Grupo simétrico afín

Estructura matemática

El mosaico triangular regular del plano, cuyas simetrías están descritas por el grupo simétrico afín S̃ ₃

Los grupos simétricos afines son una familia de estructuras matemáticas que describen las simetrías de la recta numérica y el mosaico triangular regular del plano, así como objetos relacionados de dimensiones superiores. Además de esta descripción geométrica, los grupos simétricos afines se pueden definir de otras maneras: como colecciones de permutaciones (reordenamientos) de los números enteros ( ..., −2, −1, 0, 1, 2,... ) que son periódicos en cierto sentido, o en términos puramente algebraicos como un grupo con ciertos generadores y relaciones . Se estudian en combinatoria y teoría de la representación .

Un grupo simétrico finito consta de todas las permutaciones de un conjunto finito. Cada grupo simétrico afín es una extensión infinita de un grupo simétrico finito. Muchas propiedades combinatorias importantes de los grupos simétricos finitos se pueden extender a los grupos simétricos afines correspondientes. Las estadísticas de permutación , como descensos e inversiones, se pueden definir en el caso afín. Como en el caso finito, las definiciones combinatorias naturales de estas estadísticas también tienen una interpretación geométrica.

Los grupos simétricos afines tienen estrechas relaciones con otros objetos matemáticos, incluidos patrones de malabarismo y ciertos grupos de reflexión complejos . Muchas de sus propiedades combinatorias y geométricas se extienden a la familia más amplia de grupos afines de Coxeter .

Definiciones

El grupo simétrico afín puede definirse de manera equivalente como un grupo abstracto mediante generadores y relaciones, o en términos de modelos geométricos y combinatorios concretos. ^[1]

Definición algebraica

Diagramas de Dynkin para grupos simétricos afines en 2 y más de 2 generadores

Una forma de definir grupos es mediante generadores y relaciones . En este tipo de definición, los generadores son un subconjunto de elementos de grupo que, cuando se combinan, producen todos los demás elementos. Las relaciones de la definición son un sistema de ecuaciones que determinan cuándo dos combinaciones de generadores son iguales. ^{[a] [2]} De esta manera, el grupo simétrico afín es generado por un conjunto ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

$${\displaystyle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$$

n ${\displaystyle n\geq 3}$

1. ${\displaystyle s_{i}^{2}=1}$(los generadores son involuciones ),
2. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$si j no es uno de , indica que para estos pares de generadores, la operación de grupo es conmutativa , y ${\displaystyle i-1,i,i+1}$
3. ${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}}$.

En las relaciones anteriores, los índices se toman módulo n , de modo que la tercera relación incluye como caso particular . (La segunda y tercera relación a veces se denominan relaciones trenzadas . ^[3] ) Cuando , el grupo simétrico afín es el grupo diédrico infinito generado por dos elementos sujetos únicamente a las relaciones . ^[4] ${\displaystyle s_{0}s_{n-1}s_{0}=s_{n-1}s_{0}s_{n-1}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$ ${\displaystyle s_{0},s_{1}}$ ${\displaystyle s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1}$

Estas relaciones se pueden reescribir en la forma especial que define los grupos Coxeter , por lo que los grupos simétricos afines son grupos Coxeter, con sus conjuntos generadores Coxeter. ^[4] Cada grupo de Coxeter puede representarse mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , en el que los vértices corresponden a generadores y las aristas codifican las relaciones entre ellos. ^[5] Para , el diagrama de Coxeter-Dynkin de es el n -ciclo (donde las aristas corresponden a las relaciones entre pares de generadores consecutivos y la ausencia de una arista entre otros pares de generadores indica que conmutan), mientras que para él consiste de dos nodos unidos por un borde etiquetado . ^{[6] [4]} ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \infty }$

Definición geométrica

Cuando n = 3 , el espacio V es un plano bidimensional y las reflexiones son a través de líneas. Los puntos de la red raíz Λ están rodeados por un círculo.

En el espacio euclidiano con coordenadas , el conjunto V de puntos para los cuales forma un (hiper)plano , un subespacio ( n − 1) -dimensional. Para cada par de elementos distintos i y j de y cada entero k , el conjunto de puntos en V que satisfacen forma un subespacio ( n − 2) -dimensional dentro de V , y hay un reflejo único de V que fija este subespacio. Entonces, el grupo simétrico afín puede realizarse geométricamente como una colección de mapas de V a sí mismo, las composiciones de estas reflexiones. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}=k}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Dentro de V , el subconjunto de puntos con coordenadas enteras forma la red raíz , Λ . Es el conjunto de todos los vectores enteros tales que . ^[8] Cada reflexión preserva esta red, por lo que la red es preservada por todo el grupo. ^[9] ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=0}$

Los subespacios fijos de estas reflexiones dividen a V en simples congruentes , llamados nichos . ^[10] La situación cuando se muestra en la figura; en este caso, la red de raíces es una red triangular, las líneas reflectantes dividen a V en nichos de triángulos equiláteros y las raíces son los centros de hexágonos no superpuestos formados por seis nichos triangulares. ^{[11] [12]} ${\displaystyle n=3}$

Reflexiones y nichos para el grupo simétrico afín. La alcoba principal está sombreada.

Para traducir entre las definiciones geométrica y algebraica, se fija un nicho y se consideran los n hiperplanos que forman su límite. Las reflexiones a través de estos hiperplanos límite pueden identificarse con los generadores Coxeter. En particular, hay un nicho único (el nicho fundamental ) que consta de puntos tales que , que está delimitado por los hiperplanos ..., y que se ilustra en el caso . Porque , uno puede identificar la reflexión con el generador Coxeter , y también identificar la reflexión con el generador . ^[10] ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{1}-1}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}=0,}$ ${\displaystyle x_{2}-x_{3}=0,}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{n}=1,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{i+1}=0}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{n}=1}$ ${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$

Definición combinatoria

Los elementos del grupo simétrico afín pueden realizarse como un grupo de permutaciones periódicas de los números enteros. En particular, digamos que una función es una permutación afín si ${\displaystyle u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

• es una biyección (cada número entero aparece como el valor de exactamente uno ), ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle u(x+n)=u(x)+n}$para todos los números enteros x (la función es equivariante bajo desplazamiento por ), y ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle u(1)+u(2)+\cdots +u(n)=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$, el enésimo número triangular . ${\displaystyle n}$

Para cada permutación afín y, más generalmente, para cada biyección equivalente a desplazamiento, todos los números deben ser módulos distintos n . Una permutación afín está determinada únicamente por su notación de ventana , porque todos los demás valores de se pueden encontrar cambiando estos valores. Por lo tanto, las permutaciones afines también se pueden identificar con tuplas de números enteros que contienen un elemento de cada clase de congruencia módulo n y suman a . ^[13] ${\displaystyle u(1),\ldots ,u(n)}$ ${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]}$ ${\displaystyle 1+2+\cdots +n}$

Para traducir entre las definiciones combinatoria y algebraica, se puede identificar el generador de Coxeter con la permutación afín que tiene notación de ventana , y también identificar el generador con la permutación afín . De manera más general, cada reflexión (es decir, un conjugado de uno de los generadores de Coxeter) se puede describir de forma única de la siguiente manera: para enteros distintos i , j in y entero arbitrario k , asigna i a j − kn , asigna j a i + kn y corrige todas las entradas que no son congruentes con i o j módulo n . ^[14] ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,i+1,i,i+2,\ldots ,n]}$ ${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$ ${\displaystyle [0,2,3,\ldots ,n-2,n-1,n+1]}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Representación como matrices

La representación matricial de la permutación afín [2, 0, 4], con las convenciones de que los 1 se reemplazan por • y los 0 se omiten. Se muestran los etiquetados de filas y columnas.

Las permutaciones afines se pueden representar como matrices de permutaciones periódicas infinitas . ^[15] Si es una permutación afín, la matriz correspondiente tiene la entrada 1 en la posición en la cuadrícula infinita para cada entero i , y todas las demás entradas son iguales a 0. Dado que u es una biyección, la matriz resultante contiene exactamente un 1 en cada fila y columna. La condición de periodicidad en el mapa u garantiza que la entrada en la posición sea igual a la entrada en la posición para cada par de números enteros . ^[15] Por ejemplo, en la figura se muestra una porción de la matriz para la permutación afín . En la fila 1, hay un 1 en la columna 2; en la fila 2, hay un 1 en la columna 0; y en la fila 3, hay un 1 en la columna 4. El resto de las entradas en esas filas y columnas son todas 0, y todas las demás entradas de la matriz están fijadas por la condición de periodicidad. ${\displaystyle u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (i,u(i))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a+n,b+n)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}}$

Relación con el grupo simétrico finito

El grupo simétrico afín contiene el grupo simétrico finito de permutaciones de elementos como subgrupo y grupo cociente . ^[16] Estas conexiones permiten una traducción directa entre las definiciones combinatorias y geométricas del grupo simétrico afín. ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$

como un subgrupo

Hay una forma canónica de elegir un subgrupo que sea isomorfo al grupo simétrico finito . En términos de la definición algebraica, este es el subgrupo de generado por (excluyendo la reflexión simple ). Geométricamente, esto corresponde al subgrupo de transformaciones que fijan el origen, mientras que combinatoriamente corresponde a las notaciones de ventana para las cuales (es decir, en las que la notación de ventana es la notación unifilar de una permutación finita). ^{[17] [18]} ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$ ${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$ ${\displaystyle \{u(1),\ldots ,u(n)\}=\{1,2,\ldots ,n\}}$

Si es la notación de ventana de un elemento de esta copia estándar de , su acción sobre el hiperplano V en viene dada por la permutación de coordenadas: . ^[19] (En este artículo, la acción geométrica de las permutaciones y las permutaciones afines está a la derecha; por lo tanto, si u y v son dos permutaciones afines, la acción de uv sobre un punto viene dada aplicando primero u y luego v . ) ${\displaystyle u=[u(1),u(2),\ldots ,u(n)]}$ ${\displaystyle S_{n}\subset {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\cdot u=(x_{u(1)},x_{u(2)},\ldots ,x_{u(n)})}$

También hay muchas copias no estándar contenidas en . Una construcción geométrica consiste en elegir cualquier punto a en Λ (es decir, un vector entero cuyas coordenadas suman 0); el subgrupo de de isometrías que fijan a es isomorfo a . ^[20] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{a}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

como cociente

Hay un mapa simple (técnicamente, un homomorfismo de grupo sobreyectivo ) π desde el grupo simétrico finito . En términos de la definición combinatoria, una permutación afín se puede asignar a una permutación reduciendo el módulo n de las entradas de la ventana a elementos de , dejando la notación de una línea de una permutación. ^[21] En este artículo, la imagen de una permutación afín u se denomina permutación subyacente de u . ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \pi (u)}$

El mapa π envía el generador Coxeter a la permutación cuya notación unifilar y notación cíclica son y , respectivamente. ^{[22] [21]} ${\displaystyle s_{0}=[0,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,n+1]}$ ${\displaystyle [n,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,1]}$ ${\displaystyle (1\;n)}$

El núcleo de π es, por definición, el conjunto de permutaciones afines cuya permutación subyacente es la identidad . Las notaciones de ventana de tales permutaciones afines son de la forma , donde es un vector entero tal que , es decir, donde . Geométricamente, este núcleo está formado por las traslaciones , las isometrías que desplazan todo el espacio V sin rotarlo ni reflejarlo. ^[23] En un abuso de notación , el símbolo Λ se utiliza en este artículo para estos tres conjuntos (vectores enteros en V , permutaciones afines con permutación subyacente la identidad y traducciones); en los tres entornos, la operación del grupo natural convierte a Λ en un grupo abeliano , generado libremente por los n − 1 vectores . ^[24] ${\displaystyle [1-a_{1}\cdot n,2-a_{2}\cdot n,\ldots ,n-a_{n}\cdot n]}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=0}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in \Lambda }$ ${\displaystyle \{(1,-1,0,\ldots ,0),(0,1,-1,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)\}}$

Conexión entre las definiciones geométrica y combinatoria.

Alcobas para etiquetado mediante permutaciones afines. Un nicho A está etiquetado por la notación de ventana para una permutación u si u envía el nicho fundamental (sombreado) a A. Los números negativos se indican con barras superiores. ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{3}}$

El grupo simétrico afín tiene Λ como subgrupo normal y es isomorfo al producto semidirecto. ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}\cong S_{n}\ltimes \Lambda }$$

ΛuΛ^[25] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle u=r\cdot t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle t}$

Este punto de vista permite una traducción directa entre las definiciones combinatoria y geométrica de : si se escribe dónde y entonces la permutación afín u corresponde al movimiento rígido de V definido por ^[25] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]=[r_{1}-a_{1}\cdot n,\ldots ,r_{n}-a_{n}\cdot n]}$ ${\displaystyle r=[r_{1},\ldots ,r_{n}]=\pi (u)}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \Lambda }$

$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot u=\left(x_{r(1)}+a_{1},\ldots ,x_{r(n)}+a_{n}\right).}$$

Además, como ocurre con cada grupo de Coxeter afín, el grupo simétrico afín actúa transitiva y libremente sobre el conjunto de nichos: para cada dos nichos, un elemento de grupo único lleva un nicho al otro. ^[26] Por lo tanto, hacer una elección arbitraria de nicho coloca al grupo en correspondencia uno a uno con los nichos: el elemento de identidad corresponde a , y todos los demás elementos del grupo g corresponden al nicho que es la imagen de bajo la acción de gramo . ^[27] ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cdot g}$ ${\displaystyle A_{0}}$

Ejemplo: n = 2

El grupo simétrico afín actúa sobre la línea V en el plano euclidiano. Los reflejos son a través de las líneas discontinuas. Los vectores de la red de raíces Λ están marcados. ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$

Algebraicamente, es el grupo diédrico infinito, generado por dos generadores sujetos a las relaciones . ^[4] Cualquier otro elemento del grupo puede escribirse como un producto alterno de copias de y . ^[28] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$ ${\displaystyle s_{0},s_{1}}$ ${\displaystyle s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s_{1}}$

Combinatoriamente, la permutación afín tiene notación de ventana , correspondiente a la biyección para cada entero k . La permutación afín tiene notación de ventana , correspondiente a la biyección para cada entero k . Otros elementos tienen las siguientes notaciones de ventana: ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle [2,1]}$ ${\displaystyle 2k\mapsto 2k-1,2k-1\mapsto 2k}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle [0,3]}$ ${\displaystyle 2k\mapsto 2k+1,2k+1\mapsto 2k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}s_{1}} ^{2k{\text{ factors}}}&=[1+2k,2-2k],\\[5pt]\overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}s_{0}} ^{2k{\text{ factors}}}&=[1-2k,2+2k],\\[5pt]\overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}} ^{2k+1{\text{ factors}}}&=[2+2k,1-2k],\\[5pt]\overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}} ^{2k+1{\text{ factors}}}&=[2-2(k+1),1+2(k+1)].\end{aligned}}}$

Geométricamente, el espacio V sobre el que actúa es una línea, con infinitas reflexiones equiespaciadas. ^[29] Es natural identificar la recta V con la recta real , con reflexión alrededor del punto 0 , y con reflexión alrededor del punto 1 . En este caso, la reflexión se refleja a través del punto –k para cualquier número entero k , la composición traslada la línea a –2 y la composición traslada la línea a 2 . ^{[30] [29]} ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle (s_{0}s_{1})^{k}s_{0}}$ ${\displaystyle s_{0}s_{1}}$ ${\displaystyle s_{1}s_{0}}$

Estadísticas de permutación y patrones de permutación.

