Funciones pares e impares

Funciones tales que f(–x) es igual a f(x) o –f(x)

La función seno y todos sus polinomios de Taylor son funciones impares.

La función coseno y todos sus polinomios de Taylor son funciones pares.

En matemáticas , una función par es una función real tal que para cada en su dominio . De manera similar, una función impar es una función tal que para cada en su dominio. ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Reciben su nombre por la paridad de las potencias de las funciones de potencia que satisfacen cada condición: la función es par si n es un número entero par , y es impar si n es un número entero impar. ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

Las funciones pares son aquellas funciones reales cuya gráfica es autosimétrica con respecto al eje y , y las funciones impares son aquellas cuya gráfica es autosimétrica con respecto al origen .

Si el dominio de una función real es autosimétrico con respecto al origen, entonces la función se puede descomponer de forma única como la suma de una función par y una función impar.

Definición y ejemplos

La uniformidad y la imparidad generalmente se consideran para funciones reales , es decir, funciones con valores reales de una variable real. Sin embargo, los conceptos pueden definirse de manera más general para funciones cuyo dominio y codominio tienen una noción de inversa aditiva . Esto incluye grupos abelianos , todos los anillos , todos los campos y todos los espacios vectoriales . Así, por ejemplo, una función real podría ser par o impar (o ninguna de las dos cosas), al igual que una función de valores complejos de una variable vectorial, y así sucesivamente.

Los ejemplos dados son funciones reales, para ilustrar la simetría de sus gráficas .

funciones pares

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$es un ejemplo de una función par.

Sea f una función con valor real de una variable real. Entonces f es par si la siguiente ecuación se cumple para todo x tal que x y − x están en el dominio de f : ^{[1] : p. 11}

o de manera equivalente si la siguiente ecuación es válida para todos esos x :

${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$

Geométricamente, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y , lo que significa que su gráfica permanece sin cambios después de la reflexión sobre el eje y .

Ejemplos de funciones pares son:

• el valor absoluto ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• coseno ${\displaystyle \cos ,}$
• coseno hiperbólico ${\displaystyle \cosh ,}$
• función gaussiana ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

Funciones impares

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$es un ejemplo de una función impar.

Nuevamente, sea f una función con valor real de una variable real. Entonces f es impar si la siguiente ecuación se cumple para todo x tal que x y − x están en el dominio de f : ^{[1] : p. 72}

o de manera equivalente si la siguiente ecuación es válida para todos esos x :

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$

Geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría rotacional con respecto al origen , lo que significa que su gráfica permanece sin cambios después de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Ejemplos de funciones impares son:

• La función de signo ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• La función de identidad ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• seno ${\displaystyle \sin ,}$
• seno hiperbólico ${\displaystyle \sinh ,}$
• La función de error ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$no es ni par ni impar.

Propiedades básicas

Unicidad

• Si una función es par e impar, es igual a 0 en todos los lugares donde esté definida.
• Si una función es impar, el valor absoluto de esa función es una función par.

Adición y sustracción

• La suma de dos funciones pares es par.
• La suma de dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones pares es par.
• La suma de una función par e impar no es par ni impar, a menos que una de las funciones sea igual a cero en el dominio dado .

Multiplicación y división

• El producto de dos funciones pares es una función par.
  • Eso implica que el producto de cualquier número de funciones pares también es una función par.
• El producto de dos funciones impares es una función par.
• El producto de una función par y una función impar es una función impar.
• El cociente de dos funciones pares es una función par.
• El cociente de dos funciones impares es una función par.
• El cociente de una función par y una función impar es una función impar.

Composición

• La composición de dos funciones pares es par.
• La composición de dos funciones impares es impar.
• La composición de una función par y una función impar es par.
• La composición de cualquier función con función par es par (pero no al revés).

Descomposición par-impar

Cada función se puede descomponer de forma única como la suma de una función par y una función impar, que se denominan respectivamente parte par y parte impar de la función; si uno define

y

entonces es par, es impar y ${\displaystyle f_{\text{e}}}$ ${\displaystyle f_{\text{o}}}$

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).}$

Por el contrario, si

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

donde g es par y h es impar, entonces y desde ${\displaystyle g=f_{\text{e}}}$ ${\displaystyle h=f_{\text{o}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

Por ejemplo, el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico pueden considerarse como las partes pares e impares de la función exponencial, ya que la primera es una función par, la segunda es impar y

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}}$.

Otras propiedades algebraicas

• Cualquier combinación lineal de funciones pares es par, y las funciones pares forman un espacio vectorial sobre los reales . De manera similar, cualquier combinación lineal de funciones impares es impar y las funciones impares también forman un espacio vectorial sobre los reales. De hecho, el espacio vectorial de todas las funciones reales es la suma directa de los subespacios de funciones pares e impares. Ésta es una forma más abstracta de expresar la propiedad de la sección anterior.
  • El espacio de funciones puede considerarse un álgebra graduada sobre los números reales por esta propiedad, así como algunas de las anteriores.

• Las funciones pares forman un álgebra conmutativa sobre los reales. Sin embargo, las funciones impares no forman un álgebra sobre los reales, ya que no son cerradas bajo la multiplicación.

