Relación de probabilidad monótona

Propiedad estadística

Un ratio de probabilidad monótono en distribuciones y ${\displaystyle \ f(x)\ }$ ${\displaystyle \ g(x)\ }$

La relación de las funciones de densidad anteriores es monótona en el parámetro, por lo que satisface la propiedad de relación de probabilidad monótona . ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ {\frac {\ f(x)\ }{g(x)}}\ }$

En estadística , la propiedad de relación de probabilidad monótona es una propiedad de la relación de dos funciones de densidad de probabilidad (PDF). Formalmente, las distribuciones y soportan la propiedad si ${\displaystyle \ f(x)\ }$ ${\displaystyle \ g(x)\ }$

${\displaystyle \ {\text{for every }}x_{2}>x_{1},\quad {\frac {f(x_{2})}{\ g(x_{2})\ }}\geq {\frac {f(x_{1})}{\ g(x_{1})\ }}\ }$

es decir, si la relación no es decreciente en el argumento . ${\displaystyle x}$

Si las funciones son primero derivables, la propiedad a veces puede expresarse

${\displaystyle {\frac {\ \partial }{\ \partial x}}\left({\frac {f(x)}{\ g(x)\ }}\right)\geq 0\ }$

Para dos distribuciones que satisfacen la definición con respecto a algún argumento, decimos que "tienen el MLRP en ". Para una familia de distribuciones que satisfacen todas la definición con respecto a alguna estadística, decimos que "tienen el MLR en ". ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ x~.}$ ${\displaystyle \ T(X)\ ,}$ ${\displaystyle \ T(X)~.}$

Intuición

El MLRP se utiliza para representar un proceso de generación de datos que disfruta de una relación directa entre la magnitud de alguna variable observada y la distribución de la que se basa. Si satisface el MLRP con respecto a , cuanto mayor sea el valor observado , es más probable que se haya extraído de la distribución en lugar de. Como es habitual en las relaciones monótonas, la monotonicidad del índice de verosimilitud resulta útil en estadística, particularmente cuando se utiliza la estimación de máxima verosimilitud . Además, las familias de distribución con MLR tienen una serie de propiedades estocásticas de buen comportamiento, como la dominancia estocástica de primer orden y los índices de riesgo crecientes . Desafortunadamente, como también es habitual, la solidez de esta suposición tiene como precio el realismo. Muchos procesos en el mundo no exhiben una correspondencia monótona entre entrada y salida. ${\displaystyle \ f(x)\ }$ ${\displaystyle \ g(x)\ }$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g~.}$

Ejemplo: trabajar duro o holgazanear

Suponga que está trabajando en un proyecto y puede trabajar duro o aflojar. Llame a su elección de esfuerzo y la calidad del proyecto resultante. Si el MLRP es válido para la distribución de condicional a su esfuerzo , cuanto mayor sea la calidad, más probable será que haya trabajado duro. Por el contrario, cuanto menor sea la calidad, más probable será que aflojes. ${\displaystyle \ e\ }$ ${\displaystyle \ q~.}$ ${\displaystyle \ q\ }$ ${\displaystyle \ e\ }$

1: Elija esfuerzo donde significa alto esfuerzo y bajo esfuerzo. ${\displaystyle \ e\in \{H,L\}\ }$ ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

2: Observación extraída de la ley de By Bayes con un previo uniforme , ${\displaystyle \ q\ }$ ${\displaystyle \ f(q\ |\ e)~.}$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } {\bigl [}\ e=H\ {\big |}\ q\ {\bigr ]}={\frac {f(q\ |\ H)}{\ f(q\ |\ H)+f(q\ |\ L)\ }}\ }$

3: Supongamos que satisface el MLRP. Reordenando, la probabilidad de que el trabajador haya trabajado duro es ${\displaystyle \ f(q\ |\ e)\ }$

${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 1+f(q\ |\ L)/f(q\ |\ H)\ }}\ }$

que, gracias al MLRP, aumenta monótonamente en (porque está disminuyendo en ). ${\displaystyle \ q\ }$ ${\displaystyle \ {\frac {f(q\ |\ L)}{\ f(q\ |\ H)\ }}\ }$ ${\displaystyle \ q\ }$

Por lo tanto, si algún empleador está haciendo una "revisión de desempeño", puede inferir el comportamiento de su empleado a partir de los méritos de su trabajo.

Familias de distribuciones que satisfacen MLR

Los modelos estadísticos a menudo suponen que los datos son generados por una distribución de alguna familia de distribuciones y buscan determinar esa distribución. Esta tarea se simplifica si la familia tiene la propiedad de relación de probabilidad monótona (MLRP).