Muchas estadísticas de permutaciones y otras características de la combinatoria de permutaciones finitas se pueden extender al caso afín. ^[31]

Descensos, longitud e inversiones.

La longitud de un elemento g de un grupo de Coxeter G es el número más pequeño k tal que g puede escribirse como un producto de k generadores de Coxeter de G. ^[32] Geométricamente, la longitud de un elemento g in es el número de hiperplanos reflectantes que separan y , donde está el nicho fundamental (el símplex delimitado por los hiperplanos reflectantes de los generadores Coxeter ). ^{[b] [33]} Combinatoriamente, la longitud de una permutación afín se codifica en términos de una noción apropiada de inversiones : para una permutación afín u , la longitud es ^[34] ${\displaystyle \ell (g)}$ ${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}\cdot g}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$

$${\displaystyle \ell (u)=\#\left\{(i,j)\colon i\in \{1,\ldots ,n\},i<j,{\text{ and }}u(i)>u(j)\right\}.}$$

kfunción generadora^{[35] [36]} ${\displaystyle (i,j)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle u(i)>u(j)}$ ${\displaystyle (i,j)\equiv (i',j')}$ ${\displaystyle (i-i',j-j')=(kn,kn)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{g\in {\widetilde {S}}_{n}}q^{\ell (g)}={\frac {1-q^{n}}{(1-q)^{n}}}.}$$

De manera similar, existe un análogo afín de descensos en permutaciones: una permutación afín u tiene un descenso en la posición i si . (Por periodicidad, u tiene un descenso en la posición i si y sólo si tiene un descenso en la posición para todos los enteros k ). Algebraicamente, los descensos corresponden a los descensos correctos en el sentido de los grupos de Coxeter; es decir, i es descendiente de u si y sólo si . ^[37] Los descensos por la izquierda (es decir, aquellos índices i tales que ) son los descensos de la permutación afín inversa ; de manera equivalente, son los valores i tales que i ocurre antes de i − 1 en la secuencia . ^[38] Geométricamente, i es un descenso de u si y sólo si el hiperplano fijo de separa los nichos y ^[39] ${\displaystyle u(i)>u(i+1)}$ ${\displaystyle i+kn}$ ${\displaystyle \ell (u\cdot s_{i})<\ell (u)}$ ${\displaystyle \ell (s_{i}\cdot u)<\ell (u)}$ ${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \ldots ,u(-2),u(-1),u(0),u(1),u(2),\ldots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}\cdot u.}$

Debido a que solo hay un número finito de posibilidades para el número de descensos de una permutación afín, pero un número infinito de permutaciones afines, no es posible formar ingenuamente una función generadora para permutaciones afines por número de descensos (un análogo afín de los polinomios de Euler ). ^[40] Una posible resolución es considerar descensos afines (equivalentemente, descensos cíclicos) en el grupo simétrico finito . ^[11] Otra es considerar simultáneamente la longitud y el número de descensos de una permutación afín. La función generadora multivariada para estas estadísticas simultáneamente para todo n es ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{1-q^{n}}}\sum _{w\in {\widetilde {S}}_{n}}t^{\operatorname {des} (w)}q^{\ell (w)}=\left[{\frac {x\cdot {\frac {\partial }{\partial {x}}}\log(\exp(x;q))}{1-t\exp(x;q)}}\right]_{x\mapsto x{\frac {1-t}{1-q}}}}$$

des( w )wfunción exponencial q^[41] ${\displaystyle \exp(x;q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}(1-q)^{n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}}$

Tipo de ciclo y duración de la reflexión.

Cualquier biyección divide los números enteros en una lista (posiblemente infinita) de ciclos (posiblemente infinitos): para cada número entero i , el ciclo que contiene i es la secuencia donde la exponenciación representa la composición funcional. Para una permutación afín u , las siguientes condiciones son equivalentes: todos los ciclos de u son finitos, u tiene orden finito y la acción geométrica de u sobre el espacio V tiene al menos un punto fijo. ^[42] ${\displaystyle u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\ldots ,u^{-2}(i),u^{-1}(i),i,u(i),u^{2}(i),\ldots )}$

La longitud de reflexión de un elemento u de es el número más pequeño k tal que existen reflexiones tales que . (En el grupo simétrico, las reflexiones son transposiciones, y la longitud de reflexión de una permutación u es , donde es el número de ciclos de u . ^[16] ) En (Lewis et al.2019), se demostró la siguiente fórmula para la reflexión longitud de una permutación afín u : para cada ciclo de u , defina el peso como el número entero k tal que las entradas consecutivas congruentes en módulo n difieran exactamente en kn . Forme una tupla de pesos de ciclo de u (contando las traslaciones del mismo ciclo por múltiplos de n solo una vez) y defina la nulidad como el tamaño de la partición más pequeña de esta tupla de modo que cada parte sume 0. Luego, la reflexión la longitud de u es ${\displaystyle \ell _{R}(u)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}}$ ${\displaystyle u=r_{1}\cdots r_{k}}$ ${\displaystyle n-c(u)}$ ${\displaystyle c(u)}$ ${\displaystyle \nu (u)}$

$${\displaystyle \ell _{R}(u)=n-2\nu (u)+c(\pi (u)),}$$

u^[43] ${\displaystyle \pi (u)}$

Para cada permutación afín u , existe una elección de subgrupo W tal que , y para la forma estándar implicada en este producto semidirecto, las longitudes de reflexión son aditivas, es decir ,. ^[20] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle W\cong S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}=W\ltimes \Lambda }$ ${\displaystyle u=w\cdot t}$ ${\displaystyle \ell _{R}(u)=\ell _{R}(w)+\ell _{R}(t)}$

Elementos totalmente conmutativos y evitación de patrones.