Propiedades analíticas

El hecho de que una función sea par o impar no implica diferenciabilidad , ni siquiera continuidad . Por ejemplo, la función de Dirichlet es par, pero en ninguna parte es continua.

A continuación se consideran las propiedades de las derivadas , las series de Fourier y las series de Taylor , por lo que estos conceptos deben definirse para las funciones consideradas.

Propiedades analíticas básicas

• La derivada de una función par es impar.
• La derivada de una función impar es par.
• La integral de una función impar de − A a + A es cero (donde A es finita y la función no tiene asíntotas verticales entre − A y A ). Para una función impar que es integrable en un intervalo simétrico, por ejemplo , el resultado de la integral en ese intervalo es cero; eso es ^[2] ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• La integral de una función par desde − A hasta + A es el doble de la integral desde 0 hasta + A (donde A es finita y la función no tiene asíntotas verticales entre − A y A. Esto también es válido cuando A es infinita, pero sólo si la integral converge); eso es

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Serie

• La serie de Maclaurin de una función par incluye sólo potencias pares.
• La serie de Maclaurin de una función impar incluye sólo potencias impares.
• La serie de Fourier de una función par periódica incluye sólo términos cosenos .
• La serie de Fourier de una función impar periódica incluye sólo términos senos .
• La transformada de Fourier de una función par puramente real es real y par. (ver análisis de Fourier § Propiedades de simetría )
• La transformada de Fourier de una función impar de valor puramente real es imaginaria e impar. (ver análisis de Fourier § Propiedades de simetría )

Armónicos

En el procesamiento de señales , la distorsión armónica ocurre cuando una señal de onda sinusoidal se envía a través de un sistema no lineal sin memoria , es decir, un sistema cuya salida en el momento t solo depende de la entrada en el momento t y no depende de la entrada en ningún momento anterior. veces. Un sistema de este tipo se describe mediante una función de respuesta . El tipo de armónicos producidos depende de la función de respuesta f : ^[3] ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Cuando la función de respuesta es par, la señal resultante consistirá únicamente en armónicos pares de la onda sinusoidal de entrada; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • La fundamental también es un armónico extraño, por lo que no estará presente.
  • Un ejemplo sencillo es un rectificador de onda completa .
  • El componente representa el desplazamiento de CC, debido a la naturaleza unilateral de las funciones de transferencia incluso simétricas. ${\displaystyle 0f}$
• Cuando es impar, la señal resultante consistirá únicamente en armónicos impares de la onda sinusoidal de entrada; ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • La señal de salida será simétrica de media onda .
  • Un ejemplo sencillo es el recorte en un amplificador push-pull simétrico .
• Cuando es asimétrica, la señal resultante puede contener armónicos pares o impares; ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • Ejemplos simples son un rectificador de media onda y el recorte en un amplificador asimétrico de clase A.

Tenga en cuenta que esto no es válido para formas de onda más complejas. Una onda en diente de sierra contiene armónicos pares e impares, por ejemplo. Después de la rectificación de onda completa simétrica par, se convierte en una onda triangular que, además del desplazamiento de CC, contiene solo armónicos impares.

Generalizaciones

Funciones multivariadas

Incluso simetría:

Una función se llama incluso simétrica si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Simetría extraña:

Una función se llama simétrica impar si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Funciones de valores complejos

Las definiciones de simetría par e impar para funciones de valores complejos de un argumento real son similares al caso real pero implican una conjugación compleja .

Incluso simetría:

Una función de valor complejo de un argumento real se llama incluso simétrica si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Simetría extraña:

Una función de valor complejo de un argumento real se llama simétrica impar si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Secuencias de longitud finita

Las definiciones de simetría par e impar se extienden a secuencias de N puntos (es decir, funciones de la forma ) de la siguiente manera: ^{[4] : ​​p. 411} ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

Incluso simetría:

Una secuencia de N puntos se llama simétrica par si

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Esta secuencia se denomina a menudo secuencia palindrómica ; véase también Polinomio palindrómico .

Simetría extraña:

Una secuencia de N puntos se llama simétrica impar si

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Esta secuencia a veces se denomina secuencia antipalindrómica ; véase también Polinomio antipalindrómico .

Ver también

• Función hermitiana para una generalización en números complejos
• serie de taylor
• series de Fourier
• Método Holstein-Arenque
• Paridad (física)

Notas

1. Gel'Fand, IM ; Glagoleva, EG ; Shnol, EE (1990). Funciones y gráficas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.
2. W., Weisstein, Eric. "Función impar". mathworld.wolfram.com .{{cite web}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. Berners, Dave (octubre de 2005). "Pregúntele a los médicos: armónicos de tubo versus de estado sólido". UA WebZine . Audio universal . Consultado el 22 de septiembre de 2016 . En resumen, si la función f(x) es impar, una entrada coseno no producirá armónicos pares. Si la función f(x) es par, una entrada coseno no producirá armónicos impares (pero puede contener un componente de CC). Si la función no es par ni impar, todos los armónicos pueden estar presentes en la salida.
4. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3 ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Referencias

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Funciones y gráficos, Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover