En álgebra abstracta , un grupo algebraico adélico es un grupo semitopológico definido por un grupo algebraico G sobre un cuerpo de números K y el anillo de Adele A = A ( K ) de K. Consiste en los puntos de G que tienen valores en A ; la definición de la topología apropiada es sencilla solo en caso de que G sea un grupo algebraico lineal . En el caso de que G sea una variedad abeliana , presenta un obstáculo técnico, aunque se sabe que el concepto es potencialmente útil en conexión con los números de Tamagawa. Los grupos algebraicos adélicos se utilizan ampliamente en la teoría de números , particularmente para la teoría de representaciones automórficas y la aritmética de formas cuadráticas.
En caso de que G sea un grupo algebraico lineal, se trata de una variedad algebraica afín en el espacio N afín . La topología en el grupo algebraico adélico se toma como la topología del subespacio en A N , el producto cartesiano de N copias del anillo de Adele. En este caso, es un grupo topológico.
Históricamente, los idèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) fueron introducidos por Chevalley (1936) bajo el nombre de "élément idéal", que es "elemento ideal" en francés, que Chevalley (1940) luego abrevió a "idèle" siguiendo una sugerencia de Hasse. (En estos artículos también le dio a los ideles una topología no hausdorffiana ). Esto fue para formular la teoría de campos de clases para extensiones infinitas en términos de grupos topológicos. Weil (1938) definió (pero no nombró) el anillo de adeles en el caso del campo de funciones y señaló que el grupo de Chevalley de Idealelemente era el grupo de elementos invertibles de este anillo. Tate (1950) definió el anillo de adeles como un producto directo restringido, aunque llamó a sus elementos "vectores de valoración" en lugar de adeles.
Chevalley (1951) definió el anillo de adeles en el caso del cuerpo de funciones, bajo el nombre de "reparticiones"; el término contemporáneo adèle significa 'idèles aditivos', y también puede ser un nombre de mujer francés. El término adèle se utilizó poco después (Jaffard 1953) y puede haber sido introducido por André Weil . La construcción general de grupos algebraicos adélicos por Ono (1957) siguió la teoría de grupos algebraicos fundada por Armand Borel y Harish-Chandra .
Un ejemplo importante, el grupo de elementos ideales (grupo de elementos ideales) I ( K ), es el caso de . Aquí el conjunto de elementos ideales consiste en los elementos ideales invertibles; pero la topología en el grupo de elementos ideales no es su topología como un subconjunto de los elementos ideales. En cambio, considerando que se encuentra en un espacio afín bidimensional como la ' hipérbola ' definida paramétricamente por
La topología correctamente asignada al grupo ideal es la inducida por la inclusión en A 2 ; componiendo con una proyección, se deduce que los ideal tienen una topología más fina que la topología del subespacio de A .
Dentro de A N , el producto K N se encuentra como un subgrupo discreto . Esto significa que G ( K ) es un subgrupo discreto de G ( A ), también. En el caso del grupo ideal, el grupo cociente
es el grupo de clases ideal . Está estrechamente relacionado con el grupo de clases ideal (aunque es más grande que él) . El grupo de clases ideal no es compacto en sí mismo; los ideals deben primero reemplazarse por los ideals de norma 1, y luego la imagen de aquellos en el grupo de clases ideal es un grupo compacto ; la prueba de esto es esencialmente equivalente a la finitud del número de clase.
El estudio de la cohomología de Galois de los grupos de clases idele es un tema central en la teoría de cuerpos de clases . Los caracteres del grupo de clases idele, ahora llamados caracteres de Hecke o caracteres de Größen, dan lugar a la clase más básica de funciones L.
Para un G más general , el número de Tamagawa se define (o se calcula indirectamente) como la medida de
La observación de Tsuneo Tamagawa fue que, a partir de una forma diferencial invariante ω en G , definida sobre K , la medida involucrada estaba bien definida : mientras que ω podía reemplazarse por c ω con c un elemento distinto de cero de K , la fórmula del producto para valoraciones en K se refleja en la independencia de c de la medida del cociente, para la medida del producto construida a partir de ω en cada factor efectivo. El cálculo de los números de Tamagawa para grupos semisimples contiene partes importantes de la teoría clásica de la forma cuadrática .
