Grupo Néron-Severi

En geometría algebraica , el grupo de Néron-Severi de una variedad es el grupo de divisores módulo equivalencia algebraica ; en otras palabras, es el grupo de componentes del esquema de Picard de una variedad. Su rango se denomina número de Picard . Recibe su nombre en honor a Francesco Severi y André Néron .

Definición

En los casos de mayor importancia para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa V que no es singular , el componente conexo del esquema de Picard es una variedad abeliana escrita

Foto ⁰ ( V ).

El cociente

Imagen ( V )/Imagen ⁰ ( V )

es un grupo abeliano NS( V ), llamado grupo de Néron-Severi de V . Este es un grupo abeliano finitamente generado por el teorema de Néron-Severi, que fue demostrado por Severi sobre los números complejos y por Néron sobre campos más generales.

En otras palabras, el grupo Picard encaja en una secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 0}$

El hecho de que el rango sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número de Picard de V , a menudo denotado ρ( V ). Los elementos de orden finito se denominan divisores de Severi y forman un grupo finito que es un invariante biracional y cuyo orden se denomina número de Severi . Geométricamente, NS( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, utilizando una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible de invariantes discretos. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica por números de intersección .

Primera clase de Chern y 2-cociclos con valor integral

La secuencia de haces exponenciales

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{V}\to {\mathcal {O}}_{V}^{*}\to 0}$

da lugar a una secuencia larga y exacta que presenta

${\displaystyle \cdots \to H^{1}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*})\to H^{2}(V,2\pi i\mathbb {Z} )\to H^{2}(V,{\mathcal {O}}_{V})\to \cdots .}$

La primera flecha es la primera clase de Chern en el grupo Picard.

${\displaystyle c_{1}\colon \mathrm {Pic} (V)\to H^{2}(V,\mathbb {Z} ),}$

y el grupo Nerón-Severi puede identificarse con su imagen. Equivalentemente, por exactitud, el grupo Nerón-Severi es el núcleo de la segunda flecha.

${\displaystyle \exp ^{*}\colon H^{2}(V,2\pi i\mathbb {Z} )\to H^{2}(V,{\mathcal {O}}_{V}).}$

En el caso complejo, el grupo de Neron-Severi es por tanto el grupo de los 2-cociclos cuyo dual de Poincaré está representado por una hipersuperficie compleja, es decir, un divisor de Weil .

Para toros complejos

Los toros complejos son especiales porque tienen múltiples definiciones equivalentes del grupo de Neron-Severi. Una definición utiliza su estructura compleja para la definición ^{[1] pág. 30.} Para un toro complejo , donde es un espacio vectorial complejo de dimensión y es una red de incrustación de rangos en , la primera clase de Chern permite identificar el grupo de Neron-Severi con el grupo de formas hermíticas en tal que ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Nótese que es una forma integral alterna en la red . ${\displaystyle {\text{Im}}H}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Véase también

• Toro complejo

Referencias

1. Birkenhake, Christina; Herbert Lange (2004). Variedades abelianas complejas (segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1.OCLC 851380558  .

• VA Iskovskikh (2001) [1994], "Grupo Néron-Severi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• A. Néron, Problèmes arithmétiques et géometriques agregado a la noción de rango de una corriente algébrique dans un corps Bull. Soc. Matemáticas. Francia, 80 (1952) págs. 101-166
• A. Néron, La théorie de la base pour les diviseurs sur les variétés algébriques , Coll. Geom. Álg. Lieja, G. Thone (1952) págs. 119-126
• F. Severi, La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche Mem. Accad. Ital., 5 (1934) págs. 239–283