En matemáticas , los grupos aleatorios son grupos determinados obtenidos mediante una construcción probabilística . Fueron introducidos por Misha Gromov para responder a preguntas como "¿Cómo es un grupo típico?"
Sucede que, una vez que se da una definición precisa, los grupos aleatorios satisfacen algunas propiedades con una probabilidad muy alta, mientras que otras propiedades fallan con una probabilidad muy alta. Por ejemplo, los grupos muy probablemente aleatorios son grupos hiperbólicos . En este sentido, se puede decir que "la mayoría de los grupos son hiperbólicos".
La definición de grupos aleatorios depende de un modelo probabilístico sobre el conjunto de grupos posibles. Varios de estos modelos probabilísticos dan lugar a nociones diferentes (pero relacionadas) de grupos aleatorios.
Cualquier grupo puede definirse mediante una presentación de grupo que involucra generadores y relaciones. Por ejemplo, el grupo abeliano tiene una presentación con dos generadores y , y la relación , o equivalentemente . La idea principal de los grupos aleatorios es comenzar con un número fijo de generadores de grupo , e imponer relaciones de la forma donde cada una es una palabra aleatoria que involucra las letras y sus inversas formales . Especificar un modelo de grupos aleatorios es especificar una forma precisa en la que se eligen , y las relaciones aleatorias .
Una vez elegidas las relaciones aleatorias , el grupo aleatorio resultante se define de la forma estándar para presentaciones de grupos, es decir: es el cociente del grupo libre con generadores , por el subgrupo normal generado por las relaciones vistas como elementos de :
El modelo más simple de grupos aleatorios es el modelo de pocos relaciones . En este modelo, se fijan una cantidad de generadores y una cantidad de relaciones . Se fija un parámetro adicional (la longitud de las relaciones), que normalmente se considera muy grande.
Entonces, el modelo consiste en elegir las relaciones al azar, de manera uniforme e independiente entre todas las posibles palabras reducidas de longitud que involucren como máximo las letras y sus inversas formales .
Este modelo es especialmente interesante cuando la longitud de la relación tiende a infinito: la probabilidad tiende a un grupo aleatorio en este modelo es hiperbólica y satisface otras propiedades interesantes.
Se han definido modelos más refinados de grupos aleatorios.
Por ejemplo, en el modelo de densidad , se permite que el número de relaciones crezca con la longitud de las relaciones. Entonces se produce un fenómeno de "transición de fase" brusco: si el número de relaciones es mayor que un umbral, el grupo aleatorio "colapsa" (porque las relaciones permiten demostrar que cualquier palabra es igual a cualquier otra), mientras que por debajo del umbral el grupo aleatorio resultante es infinito e hiperbólico.
Las construcciones de grupos aleatorios también pueden modificarse de maneras específicas para construir grupos con propiedades particulares. Por ejemplo, Gromov utilizó esta técnica para construir nuevos grupos que son contraejemplos de una extensión de la conjetura de Baum-Connes .