Una palabra reducida para un elemento g de un grupo de Coxeter es una tupla de generadores de Coxeter de longitud mínima posible tal que . ^[32] El elemento g se llama completamente conmutativo si cualquier palabra reducida puede transformarse en cualquier otra intercambiando secuencialmente pares de factores que conmutan. ^[44] Por ejemplo, en el grupo simétrico finito , el elemento es completamente conmutativo, ya que sus dos palabras reducidas pueden conectarse intercambiando factores de conmutación, pero no es completamente conmutativo porque no hay forma de llegar a la palabra reducida a partir de la palabra reducida por conmutaciones. ^[45] ${\displaystyle (s_{i_{1}},\ldots ,s_{i_{\ell (g)}})}$ ${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{\ell (g)}}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle 2143=(12)(34)}$ ${\displaystyle (s_{1},s_{3})}$ ${\displaystyle (s_{3},s_{1})}$ ${\displaystyle 4132=(142)(3)}$ ${\displaystyle (s_{3},s_{2},s_{3},s_{1})}$ ${\displaystyle (s_{2},s_{3},s_{2},s_{1})}$

Billey, Jockusch y Stanley (1993) demostraron que en el grupo simétrico finito , una permutación es completamente conmutativa si y sólo si evita el patrón de permutación 321, es decir, si y sólo si su notación unifilar no contiene decrecientes de tres términos. subsecuencia. En (Green 2002), este resultado se extendió a permutaciones afines: una permutación afín u es completamente conmutativa si y sólo si no existen números enteros tales que . ^[C] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle i<j<k}$ ${\displaystyle u(i)>u(j)>u(k)}$

El número de permutaciones afines que evitan un solo patrón p es finito si y sólo si p evita el patrón 321, ^[47] por lo que, en particular, hay infinitas permutaciones afines completamente conmutativas. Estos fueron enumerados por longitud en (Hanusa & Jones 2010).

Subgrupos parabólicos y otras estructuras.

Los subgrupos parabólicos y sus representantes de clases laterales ofrecen una rica estructura combinatoria. Otros aspectos de los grupos simétricos afines, como su orden de Bruhat y su teoría de la representación , también pueden entenderse mediante modelos combinatorios. ^[31] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Subgrupos parabólicos, representantes de clases laterales.

Diagrama ábaco de la permutación afín [−5, 0, 6, 9]

Un subgrupo parabólico estándar de un grupo Coxeter es un subgrupo generado por un subconjunto de su grupo electrógeno Coxeter. ^[48] ​​Los subgrupos parabólicos máximos son aquellos que provienen de omitir un solo generador Coxeter. En , todos los subgrupos parabólicos máximos son isomorfos al grupo simétrico finito . El subgrupo generado por el subconjunto consta de aquellas permutaciones afines que estabilizan el intervalo , es decir, que asignan cada elemento de este intervalo a otro elemento del intervalo. ^[37] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle [i+1,i+n]}$

Para un elemento fijo i de , sea el subconjunto propio máximo de generadores de Coxeter omitiendo , y denotemos el subgrupo parabólico generado por J . Cada clase lateral tiene un elemento único de longitud mínima. La colección de dichos representantes, denominada , consta de las siguientes permutaciones afines: ^[37] ${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$ ${\displaystyle J=\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{J}}$ ${\displaystyle g\cdot ({\widetilde {S}}_{n})_{J}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})^{J}}$

$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})^{J}=\left\{u\in {\widetilde {S}}_{n}\colon u(i-n+1)<u(i-n+2)<\cdots <u(i-1)<u(i)\right\}.}$$

En el caso particular de que , por lo que es la copia estándar de inside , los elementos de pueden naturalmente representarse mediante diagramas de ábaco : los números enteros están dispuestos en una franja infinita de ancho n , aumentando secuencialmente a lo largo de las filas y luego de arriba a abajo; los números enteros están encerrados en un círculo si se encuentran directamente encima de una de las entradas de la ventana del representante de la clase lateral mínima. Por ejemplo, el representante de la clase lateral mínima está representado por el diagrama del ábaco de la derecha. Para calcular la longitud del representante del diagrama del ábaco, se suma el número de números sin círculo que son más pequeños que la última entrada encerrada en un círculo en cada columna. (En el ejemplo mostrado, esto da .) ^[49] ${\displaystyle J=\{s_{1},\ldots ,s_{n-1}\}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{J}\cong S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})^{J}\cong {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle u=[-5,0,6,9]}$ ${\displaystyle 5+3+0+1=9}$

Otros modelos combinatorios de representantes de clases laterales de longitud mínima se pueden dar en términos de particiones centrales ( particiones enteras en las que ninguna longitud de gancho es divisible por n ) o particiones acotadas (particiones enteras en las que ninguna parte es mayor que n − 1 ). Bajo estas correspondencias, se puede demostrar que el orden débil de Bruhat es isomorfo a un determinado subconjunto de la red de Young . ^{[50] [51]} ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$

orden bruhat

El orden de Bruhat tiene la siguiente realización combinatoria. Si u es una permutación afín e i y j son números enteros, defina como el número de números enteros a tal que y . (Por ejemplo, con , se tiene : los tres valores relevantes son , que son asignados respectivamente por u a 1, 2 y 4.) Luego, para dos permutaciones afines u , v , se tiene eso en orden de Bruhat si y solo si para todos los números enteros i , j . ^[52] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle u[i,j]}$ ${\displaystyle a\leq i}$ ${\displaystyle u(a)\geq j}$ ${\displaystyle u=[2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}}$ ${\displaystyle u[3,1]=3}$ ${\displaystyle a=0,1,3}$ ${\displaystyle u\leq v}$ ${\displaystyle u[i,j]\leq v[i,j]}$

Teoría de la representación y una correspondencia afín Robinson-Schensted

En el grupo simétrico finito, la correspondencia Robinson-Schensted proporciona una biyección entre el grupo y pares de cuadros estándar de Young de la misma forma. Esta biyección juega un papel central en la combinatoria y la teoría de la representación del grupo simétrico . Por ejemplo, en el lenguaje de la teoría de Kazhdan-Lusztig , dos permutaciones se encuentran en la misma celda de la izquierda si y sólo si sus imágenes bajo Robinson-Schensted tienen el mismo cuadro Q , y en la misma celda de la derecha si y sólo si sus imágenes tienen el mismo cuadro. mismo cuadro P . En (Shi 1986), Jian-Yi Shi demostró que las celdas izquierdas para están indexadas en lugar de tabloides , ^[d] y en (Shi 1991) proporcionó un algoritmo para calcular el tabloide análogo al cuadro P para una permutación afín. En (Chmutov, Pylyavskyy & Yudovina 2018), los autores ampliaron el trabajo de Shi para dar un mapa biyectivo entre y triples que consta de dos tabloides de la misma forma y un vector entero cuyas entradas satisfacen ciertas desigualdades. Su procedimiento utiliza la representación matricial de permutaciones afines y generaliza la construcción de sombras , introducida en (Viennot 1977). ${\displaystyle (P,Q)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle (P,Q,\rho )}$

Realizaciones inversas

Alcobas para etiquetado mediante permutaciones afines, a la inversa del etiquetado anterior ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{3}}$

En algunas situaciones, es posible que deseemos considerar la acción del grupo simétrico afín sobre o sobre nichos que es inversa a la dada anteriormente. ^[e] Estas realizaciones alternativas se describen a continuación. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En la acción combinatoria de on , el generador actúa cambiando los valores i e i + 1 . En la acción inversa, cambia las entradas en las posiciones i e i + 1 . De manera similar, la acción de una reflexión general será cambiar las entradas en las posiciones j − kn e i + kn para cada k , fijando todas las entradas en posiciones no congruentes con i o j módulo n . ^{[55] [f]} ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s_{i}}$

En la acción geométrica de , el generador actúa sobre un nicho A reflejándolo a través de uno de los planos delimitadores del nicho fundamental A ₀ . En la acción inversa, refleja A a través de uno de sus propios planos delimitadores. Desde esta perspectiva , una palabra reducida corresponde a un paseo alcoba sobre el espacio teselado V. ^[57] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Relación con otros objetos matemáticos

Los grupos simétricos afines están estrechamente relacionados con una variedad de otros objetos matemáticos.

