Grupo trivial

Grupo formado por un solo elemento

En matemáticas , un grupo trivial o grupo cero es un grupo que consta de un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos , por lo que a menudo se habla de grupo trivial. El elemento único del grupo trivial es el elemento identidad y, por lo tanto, generalmente se denota como tal: o dependiendo del contexto. Si se denota la operación de grupo, entonces se define por ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle e\cdot e=e.}$

Los definidos de manera similarEl monoide trivial también es un grupo ya que su único elemento es su propio inverso y, por lo tanto, es el mismo que el grupo trivial.

El grupo trivial es distinto del conjunto vacío , que no tiene elementos, por lo tanto carece de un elemento identidad y, por lo tanto, no puede ser un grupo.

Definiciones

Dado cualquier grupo, el grupo que consiste únicamente en el elemento identidad es un subgrupo de y, al ser el grupo trivial, se denomina ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$subgrupo trivial de ${\displaystyle G.}$

El término, cuando se hace referencia a " no tiene subgrupos propios no triviales" se refiere a los únicos subgrupos que son el grupo trivial y el grupo mismo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$

Propiedades

El grupo trivial es cíclico de orden ; como tal, puede denotarse o Si la operación de grupo se llama adición, el grupo trivial generalmente se denota por Si la operación de grupo se llama multiplicación, entonces 1 puede ser una notación para el grupo trivial. La combinación de estos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de adición y multiplicación son idénticas y ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle 0=1.}$

El grupo trivial sirve como objeto cero en la categoría de grupos , lo que significa que es tanto un objeto inicial como un objeto terminal .

El grupo trivial se puede convertir en un grupo (bi-)ordenado equipándolo con el orden trivial no estricto ${\displaystyle \,\leq .}$

Véase también

• Objeto cero (álgebra)  : Estructura algebraica con un solo elemento
• Lista de grupos pequeños

Referencias

• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Grupo trivial". MathWorld .