Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

Teorema que relaciona los operadores unitarios con los grupos de Lie de un parámetro

En matemáticas , el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro es un teorema básico del análisis funcional que establece una correspondencia biunívoca entre operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert y familias de un parámetro. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

de operadores unitarios que son fuertemente continuos , es decir,

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}$

y son homomorfismos, es decir,

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}$

Estas familias de un parámetro se denominan comúnmente grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos .

El teorema fue demostrado por Marshall Stone  (1930, 1932), y John von Neumann  (1932) mostró que el requisito de que sea fuertemente continuo puede flexibilizarse para decir que es meramente débilmente medible , al menos cuando el espacio de Hilbert es separable . ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

Este es un resultado impresionante, ya que permite definir la derivada de la función que se supone que solo es continua . También está relacionado con la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . ${\displaystyle t\mapsto U_{t},}$

Declaración formal

El enunciado del teorema es el siguiente: ^[1]

Teorema. Sea un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo . Entonces existe un operador único (posiblemente ilimitado) , que es autoadjunto a y tal que ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}$

El dominio de está definido por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}$

Por el contrario, sea un operador autoadjunto (posiblemente ilimitado) en Entonces la familia de un parámetro de operadores unitarios definida por ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}:=e^{itA}}$

es un grupo de un parámetro fuertemente continuo.

En ambas partes del teorema, la expresión se define mediante el cálculo funcional , que utiliza el teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados . ${\displaystyle e^{itA}}$

El operador se llama generador infinitesimal de Además, será un operador acotado si y solo si la función con valor de operador es norma -continua. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$

El generador infinitesimal de un grupo unitario fuertemente continuo puede calcularse como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}$

con el dominio de que consiste en aquellos vectores para los cuales el límite existe en la topología de la norma. Es decir, es igual a veces la derivada de con respecto a en . Parte del enunciado del teorema es que esta derivada existe, es decir, que es un operador autoadjunto densamente definido. El resultado no es obvio ni siquiera en el caso de dimensión finita, ya que solo se supone (de antemano) que es continuo y no diferenciable. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U_{t}}$

Ejemplo

La familia de operadores de traducción

${\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}$

es un grupo unitario de un parámetro de operadores unitarios; el generador infinitesimal de esta familia es una extensión del operador diferencial

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

definida en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables con soporte compacto en Así ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}$

En otras palabras, el movimiento en la línea es generado por el operador de momento .

Aplicaciones

El teorema de Stone tiene numerosas aplicaciones en mecánica cuántica . Por ejemplo, dado un sistema mecánico cuántico aislado, con espacio de Hilbert de estados H , la evolución temporal es un grupo unitario monoparamétrico fuertemente continuo en . El generador infinitesimal de este grupo es el hamiltoniano del sistema . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Utilizando la transformada de Fourier

El teorema de Stone se puede reformular utilizando el lenguaje de la transformada de Fourier . La línea real es un grupo abeliano localmente compacto. Las *-representaciones no degeneradas del grupo C*-álgebra están en correspondencia biunívoca con representaciones unitarias fuertemente continuas de es decir, grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos. Por otro lado, la transformada de Fourier es un *-isomorfismo de al -álgebra de funciones continuas de valor complejo en la línea real que se anulan en el infinito. Por lo tanto, hay una correspondencia biunívoca entre grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos y *-representaciones de Como cada *-representación de corresponde únicamente a un operador autoadjunto, se cumple el teorema de Stone. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$

Por tanto, el procedimiento para obtener el generador infinitesimal de un grupo unitario monoparamétrico fuertemente continuo es el siguiente:

• Sea una representación unitaria fuertemente continua de en un espacio de Hilbert . ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Integre esta representación unitaria para obtener una *-representación no degenerada de en definiendo primero y luego extendiendo a todos los de por continuidad. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$
• Utilice la transformada de Fourier para obtener una *-representación no degenerada de en . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Por el Teorema de Riesz-Markov , se da lugar a una medida con valor de proyección en que es la resolución de la identidad de un operador autoadjunto único , que puede ser ilimitado. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$
• Entonces es el generador infinitesimal de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$

La definición precisa de es la siguiente. Considérese el *-álgebra de las funciones complejas continuas en con soporte compacto, donde la multiplicación está dada por convolución . La completitud de esta *-álgebra con respecto a la -norma es un *-álgebra de Banach, denotado por Entonces se define como el -álgebra envolvente de , es decir, su completitud con respecto a la -norma más grande posible. Es un hecho no trivial que, a través de la transformada de Fourier, es isomorfo a Un resultado en esta dirección es el Lema de Riemann-Lebesgue , que dice que la transformada de Fourier se aplica a ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$

Generalizaciones

El teorema de Stone-von Neumann generaliza el teorema de Stone a un par de operadores autoadjuntos, , que satisfacen la relación de conmutación canónica , y muestra que todos ellos son unitariamente equivalentes al operador de posición y al operador de momento en ${\displaystyle (P,Q)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$

El teorema de Hille-Yosida generaliza el teorema de Stone a semigrupos de contracciones de un parámetro fuertemente continuos en espacios de Banach .

Referencias

1. Hall 2013 Teorema 10.15

Bibliografía

• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• von Neumann, John (1932), "Über einen Satz von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , segunda serie (en alemán), 33 (3), Annals of Mathematics: 567–573, doi :10.2307/1968535, ISSN  0003 -486X, JSTOR  1968535
• Stone, MH (1930), "Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert. III. Métodos operacionales y teoría de grupos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 16 (2), National Academy of Sciences: 172–175, Bibcode :1930PNAS...16..172S, doi : 10.1073/pnas.16.2.172 , ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC  1075964 , PMID  16587545
• Stone, MH (1932), "Sobre grupos unitarios de un parámetro en el espacio de Hilbert", Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi :10.2307/1968538, JSTOR  1968538
• K. Yosida, Análisis funcional , Springer-Verlag, (1968)