Patrones de malabarismo

El patrón de malabarismo 441 visualizado como un diagrama de arco: la altura de cada lanzamiento corresponde a la longitud de un arco; Los dos colores de los nodos son las manos izquierda y derecha del malabarista. Este patrón tiene cuatro cruces, que se repiten periódicamente.

El patrón de malabarismo 441

En (Ehrenborg y Readdy 1996), se da una correspondencia entre permutaciones afines y patrones de malabarismo codificados en una versión de notación de intercambio de sitios . ^[58] Aquí, un patrón de malabarismo del período n es una secuencia de números enteros no negativos (con ciertas restricciones) que captura el comportamiento de las bolas lanzadas por un malabarista, donde el número indica el tiempo que el i -ésimo lanzamiento pasa en el aire ( equivalentemente, la altura del lanzamiento). ^[g] El número b de bolas en el patrón es el promedio . ^[60] La correspondencia Ehrenborg-Readdy asocia a cada patrón de malabarismo del período n la función definida por ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle w_{\bf {a}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle w_{\bf {a}}(i)=i+a_{i}-b,}$$

an^[58] ${\displaystyle w_{\bf {a}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

$${\displaystyle \ell (w_{\bf {a}})=(b-1)n-\operatorname {cross} ({\bf {a}}),}$$

a^[61] ${\displaystyle \operatorname {cross} ({\bf {a}})}$

Por ejemplo, el patrón de malabarismo 441 tiene y . Por tanto, corresponde a la permutación afín . El patrón de malabarismo tiene cuatro cruces y la permutación afín tiene longitud . ^[62] ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle b={\frac {4+4+1}{3}}=3}$ ${\displaystyle w_{441}=[1+4-3,2+4-3,3+1-3]=[2,3,1]}$ ${\displaystyle \ell (w_{441})=(3-1)\cdot 3-4=2}$

Se pueden utilizar técnicas similares para derivar la función generadora para representantes de clase lateral mínima por longitud. ^[63] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$

Grupos de reflexión complejos

En un espacio producto interno real de dimensión finita , una reflexión es una transformación lineal que fija un hiperplano lineal puntualmente y niega el vector ortogonal al plano. Esta noción puede extenderse a espacios vectoriales sobre otros campos . En particular, en un espacio producto interno complejo, una reflexión es una transformación unitaria T de orden finito que fija un hiperplano. ^[h] Esto implica que los vectores ortogonales al hiperplano son vectores propios de T y el valor propio asociado es una raíz compleja de la unidad . Un grupo de reflexión complejo es un grupo finito de transformaciones lineales en un espacio vectorial complejo generado por reflexiones. ^{[sesenta y cinco]}

Los grupos de reflexión complejos fueron clasificados completamente por Shephard y Todd (1954): cada grupo de reflexión complejo es isomorfo a un producto de grupos de reflexión complejos irreducibles, y cada irreducible pertenece a una familia infinita (donde m , p y n son números enteros positivos). tal que p divide m ) o es uno de otros 34 ejemplos (los llamados "excepcionales"). El grupo es el grupo simétrico generalizado : algebraicamente, es el producto corona del grupo cíclico con el grupo simétrico . Concretamente, los elementos del grupo pueden representarse mediante matrices monomios (matrices que tienen una entrada distinta de cero en cada fila y columna) cuyas entradas distintas de cero son todas m raíces de la unidad. Los grupos son subgrupos de y, en particular, el grupo consta de aquellas matrices en las que el producto de las entradas distintas de cero es igual a 1. ^[66] ${\displaystyle G(m,p,n)}$ ${\displaystyle G(m,1,n)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle G(m,p,n)}$ ${\displaystyle G(m,1,n)}$ ${\displaystyle G(m,m,n)}$

En (Shi 2002), Shi demostró que el grupo simétrico afín es una cobertura genérica de la familia , en el siguiente sentido: para cada entero positivo m , hay una sobreyección de a , y estos mapas son compatibles con las sobreyecciones naturales cuando esa provienen de elevar cada entrada a la m / p ésima potencia. Además, estas proyecciones respetan la estructura del grupo de reflexión, en el sentido de que la imagen de cada reflexión en under es una reflexión en ; y de manera similar cuando la imagen del elemento estándar de Coxeter en es un elemento de Coxeter en . ^[67] ${\displaystyle \left\{G(m,m,n)\colon m\geq 1\right\}}$ ${\displaystyle \pi _{m}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle G(m,m,n)}$ ${\displaystyle G(m,m,n)\twoheadrightarrow G(p,p,n)}$ ${\displaystyle p\mid m}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{m}}$ ${\displaystyle G(m,m,n)}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle s_{0}\cdot s_{1}\cdots s_{n-1}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle G(m,m,n)}$

Álgebras de mentira afines

Cada grupo de Coxeter afín está asociado a un álgebra de Lie afín , una cierta álgebra no asociativa de dimensión infinita con propiedades teóricas de representación inusualmente agradables. ^[i] En esta asociación, el grupo de Coxeter surge como un grupo de simetrías del espacio raíz del álgebra de Lie (el dual de la subálgebra de Cartan ). ^[69] En la clasificación de álgebras de Lie afines, la asociada a es de tipo (sin torcer) , con matriz de Cartan para y ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle A_{n-1}^{(1)}}$ ${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-2\\-2&2\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&\cdots &0&0\\0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&\cdots &-1&2\end{array}}\right]}$$

matriz circulante^[70] ${\displaystyle n>2}$

Al igual que otras álgebras de Kac-Moody , las álgebras de Lie afines satisfacen la fórmula de caracteres de Weyl-Kac , que expresa los caracteres del álgebra en términos de sus pesos más altos . ^[71] En el caso de álgebras de Lie afines, las identidades resultantes son equivalentes a las identidades de Macdonald . En particular, para el álgebra de Lie afín de tipo , asociada al grupo simétrico afín , la identidad de Macdonald correspondiente es equivalente al triple producto de Jacobi . ^[72] ${\displaystyle A_{1}^{(1)}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$

Grupo trenzado y propiedades teóricas de grupo.

Los grupos de Coxeter tienen una serie de propiedades especiales que no comparten todos los grupos. Estos incluyen que su problema verbal es decidible (es decir, existe un algoritmo que puede determinar si cualquier producto dado de los generadores es igual al elemento identidad) y que son grupos lineales (es decir, pueden representarse mediante un grupo de matrices invertibles sobre un campo). ^{[73] [74]}

Cada grupo W de Coxeter está asociado a un grupo Artin-Tits , que se define mediante una presentación similar que omite relaciones de la forma para cada generador s . ^[75] En particular, el grupo Artin-Tits asociado a es generado por n elementos sujetos a las relaciones para (y no otras), donde, como antes, los índices se toman módulo n (so ). ^[76] Se conjetura que los grupos Artin-Tits de los grupos Coxeter tienen muchas propiedades interesantes: por ejemplo, se conjetura que no tienen torsión , que tienen un centro trivial , que tienen problemas verbales resolubles y que satisfacen la conjetura. No se sabe que estas conjeturas sean válidas para todos los grupos de Artin-Tits, pero en (Charney y Peifer 2003) se demostró que tiene estas propiedades. (Posteriormente, se han demostrado para los grupos Artin-Tits asociados a grupos afines de Coxeter.) ^{[77] [78] [79]} En el caso del grupo simétrico afín, estas pruebas hacen uso de una estructura Garside asociada en el Artin –Grupo de tetas. ^[80] ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle B_{{\widetilde {S}}_{n}}}$

