a a está contenida en la línea horizontal inferior, por lo que no puede converger a y . Por el contrario, la función es hemicontinua superior en todas partes. Por ejemplo, considerando cualquier secuencia a que converge a x desde la izquierda o desde la derecha, y cualquier secuencia correspondiente b , el límite de b está contenido en la línea vertical que es la imagen del límite de a .

La imagen de la izquierda muestra una función que no es hemicontinua superior en x . Para ver esto, sea a una secuencia que converge a x desde la derecha. La imagen de a contiene líneas verticales, por lo que existe una secuencia b correspondiente en la que todos los elementos están acotados desde f ( x ). La imagen del límite de a contiene un solo punto f ( x ), por lo que no contiene el límite de b . Por el contrario, esa función es hemicontinua inferior en todas partes. Por ejemplo, para cualquier secuencia a que converge a x , desde la izquierda o desde la derecha, f ( x ) contiene un solo punto y existe una secuencia b correspondiente que converge a f ( x ).

Definición formal: hemicontinuidad superior

Se dice que una función con valores conjuntos es hemicontinua superior en el punto si, para cualquier abierto con , existe una vecindad de tal que para todos es un subconjunto de ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V\subset B}$ ${\displaystyle \Gamma (a)\subset V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V.}$

Caracterización secuencial

Para una función de valores establecidos con valores cerrados, si es hemicontinua superior en entonces para todas las secuencias en y todas las secuencias tales que ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),}$

si y entonces ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{m}=a}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=b}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a).}$

Como ejemplo, mire la imagen de la derecha y considere la secuencia a en el dominio que converge a x (ya sea desde la izquierda o desde la derecha). Entonces, cualquier secuencia b que satisfaga los requisitos converge a algún punto en f ( x ).

Si B es compacto, lo contrario también es cierto.

Teorema del gráfico cerrado

La gráfica de una función con valores conjuntos es el conjunto definido por ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.}$

Si es una función hemicontinua superior con valores de conjunto con dominio cerrado (es decir, el conjunto de puntos donde no está el conjunto vacío está cerrado) y valores cerrados (es decir, está cerrado para todos ), entonces está cerrada. Si es compacto, entonces lo contrario también es cierto. ^[1] ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma )}$ ${\displaystyle B}$

Definición formal: hemicontinuidad inferior

Se dice que una función con valores de conjunto es hemicontinua inferior en el punto si para cualquier conjunto abierto que se cruza existe una vecindad tal que se cruza para todos (aquí intersección significa intersección no vacía ). ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\cap S\neq \varnothing }$

Caracterización secuencial

${\displaystyle \Gamma :A\to B}$es hemicontinua inferior en si y sólo si para cada secuencia en tal que en y todos existe una subsecuencia de y también una secuencia tal que y para cada ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a),}$ ${\displaystyle \left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }\to b}$ ${\displaystyle b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)}$ ${\displaystyle k.}$

Teorema del gráfico abierto

Una función con valores de conjunto tiene secciones inferiores abiertas si el conjunto está abierto para cada uno. Si los valores son todos conjuntos abiertos, se dice que tiene secciones superiores abiertas . ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Si tiene un gráfico abierto, entonces tiene secciones superiores e inferiores abiertas y si tiene secciones inferiores abiertas, entonces es semicontinuo inferior. ^[2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma ),}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

El teorema de la gráfica abierta dice que si es una función de valores conjuntos con valores convexos y secciones superiores abiertas, entonces tiene una gráfica abierta si y solo si es hemicontinua inferior. ^[2] ${\displaystyle \Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Propiedades

Las operaciones de teoría de conjuntos, algebraicas y topológicas sobre funciones con valores de conjuntos (como unión, composición, suma, casco convexo, cierre) generalmente preservan el tipo de continuidad. Pero esto debe tomarse con el debido cuidado ya que, por ejemplo, existe un par de funciones de valores conjuntos hemicontinuas inferiores cuya intersección no es hemicontinua inferior. Esto se puede solucionar fortaleciendo las propiedades de continuidad: si una de esas multifunción hemicontinuas inferiores tiene un gráfico abierto, entonces su intersección es nuevamente hemicontinua inferior.

Es crucial para el análisis de conjuntos de valores (en vista de las aplicaciones) la investigación de selecciones de un solo valor y aproximaciones a funciones de conjuntos de valores. Por lo general, las funciones hemicontinuas inferiores con valores de conjuntos admiten selecciones de un solo valor ( teorema de selección de Michael , teorema de selección direccional continua de Bressan-Colombo, selección de mapas descomponibles de Fryszkowski). Asimismo, los mapas hemicontinuos superiores admiten aproximaciones (p. ej., el teorema de Ancel-Granas-Górniewicz-Kryszewski).

Implicaciones para la continuidad

Si una función con valores establecidos es hemicontinua superior y hemicontinua inferior, se dice que es continua. Una función continua es en todos los casos hemicontinua superior e inferior.

Otros conceptos de continuidad

La hemicontinuidad superior e inferior podría verse como una continuidad habitual:

${\displaystyle \Gamma :A\to B}$es menor [resp. superior] hemicontinuo si y sólo si el mapeo es continuo donde el hiperespacio P(B) ha sido dotado con el inferior [resp. superior] Topología de Vietoris . ${\displaystyle \Gamma :A\to P(B)}$

(Para la noción de hiperespacio, compare también el conjunto de potencias y el espacio funcional ).

Usando la uniformidad de Hausdorff inferior y superior también podemos definir los llamados mapas semicontinuos superior e inferior en el sentido de Hausdorff (también conocidos como mapas semicontinuos métricamente inferior/superior ).

Ver también

• Inclusión diferencial
• Distancia de Hausdorff  : distancia entre dos subconjuntos de espacio métrico
• Semicontinuidad  : propiedad de funciones que es más débil que la continuidad.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Proposición 1.4.8 de Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos. Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
2. Zhou, JX (agosto de 1995). "Sobre la existencia de equilibrio para las economías abstractas". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 193 (3): 839–858. doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (tercera ed.). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales: mapas de valores conjuntos y teoría de la viabilidad. Grundl. der Matemáticas. Wiss. vol. 264. Berlín: Springer. ISBN 0-387-13105-1.
• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos. Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
• Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivaluadas. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Verde, Jerry R. (1995). Análisis Microeconómico. Nueva York: Oxford University Press. págs. 949–951. ISBN 0-19-507340-1.
• Vale, Efe A. (2007). Análisis Real con Aplicaciones Económicas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 216–226. ISBN 978-0-691-11768-3.