Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto

Álgebra topológica asociada a grupos continuos

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el álgebra de grupos es cualquiera de las diversas construcciones que se utilizan para asignar a un grupo localmente compacto un álgebra de operadores (o, de manera más general, un álgebra de Banach ), de modo que las representaciones del álgebra estén relacionadas con las representaciones del grupo. Como tales, son similares al anillo de grupos asociado a un grupo discreto.

El álgebraC c(GRAMO) de funciones continuas con soporte compacto

Si G es un grupo de Hausdorff localmente compacto , G tiene una medida de Borel aditiva contable e invariante por la izquierda esencialmente única μ llamada medida de Haar . Usando la medida de Haar, se puede definir una operación de convolución en el espacio C _c ( G ) de funciones continuas de valor complejo en G con soporte compacto ; C _c ( G ) puede entonces recibir cualquiera de varias normas y la completitud será un álgebra de grupos.

Para definir la operación de convolución, sean f y g dos funciones en C _c ( G ). Para t en G , defina

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

El hecho de que sea continua es inmediato a partir del teorema de convergencia dominada . También ${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

donde el punto representa el producto en G . C _c ( G ) también tiene una involución natural definida por:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

donde Δ es la función modular en G . Con esta involución, es una *-álgebra .

Teorema. Con la norma:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) se convierte en un álgebra normada involutiva con una identidad aproximada .

La identidad aproximada puede indexarse ​​sobre la base de la vecindad de la identidad que consiste en conjuntos compactos. De hecho, si V es una vecindad compacta de la identidad, sea f _V una función continua no negativa soportada en V tal que

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

Entonces { f _V } _V es una identidad aproximada. Un álgebra de grupo tiene una identidad, a diferencia de una identidad aproximada, si y solo si la topología en el grupo es la topología discreta .

Nótese que para los grupos discretos, C _c ( G ) es lo mismo que el anillo de grupo complejo C [ G ].

La importancia del álgebra de grupos es que captura la teoría de representación unitaria de G como se muestra en la siguiente

Teorema. Sea G un grupo localmente compacto. Si U es una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio de Hilbert H , entonces

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

es una *-representación acotada no degenerada del álgebra normada C _c ( G ). La función

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

es una biyección entre el conjunto de representaciones unitarias fuertemente continuas de G y *-representaciones acotadas no degeneradas de C _c ( G ). Esta biyección respeta la equivalencia unitaria y la contención fuerte. En particular, π _U es irreducible si y solo si U es irreducible.

La no degeneración de una representación π de C _c ( G ) en un espacio de Hilbert H _π significa que

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

es denso en H _π .

El álgebra de convoluciónyo1(GRAMO)

Es un teorema estándar de la teoría de la medida que la completitud de C _c ( G ) en la norma L ¹ ( G ) es isomorfa al espacio L ¹ ( G ) de clases de equivalencia de funciones que son integrables con respecto a la medida de Haar , donde, como es habitual, dos funciones se consideran equivalentes si y solo si difieren solo en un conjunto de medida de Haar cero.

Teorema. L ¹ ( G ) es una *-álgebra de Banach con el producto de convolución y la involución definidos anteriormente y con la norma L ^{1 .} L ¹ ( G ) también tiene una identidad aproximada acotada.

El grupo C*-álgebraDO*(GRAMO)

Sea C [ G ] el anillo de grupo de un grupo discreto G .

Para un grupo localmente compacto G , el C*-álgebra de grupo C* ( G ) de G se define como el C*-álgebra envolvente de L ¹ ( G ), es decir, la completitud de C _c ( G ) con respecto a la C*-norma más grande:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

donde π abarca todas las *-representaciones no degeneradas de C _c ( G ) en espacios de Hilbert. Cuando G es discreto, se sigue de la desigualdad triangular que, para cualquier π de este tipo , se tiene:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

Por lo tanto la norma está bien definida.

De la definición se desprende que, cuando G es un grupo discreto, C* ( G ) tiene la siguiente propiedad universal : cualquier *-homomorfismo de C [ G ] a algún B ( H ) (el C*-álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert H ) se factoriza a través de la función de inclusión :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

El grupo reducido C*-álgebraC r *(GRAMO)

El grupo reducido C*-álgebra C _r * ( G ) es la completitud de C _c ( G ) con respecto a la norma

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

dónde

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

es la norma L ² . Dado que la completitud de C _c ( G ) con respecto a la norma L ² es un espacio de Hilbert, la norma C _r * es la norma del operador acotado que actúa sobre L ² ( G ) por convolución con f y, por lo tanto, una norma C*.

Equivalentemente, C _r * ( G ) es el C*-álgebra generada por la imagen de la representación regular izquierda en ℓ ² ( G ).

En general, C _r * ( G ) es un cociente de C* ( G ). El C*-álgebra de grupo reducido es isomorfa al C*-álgebra de grupo no reducido definida anteriormente si y solo si G es susceptible .

Álgebras de von Neumann asociadas a grupos

El grupo álgebra de von Neumann W* ( G ) de G es el álgebra de von Neumann envolvente de C* ( G ).

Para un grupo discreto G , podemos considerar el espacio de Hilbert ℓ ^​​2 ( G ) para el cual G es una base ortonormal . Dado que G opera sobre ℓ ² ( G ) permutando los vectores base, podemos identificar el anillo de grupo complejo C [ G ] con una subálgebra del álgebra de operadores acotados sobre ℓ ² ( G ). El cierre débil de esta subálgebra, NG , es un álgebra de von Neumann .

El centro de NG puede describirse en términos de aquellos elementos de G cuya clase de conjugación es finita. En particular, si el elemento identidad de G es el único elemento del grupo con esa propiedad (es decir, G tiene la propiedad de clase de conjugación infinita ), el centro de NG consiste únicamente en múltiplos complejos de la identidad.

NG es isomorfo al factor hiperfinito tipo II ₁ si y solo si G es contable , susceptible y tiene la propiedad de clase de conjugación infinita.

Véase también

• Álgebra gráfica
• Álgebra de incidencia
• Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto
• Álgebra de trayectorias
• Álgebra de grupos
• Álgebra de estereotipos
• Álgebra de grupos de estereotipos
• Álgebra de Hopf

Notas

Referencias

• Lang, S. (2002). Álgebra. Textos de posgrado en matemáticas. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, E. (10 de abril de 2003). Un curso de álgebra. Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 56. American Mathematical Society. doi :10.1090/gsm/056. ISBN. 978-0-8218-3413-8.
• Dixmier, Jacques (1982). C*-álgebras. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-86391-1.
• Kirillov, Aleksandr A. (1976). Elementos de la Teoría de las Representaciones. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 220. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-66243-0. ISBN 978-3-642-66245-4.
• Loomis, Lynn H. (19 de julio de 2011). Introducción al análisis armónico abstracto (Dover Books on Mathematics) de Lynn H. Loomis (2011) Libro de bolsillo . Dover Publications. ISBN 978-0-486-48123-4.
• AI Shtern (2001) [1994], "Álgebra de grupo de un grupo localmente compacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press Este artículo incorpora material del Grupo $C^*$-álgebra en PlanetMath , que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual .