Modelo clásico de Heisenberg

El modelo clásico de Heisenberg , desarrollado por Werner Heisenberg , es el caso del modelo n-vectorial , uno de los modelos utilizados en física estadística para modelar el ferromagnetismo y otros fenómenos. ${\displaystyle n=3}$

Definición

El modelo clásico de Heisenberg se puede formular de la siguiente manera: tome una red de dimensión d y coloque un conjunto de espines de longitud unitaria,

${\displaystyle {\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)}$,

en cada nodo de la red.

El modelo se define mediante el siguiente hamiltoniano :

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{if }}i,j{\mbox{ are neighbors}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}}$

es un acoplamiento entre espines.

Propiedades

• El formalismo matemático general utilizado para describir y resolver el modelo de Heisenberg y ciertas generalizaciones se desarrolla en el artículo sobre el modelo de Potts .
• En el límite continuo el modelo de Heisenberg (2) da la siguiente ecuación de movimiento

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.}$

Esta ecuación se denomina ecuación ferromagnética clásica continua de Heisenberg o, más brevemente, modelo de Heisenberg y es integrable en el sentido de la teoría de solitones. Admite varias generalizaciones integrables y no integrables, como la ecuación de Landau-Lifshitz , la ecuación de Ishimori , etc.

Una dimensión

• En el caso de una interacción de largo alcance, el límite termodinámico está bien definido si ; la magnetización permanece cero si ; pero la magnetización es positiva, a una temperatura suficientemente baja, si (límites infrarrojos). ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$
• Como en cualquier modelo de n-vectores de "vecino más cercano" con condiciones de contorno libres, si el campo externo es cero, existe una solución exacta simple.

Dos dimensiones

• En el caso de una interacción de largo alcance , el límite termodinámico está bien definido si ; la magnetización permanece cero si ; pero la magnetización es positiva a una temperatura suficientemente baja si (límites infrarrojos). ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$ ${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Polyakov ha conjeturado que, a diferencia del modelo XY clásico , no existe fase dipolar para ningún ; es decir, a temperaturas distintas de cero las correlaciones se agrupan exponencialmente rápido. ^[1] ${\displaystyle T>0}$

Tres dimensiones y más

Independientemente del rango de interacción, a una temperatura suficientemente baja la magnetización es positiva.

Conjeturalmente, en cada uno de los estados extremos de baja temperatura las correlaciones truncadas decaen algebraicamente.

Véase también

• Modelo de Heisenberg (cuántico)
• Modelo de Ising
• Modelo XY clásico
• Magnetismo
• Ferromagnetismo
• Ecuación de Landau-Lifshitz
• Ecuación de Ishimori

Referencias

1. Polyakov, AM (1975). "Interacción de partículas de goldstone en dos dimensiones. Aplicaciones a ferroimanes y campos masivos de Yang-Mills". Phys. Lett . B 59 (1): 79–81. Bibcode :1975PhLB...59...79P. doi :10.1016/0370-2693(75)90161-6.

Enlaces externos

• Ausencia de ferromagnetismo o antiferromagnetismo en modelos isótropos de Heisenberg unidimensionales o bidimensionales Archivado el 8 de junio de 2020 en Wayback Machine
• El modelo de Heisenberg: una bibliografía
• Simulación de Monte Carlo de los modelos Heisenberg, XY e Ising con gráficos 3D (requiere navegador compatible con WebGL)