Modelo Landau-Lifshitz

En física del estado sólido , la ecuación de Landau-Lifshitz ( LLE ), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz , es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de 1 variable de tiempo y 1, 2 o 3 variables espaciales. .

Ecuación de Landau-Lifshitz

El LLE describe un imán anisotrópico . La ecuación se describe en (Faddeev & Takhtajan 2007, capítulo 8) de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S , en otras palabras, una función en R ^{1+ n} que toma valores en R ³ . La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3 , que generalmente se supone que es diagonal ; eso es, . Está dada por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano. ${\displaystyle J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)}$

(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

En dimensiones 1+1 esta ecuación es

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

En 2+1 dimensiones esta ecuación toma la forma

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)}$

que es el LLE (2+1)-dimensional. Para el caso (3+1)-dimensional, LLE parece

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

Reducciones integrables

En el caso general LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:

a) en las dimensiones 1+1, es decir la Ec. (3), es integrable

b) cuando . En este caso, el LLE (3) de dimensión (1+1) se convierte en la ecuación clásica continua del ferroimán de Heisenberg (ver, por ejemplo, el modelo de Heisenberg (clásico) ), que ya es integrable. ${\displaystyle J=0}$

Ver también

• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Modelo de Heisenberg (clásico)
• onda de giro
• Micromagnetismo
• ecuación de ishimori
• Imán
• Ferromagnetismo

Referencias

• Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Métodos hamiltonianos en la teoría de solitones , Clásicos de las matemáticas, Berlín: Springer, págs. x+592, doi :10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN 978-3-540-69843-2, señor  2348643
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Ecuaciones de Landau-Lifshitz , Fronteras de la investigación con la Academia de Ciencias de China, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• Kosevich AM , Ivanov BA, Kovalev AS Ondas de magnetización no lineales. Solitones dinámicos y topológicos. – Kiev: Naukova Dumka , 1988. – 192 p.