Generadores del grupo Artin-Tits asociados con el grupo simétrico afín, representados como trenzas con una hebra fija (para n = 4 ) y como trenzas dibujadas sobre un cilindro (para n = 3 )

Los grupos Artin-Tits a veces también se conocen como grupos trenzados generalizados , porque el grupo Artin-Tits del grupo simétrico (finito) es el grupo trenzado en n hebras. ^[81] No todos los grupos de Artin-Tits tienen una representación natural en términos de trenzas geométricas. Sin embargo, el grupo Artin-Tits del grupo hiperoctaédrico (geométricamente, el grupo de simetría del hipercubo n -dimensional ; combinatoriamente, el grupo de permutaciones con signo de tamaño n ) sí tiene tal representación: está dada por el subgrupo de la trenza grupo de hebras que consta de aquellas trenzas para las cuales una hebra particular termina en la misma posición en la que comenzó, o equivalentemente como el grupo de trenzas de n hebras en una región anular . ^{[76] [82]} Además, el grupo Artin-Tits del grupo hiperoctaédrico se puede escribir como un producto semidirecto de un grupo cíclico infinito. ^[83] De ello se deduce que puede interpretarse como un determinado subgrupo formado por trenzas geométricas, y también que es un grupo lineal . ^{[84] [76] [85]} ${\displaystyle B_{S_{n}}}$ ${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$ ${\displaystyle B_{{\widetilde {S}}_{n}}}$ ${\displaystyle B_{{\widetilde {S}}_{n}}}$

Grupo simétrico afín extendido

El grupo simétrico afín es un subgrupo del grupo simétrico afín extendido . El grupo extendido es isomorfo al producto de la corona . Sus elementos son permutaciones afines extendidas : biyecciones tales que para todos los números enteros x . A diferencia del grupo simétrico afín, el grupo simétrico afín extendido no es un grupo de Coxeter. Pero tiene un conjunto generador natural que extiende el conjunto generador Coxeter para : el operador de turno cuya notación de ventana genera el grupo extendido con las reflexiones simples, sujeto a las relaciones adicionales . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {Z} \wr S_{n}}$ ${\displaystyle u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle u(x+n)=u(x)+n}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =[2,3,\ldots ,n,n+1]}$ ${\displaystyle \tau s_{i}\tau ^{-1}=s_{i+1}}$

Combinatoria de otros grupos afines de Coxeter

La acción geométrica del grupo simétrico afín lo ubica naturalmente en la familia de grupos afines de Coxeter , cada uno de los cuales tiene una acción geométrica similar en un espacio afín. La descripción combinatoria de también puede extenderse a muchos de estos grupos: en Eriksson & Eriksson (1998), se da una descripción axiomática de ciertos grupos de permutación que actúan sobre (los "grupos de George", en honor a George Lusztig ), y Se muestra que son exactamente los grupos de Coxeter "clásicos" de tipos finitos y afines A, B, C y D. (En la clasificación de grupos de Coxeter afines, el grupo simétrico afín es el tipo A). Por lo tanto, las interpretaciones combinatorias de descensos, inversiones, etc., se traspasan en estos casos. ^[86] Los modelos Abacus de representantes de clases laterales de longitud mínima para cocientes parabólicos también se han ampliado a este contexto. ^[87] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Historia

Se podría decir que el estudio de los grupos de Coxeter en general surgió por primera vez en la clasificación de los poliedros regulares (los sólidos platónicos ) en la antigua Grecia. El estudio sistemático moderno (que conecta las definiciones algebraicas y geométricas de grupos finitos y afines de Coxeter) comenzó en el trabajo de Coxeter en la década de 1930. ^[88] La descripción combinatoria del grupo simétrico afín aparece por primera vez en el trabajo de Lusztig (1983), y fue ampliada por Shi (1986); Ambos autores utilizaron la descripción combinatoria para estudiar las células de Kazhdan-Lusztig . ^{[89] [90]} La prueba de que la definición combinatoria concuerda con la definición algebraica fue dada por Eriksson y Eriksson (1998). ^[90] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Referencias

Este artículo fue adaptado de la siguiente fuente bajo una licencia CC BY 4.0 (2021) (informes de revisores): Joel Brewster Lewis (21 de abril de 2021), "Affine metric group" (PDF) , WikiJournal of Science , 4 (1): 3 , doi :10.15347/WJS/2021.003, ISSN  2470-6345, Wikidata  Q100400684

1. Shi (1986), pág. 66.
2. Gallian (2013), Capítulo 26.
3. Stembridge (1996), pág. 355.
4. Björner y Brenti (2005), págs.
5. Humphreys (1990), pág. 31.
6. Björner y Brenti (2005), pág. 2.
7. Humphreys (1990), págs. 87–89, 95–6.
8. Humphreys (1990), pág. 41.
9. Humphreys (1990), pág. 87.
10. Humphreys (1990), Sección 4.3.
11. Petersen (2015), Capítulo 14.
12. Coxeter (1973), Capítulo 5.
13. Björner y Brenti (2005), Capítulo 8.3.
14. Björner y Brenti (2005), Proposición 8.3.5.
15. Chmutov, Pylyavskyy y Yudovina (2018), sección 1.6.
16. Lewis y col. (2019).
17. Björner y Brenti (2005), pág. 260.
18. Kane (2001), Sección 11-3.
19. Lewis y col. (2019), pág. 4118.
20. Lewis y col. (2019), Corolario 2.5.
21. Shi (1986), págs. 85–6.
22. Petersen (2015), Sección 14.4.1.
23. Kane (2001), Sección 11-1.
24. Humphreys (1990), Sección 2.10.
25. Lewis y col. (2019), Sección 4.1.
26. Humphreys (1990), Capítulo 4.5.
27. Humphreys (1990), Capítulo 4.
28. Galliano (2013), pág. 454.
29. Gallian (2013), pág. 455.
30. Lewis y Reiner (2016), Sección 4.1.
31. Björner y Brenti (2005), pág. 245.
32. Björner y Brenti (2005), pág. 15.
33. Humphreys (1990), pág. 93.
34. Björner y Brenti (2005), pág. 261.
35. Björner y Brenti (2005), pág. 208.
36. Björner y Brenti (1996), Cor. 4.7.
37. Björner y Brenti (2005), pág. 263.
38. Chmutov, Lewis y Pylyavskyy (2022), sección 3.2.
39. Shi (1987), pág. 55.
40. Reiner (1995), pág. 2.
41. Reiner (1995), Teorema 6.
42. Lewis y col. (2019), Proposiciones 1.31 y 4.24.
43. Lewis y col. (2019), Teorema 4.25.
44. Stembridge (1996), pág. 353.
45. Billey, Jockusch y Stanley (1993), pág. 358.
46. Hanusa y Jones (2010), pág. 1345.
47. Crites (2010), Teorema 1.
48. Björner y Brenti (2005), pág. 38.
49. Hanusa y Jones (2010), Sección 2.2.
50. Lapointe y Morse (2005).
51. Berg, Jones y Vazirani (2009).
52. Björner y Brenti (2005), pág. 264.
53. Chmutov y col. (2022), Sección 2.2.2.
54. Shi (1986), pág. 68.
55. Knutson, Lam y Speyer (2013), Sección 2.1.
56. Como en (Cameron 1994, Sección 3.5).
57. Como en, por ejemplo, (Beazley et al. 2015), (Lam 2015).
58. Polster (2003), pág. 42.
59. Polster (2003), pág. 22.
60. Polster (2003), pág. 15.
61. Polster (2003), pág. 43.
62. Polster (2003), sección 2.7.
63. Clark y Ehrenborg (2011), Teorema 2.2.
64. Lehrer y Taylor (2009), pág. 9.
65. Lehrer y Taylor (2009), pág. 10.
66. Lehrer y Taylor (2009), Capítulo 2.
67. Lewis (2020), Sección 3.2.
68. Kac (1990), Introducción.
69. Kac (1990), Capítulo 3.
70. Kac (1990), Capítulo 4.
71. Kac (1990), Capítulo 10.
72. Kac (1990), Capítulo 12.
73. Björner y Brenti (2005), págs.75, 92.
74. McCammond (2017), pág. 6.
75. McCammond (2017), Sección 1.1.
76. Kent, IV y Peifer (2002).
77. McCammond y Sulway (2017).
78. McCammond (2017), págs. 14-17.
79. Paolini y Salvetti (2021).
80. McCammond (2017), pág. 17.
81. McCammond (2017), pág. 11.
82. Charney y Peifer (2003), págs. 587–8.
83. Charney y Peifer (2003), pág. 588.
84. Allcock (2002).
85. Charney y Peifer (2003), págs.586.
86. Björner y Brenti (2005), Capítulo 8.
87. Hanusa y Jones (2012).
88. Björner y Brenti (2005), pág. 24.
89. Björner y Brenti (2005), pág. 293.
90. Verde (2002).

Notas

1. Más precisamente, cada relación entre generadores puede explicarse mediante las relaciones dadas, de modo que el grupo es el más grande entre todos los grupos cuyos generadores satisfacen las relaciones dadas. La versión formal de esta definición se da en términos de cocientes de grupos libres .
2. De hecho, lo mismo ocurre con cualquier grupo afín de Coxeter.
3. Las tres posiciones i , j y k no necesitan estar en una sola ventana. Por ejemplo, la permutación afín w en con notación de ventana no es completamente conmutativa, porque , y , aunque no hay cuatro posiciones consecutivas que contengan una subsecuencia decreciente de longitud tres. ^[46] ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{4}}$ ${\displaystyle [-4,-1,1,14]}$ ${\displaystyle w(0)=10}$ ${\displaystyle w(3)=1}$ ${\displaystyle w(5)=0}$
4. Un tabloide es un relleno del diagrama de Young con entradas distintas, donde dos rellenos son equivalentes si difieren en el orden de los elementos en las filas. Son equinumerosos con cuadros de filas estrictas, en los que se requiere que las entradas aumenten a lo largo de las filas (mientras que los cuadros estándar de Young tienen entradas que aumentan a lo largo de las filas y hacia abajo en las columnas). ^[53]
5. En otras palabras, uno podría estar interesado en cambiar de una acción de grupo de izquierda a una acción de derecha o viceversa. ^[54]
6. En el grupo simétrico finito , la distinción análoga es entre las formas activa y pasiva de una permutación. ^[56] ${\displaystyle S_{n}}$
7. No toda secuencia de n enteros no negativos es una secuencia de malabarismo. En particular, una secuencia corresponde a un "patrón de malabarismo simple", con una pelota atrapada y lanzada a la vez, si y sólo si la función es una permutación de . ^[59] ${\displaystyle i\mapsto i+a_{i}\mod {n}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$
8. En algunas fuentes, las reflexiones unitarias se denominan pseudorreflexiones . ^[64]
9. las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita , admiten una parametrización explícita de sus módulos integrables de mayor peso ; mientras que no existe una teoría general correspondiente para las álgebras de Lie generales de dimensión infinita. ^[68]

Trabajos citados

• Allcock, Daniel (2002), "Imágenes de trenzas para grupos de Artin", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 354 (9): 3455–3474, doi : 10.1090/S0002-9947-02-02944-6 , S2CID  14473723
• Beazley, Elizabeth; Nicols, Margarita; Parque, Min Hae; Shi, Xiao Lin; Youcis, Alexander (2015), "Proyecciones biyectivas sobre cocientes parabólicos de grupos Weyl afines", J. Algebr. Peine. , 41 (4): 911–948, arXiv : 1212.0771 , doi : 10.1007/s10801-014-0559-9
• Berg, Chris; Jones, Brant; Vazirani, Monica (2009), "Una biyección en particiones centrales y un cociente parabólico del grupo simétrico afín", J. Combin. Teoría Ser. A , 116 (8): 1344–1360, arXiv : 0804.1380 , doi : 10.1016/j.jcta.2009.03.013, S2CID  3032099
• Billey, Sara C .; Jockusch, William; Stanley, Richard P. (1993), "Algunas propiedades combinatorias de los polinomios de Schubert", J. Algebr. Peine. , 2 (4): 345–374, doi : 10.1023/A:1022419800503 , hdl : 2027.42/46173 , S2CID  8628113
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (1996), "Permutaciones afines de tipo A", Electron. J. Combinar. , 3 (2): R18, doi : 10.37236/1276 , S2CID  2987208
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos Coxeter , Springer, doi :10.1007/3-540-27596-7, ISBN 978-3540-442387, S2CID  115235335
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatoria: temas, técnicas, algoritmos , Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511803888, ISBN 978-0-521-45761-3, S2CID  115451799
• Charney, Rut ; Peifer, David (2003), "La conjetura de los grupos de briad afines", Comentario. Matemáticas. Helv. , 78 (3): 584–600, doi : 10.1007/S00014-003-0764-Y , S2CID  54016405 ${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Chmutov, Michael; Lewis, Joel Brewster; Pylyavskyy, Pavlo (2022), "Una generalización afín de la evacuación", Selecta Math. , Nueva serie, 28 (4): Documento 67, arXiv : 1706.00471 , doi :10.1007/s00029-022-00779-x, S2CID  119168718
• Chmutov, Michael; Frieden, Gabriel; Kim, Dongkwan; Lewis, Joel Brewster; Yudovina, Elena (2022), "Monodromía en células de Kazhdan-Lusztig en tipo A afín", Math. Annalen , 386 (3–4): 1891–1949, arXiv : 1806.07429 , doi :10.1007/s00208-022-02434-4, S2CID  119669284
• Chmutov, Michael; Pylyavskyy, Pavlo; Yudovina, Elena (2018), "Construcción matriz-bola de correspondencia afín Robinson-Schensted", Selecta Math. , Nueva serie, 24 (2): 667–750, arXiv : 1511.05861 , doi :10.1007/s00029-018-0402-6, S2CID  119086049
• Clark, Eric; Ehrenborg, Richard (2011), "Excesiones de permutaciones afines", Avances en Matemáticas Aplicadas , 46 (1–4): 175–191, doi : 10.1016/j.aam.2009.12.006 , S2CID  15349463
• Coxeter, HSM (1973), Politopos regulares (3 ed.), Dover, ISBN 0-486-61480-8
• Crites, Andrew (2010), "Enumeración de la evitación de patrones para permutaciones afines", Electron. J. Combinar. , 17 (1): R127, arXiv : 1002.1933 , doi : 10.37236/399 , S2CID  15383510
• Ehrenborg, Richard ; Readdy, Margaret (1996), "Malabarismo y aplicaciones de q -análogos", Matemáticas discretas. , 157 (1–3): 107–125, CiteSeerX  10.1.1.8.6684 , doi :10.1016/S0012-365X(96)83010-X, S2CID  18149014
• Eriksson, Henrik; Eriksson, Kimmo (1998), "Grupos afines de Weyl como permutaciones infinitas", Electron. J. Combinar. , 5 : R18, doi : 10.37236/1356 , S2CID  218962
• Gallian, Joseph A. (2013), Álgebra abstracta contemporánea (8.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 978-1-133-59970-8, LCCN  2012938179
• Green, RM (2002), "Sobre 321: evitar permutaciones en grupos afines de Weyl", J. Algebr. Peine. , 15 (3): 241–252, doi : 10.1023/A:1015012524524 , S2CID  10583938
• Hanusa, Christopher RH; Jones, Brant C. (2010), "La enumeración de permutaciones afines totalmente conmutativas", Eur. J. peine. , 31 (5): 1342–1359, arXiv : 0907.0709 , doi : 10.1016/j.ejc.2009.11.010, S2CID  789357
• Hanusa, Christopher RH; Jones, Brant C. (2012), "Modelos de ábaco para cocientes parabólicos de grupos Weyl afines", J. Algebra , 361 : 134–162, arXiv : 1105.5333v2 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.03.029 , S2CID  47583179
• Humphreys, James E. (1990), Grupos de reflexión y grupos Coxeter , Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511623646, ISBN 0-521-37510-X, S2CID  121077209
• Kac, Victor G. (1990), Álgebras de Lie de dimensión infinita (PDF) (3.ª ed.), Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511626234, ISBN 0-521-46693-8
• Kane, Richard (2001), Grupos de reflexión y teoría invariante , CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4757-3542-0, ISBN 0-387-98979-X, S2CID  119694827
• Kent, IV, Richard P.; Peifer, David (2002), "Una descripción geométrica y algebraica de grupos de trenzas anulares", Conferencia internacional sobre métodos geométricos y combinatorios en teoría de grupos y teoría de semigrupos (Lincoln, NE, 2000), Internat. J. Computación de álgebra. , 12 (1–2): 85–97, doi :10.1142/S0218196702000997, S2CID  13593688
• Knutson, Allen ; Lam, Tomás; Speyer, David E. (2013), "Variedades de positoides: malabares y geometría", Compositio Mathematica , 149 (10): 1710–1752, arXiv : 0903.3694 , doi : 10.1112/S0010437X13007240 , S2CID  16108179
• Lam, Thomas (2015), "La forma de un elemento del grupo Weyl afín aleatorio y particiones centrales aleatorias", Ann. Probablemente. , 43 (4): 1643–1662, arXiv : 1102.4405v3 , doi : 10.1214/14-AOP915 , S2CID  119691692
• Lapointe, Lucas; Morse, Jennifer (2005), "Tableaux on -cores, palabras reducidas para permutaciones afines y expansiones -Schur", J. Combin. Teoría Ser. A , 112 (1): 44–81, doi : 10.1016/j.jcta.2005.01.003 , S2CID  161241 ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k}$
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Grupos de reflexión unitarios , Serie de conferencias de la Sociedad Australiana de Matemáticas, vol. 20, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-74989-3, señor  2542964
• Lewis, Joel Brewster (2020), "Una nota sobre la acción de Hurwitz sobre factorizaciones de reflexión de elementos de Coxeter en grupos de reflexión complejos", Electron. J. Combinar. , 27 (2): P2.54, arXiv : 2001.08238 , doi : 10.37236/9351 , S2CID  219176795
• Lewis, Joel Brewster; McCammond, Jon; Petersen, T.Kyle; Schwer, Petra (2019), "Cálculo de la longitud de la reflexión en un grupo de Coxeter afín", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 371 (6): 4097–4127, arXiv : 1710.06920 , doi : 10.1090/tran/7472, S2CID  119617021
• Lewis, Joel Brewster; Reiner, Victor (2016), "Circuitos y acción de Hurwitz en sistemas de raíces finitas", The New York Journal of Mathematics , 22 : 1457–1486, arXiv : 1603.05969 , MR  3603073, S2CID  1789116
• Lusztig, George (1983), "Algunos ejemplos de representaciones cuadradas integrables de grupos p -ádicos semisimples", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 277 : 623–653, doi : 10.1090/S0002-9947-1983-0694380-4 , S2CID  54190838
• McCammond, Jon (2017), "La misteriosa geometría de los grupos Artin", Winter Braids Lect. Notas , 4 (Trenzas de Invierno VII (Caen, 2017)): Exp. No. 1, 30, doi : 10.5802/wbln.17 , S2CID  128279613
• McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Grupos Artin de tipo euclidiano", Invent. Matemáticas. , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode :2017InMat.210..231M, doi :10.1007/s00222-017-0728-2, S2CID  253738806
• Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2021), "Prueba de la conjetura para grupos afines de Artin", Inventar. Matemáticas. , 224 (2): 487–572, arXiv : 1907.11795 , doi : 10.1007/s00222-020-01016-y, S2CID  253738279 ${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Petersen, T. Kyle (2015), Números eulerianos , Textos avanzados de Birkhäuser Basler Lehrbücher, Birkhauser, doi :10.1007/978-1-4939-3091-3, ISBN 978-1-4939-3090-6
• Polster, Burkard (2003), Las matemáticas del malabarismo , Springer, doi :10.1007/b98883, ISBN 0-387-95513-5, S2CID  221274895
• Reiner, Victor (1995), "La distribución de descensos y longitud en un grupo Coxeter", Electron. J. Combinar. , 2 : R25, doi : 10.37236/1219 , S2CID  6602595
• Shephard, GC ; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitarios finitos", Canadá. J. Matemáticas. , 6 : 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , S2CID  3342221
• Shi, Jian-Yi (1986), Las células de Kazhdan-Lusztig en ciertos grupos afines de Weyl , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1179, Springer, doi :10.1007/bfb0074968, ISBN 3-540-16439-1, S2CID  117899042
• Shi, Jian Yi (1987), "Alcobas correspondientes a un grupo Weyl afín", J. London Math. Soc. , 2, 35 (1): 42–55, doi :10.1112/jlms/s2-35.1.42, S2CID  119897519
• _{Shi, Jian-Yi (1991), "El algoritmo generalizado de} Robinson-Schensted en el grupo Weyl afín de tipo An ₋₁ ", J. Algebra , 139 (2): 364–394, CiteSeerX  10.1.1.551.3094 , doi :10.1016/0021-8693(91)90300-W, S2CID  124324517
• Shi, Jian-Yi (2002), "Ciertos grupos de reflexión imprimitivos y sus versiones genéricas", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 354 (5): 2115–2129, doi : 10.1090/S0002-9947-02-02941-0 , S2CID  53996908
• Stembridge, John (1996), "Sobre los elementos totalmente conmutativos de los grupos de Coxeter", J. Algebr. Peine. , 5 (4): 353–385, doi : 10.1007/BF00193185 , hdl : 2027.42/46260 , S2CID  195239538
• Viennot, G. (1977), "Une forme géométrique de la correspondencia de Robinson-Schensted", en Foata, Dominique (ed.), Combinatoire et Représentation du Groupe Symétrique , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 579, Springer, págs. 29–58, doi :10.1007/BFb0090011, ISBN 978-3-540-08143-2, S2CID  118727388