modelo de n vectores

En mecánica estadística , el modelo de n -vectores o modelo O( n ) es un sistema simple de espines que interactúan en una red cristalina . Fue desarrollado por H. Eugene Stanley como una generalización del modelo de Ising , el modelo XY y el modelo de Heisenberg . ^[1] En el modelo de n vectores, los espines clásicos de n componentes de longitud unitaria se colocan en los vértices de una red de d dimensiones. El hamiltoniano del modelo n -vector viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle H=K{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}}$

donde la suma abarca todos los pares de espines vecinos y denota el producto interno euclidiano estándar. Los casos especiales del modelo n -vector son: ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle n=0}$: La caminata que evita uno mismo ^{[2] [3]}

${\displaystyle n=1}$: El modelo de Ising

${\displaystyle n=2}$: El modelo XY

${\displaystyle n=3}$: El modelo de Heisenberg

${\displaystyle n=4}$: Modelo de juguete para el sector de Higgs del modelo estándar.

El formalismo matemático general utilizado para describir y resolver el modelo de n vectores y ciertas generalizaciones se desarrollan en el artículo sobre el modelo de Potts .

Reformulación como modelo de bucle.

En una pequeña expansión de acoplamiento, el peso de una configuración se puede reescribir como

${\displaystyle e^{H}{\underset {K\to 0}{\sim }}\prod _{\langle i,j\rangle }\left(1+K\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)}$

La integración sobre el vector da lugar a expresiones como ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle \int d\mathbf {s} _{i}\ \prod _{j=1}^{4}\left(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)=\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\right)\left(\mathbf {s} _{3}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)}$

que se interpreta como una suma de las 3 formas posibles de conectar los vértices por pares usando 2 líneas que pasan por el vértice . Al integrar todos los vectores, las líneas correspondientes se combinan en bucles cerrados y la función de partición se convierte en una suma de configuraciones de bucle: ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle Z=\sum _{L\in {\mathcal {L}}}K^{E(L)}n^{|L|}}$

donde está el conjunto de configuraciones de bucles, con el número de bucles en la configuración y el número total de bordes de la red. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E(L)}$

En dos dimensiones, es común suponer que los bucles no se cruzan: ya sea eligiendo que la red sea trivalente, ya sea considerando el modelo en una fase diluida donde los cruces son irrelevantes, o prohibiendo los cruces a mano. El modelo resultante de bucles que no se cruzan se puede estudiar utilizando potentes métodos algebraicos y se conoce exactamente su espectro. ^[4] Además, el modelo está estrechamente relacionado con el modelo de conglomerado aleatorio , que también puede formularse en términos de bucles no cruzados. Se sabe mucho menos sobre modelos en los que se permite que los bucles se crucen y en más de dos dimensiones.

Límite continuo

Se puede entender que el límite continuo es el modelo sigma . Esto se puede obtener fácilmente escribiendo el hamiltoniano en términos del producto

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1}$

¿Dónde está el término "magnetización masiva". Eliminando este término como un factor constante general agregado a la energía, el límite se obtiene definiendo la diferencia finita de Newton como ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1}$

${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

en ubicaciones de celosía vecinas Luego, en el límite , donde está el gradiente en la dirección. Así, en el límite, ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle (i,j)\to \mu }$

${\displaystyle -\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$

que puede reconocerse como la energía cinética del campo en el modelo sigma . Todavía tenemos dos posibilidades para el espín : o se toma de un conjunto discreto de espines (el modelo de Potts ) o se toma como un punto en la esfera ; es decir, es un vector de longitud unitaria valorado continuamente. En el último caso, esto se conoce como modelo sigma no lineal, ya que el grupo de rotación es un grupo de isometrías de y, obviamente, no es "plano", es decir, no es un campo lineal . ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Referencias

1. Stanley, ÉL (1968). "Dependencia de las propiedades críticas de la dimensionalidad de los giros". Física. Rev. Lett . 20 (12): 589–592. Código bibliográfico : 1968PhRvL..20..589S. doi :10.1103/PhysRevLett.20.589.
2. de Gennes, PG (1972). "Exponentes del problema del volumen excluido derivado del método de Wilson". Física. Letón. A . 38 (5): 339–340. Código bibliográfico : 1972PhLA...38..339D. doi :10.1016/0375-9601(72)90149-1.
3. Gaspari, George; Rudnick, José (1986). "Modelo de n-vectores en el límite n → 0 y las estadísticas de sistemas poliméricos lineales: una teoría de Ginzburg-Landau". Física. Rev. B. 33 (5): 3295–3305. Código bibliográfico : 1986PhRvB..33.3295G. doi : 10.1103/PhysRevB.33.3295. PMID  9938709.
4. Jacobsen, Jesper Lykke; Ribault, Sylvain; Saleur, Hubert (3 de mayo de 2023). "Espacios de estados de los modelos bidimensionales $ O (n) $ y Potts". Física SciPost . 14 (5). arXiv : 2208.14298 . doi : 10.21468/scipostphys.14.5.092 . ISSN  2542-4653.