Se dice que una familia de funciones de densidad indexadas por un parámetro que toma valores en un conjunto ordenado tiene una razón de verosimilitud monótona (MLR) en el estadístico si para cualquier ${\displaystyle \ {\bigl \{}\ f_{\theta }(x)\ {\big |}\ \theta \in \Theta \ {\bigr \}}\ }$ ${\displaystyle \ \theta \ }$ ${\displaystyle \ \Theta \ }$ ${\displaystyle \ T(X)\ }$ ${\displaystyle \ \theta _{1}<\theta _{2}\ ,}$

${\displaystyle \ {\frac {f_{\theta _{2}}(X=x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \ldots \ )}{\ f_{\theta _{1}}(X=x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \ldots \ )\ }}\ }$es una función no decreciente de ${\displaystyle \ T(X)~.}$

Luego decimos que la familia de distribuciones "tiene MLR en ". ${\displaystyle \ T(X)\ }$

Lista de familias

Evaluación de la hipótesis

Si la familia de variables aleatorias tiene el MLRP en una prueba uniformemente más poderosa se puede determinar fácilmente para la hipótesis versus ${\displaystyle \ T(X)\ ,}$ ${\displaystyle \ H_{0}\ :\ \theta \leq \theta _{0}\ }$ ${\displaystyle \ H_{1}\ :\ \theta >\theta _{0}~.}$

Ejemplo: esfuerzo y resultado

Ejemplo: Sea un insumo en una tecnología estocástica (el esfuerzo del trabajador, por ejemplo) y su resultado, cuya probabilidad se describe mediante una función de densidad de probabilidad. Luego, la propiedad de razón de probabilidad monótona (MLRP) de la familia se expresa de la siguiente manera: Para cualquier hecho que implique que la relación está aumentando en ${\displaystyle \ e\ }$ ${\displaystyle \ y\ }$ ${\displaystyle \ f(y;e)~.}$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ e_{1},e_{2}\ ,}$ ${\displaystyle e_{2}>e_{1}}$ ${\displaystyle \ {\frac {\ f(y;e_{2})\ }{f(y;e_{1})}}\ }$ ${\displaystyle \ y~.}$

Relación con otras propiedades estadísticas

Las probabilidades monótonas se utilizan en varias áreas de la teoría estadística, incluida la estimación puntual y la prueba de hipótesis , así como en modelos de probabilidad .

Familias exponenciales

Las familias exponenciales de un parámetro tienen funciones de verosimilitud monótonas. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con

${\displaystyle \ f_{\theta }(x)=c(\theta )\ h(x)\ \exp {\Bigl (}\ \pi \left(\theta \right)\ T\left(x\right)\ {\Bigr )}\ }$

tiene un índice de probabilidad monótono y no decreciente en el estadístico suficiente siempre que no sea decreciente. ${\displaystyle \ T(x)\ ,}$ ${\displaystyle \ \pi (\theta )\ }$

Pruebas uniformemente más potentes: el teorema de Karlin-Rubin

Las funciones de probabilidad monótonas se utilizan para construir de manera uniforme las pruebas más potentes , según el teorema de Karlin-Rubin . ^[1] Considere una medición escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar y defina la relación de verosimilitud. Si es monótona y no decreciente, para cualquier par (lo que significa que cuanto mayor es, más probable es), entonces la prueba de umbral : ${\displaystyle \ \theta \ ,}$ ${\displaystyle \ \ell (x)={\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ f_{\theta _{0}}(x)\ }}~.}$ ${\displaystyle \ \ell (x)\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ \theta _{1}\geq \theta _{0}\ }$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle \ H_{1}\ }$

${\displaystyle \ \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}\ }$

donde se elige para que ${\displaystyle \ x_{0}\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } {\bigl \{}\ \varphi (X)\ {\big |}\ \theta _{0}\ {\bigr \}}=\alpha \ }$

es la prueba UMP de tamaño para pruebas vs. ${\displaystyle \ \alpha \ }$ ${\displaystyle \ H_{0}\ :\ \theta \leq \theta _{0}~~}$ ${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para pruebas vs. ${\displaystyle \ H_{0}\ :\ \theta =\theta _{0}~~}$ ${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

Estimación insesgada mediana

Las funciones de verosimilitud monótonas se utilizan para construir estimadores insesgados de mediana , utilizando métodos especificados por Johann Pfanzagl y otros. ^{[2] [3]} Uno de esos procedimientos es un análogo del procedimiento de Rao-Blackwell para estimadores insesgados de media : el procedimiento es válido para una clase más pequeña de distribuciones de probabilidad que el procedimiento de Rao-Blackwell para estimaciones insesgadas de media, pero para una clase más pequeña de distribuciones de probabilidad. Clase de funciones de pérdida . ^{[3] : 713}

Análisis de vida: análisis de supervivencia y confiabilidad.

Si una familia de distribuciones tiene la propiedad de razón de probabilidad monótona en ${\displaystyle \ f_{\theta }(x)\ }$ ${\displaystyle \ T(X)\ ,}$

1. la familia tiene tasas de riesgo monótonas decrecientes en (pero no necesariamente en ) ${\displaystyle \ \theta \ }$ ${\displaystyle \ T(X)\ }$
2. la familia exhibe dominio estocástico de primer orden (y por lo tanto de segundo orden) en y la mejor actualización bayesiana de está aumentando en . ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ \theta \ }$ ${\displaystyle T(X)}$

Pero no a la inversa: ni las tasas de riesgo monótonas ni la dominancia estocástica implican el MLRP.

Pruebas

Deje que la familia de distribución satisfaga MLR en de modo que para y ${\displaystyle \ f_{\theta }\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ \theta _{1}>\theta _{0}\ }$ ${\displaystyle \ x_{1}>x_{0}\ :}$

${\displaystyle \ {\frac {f_{\theta _{1}}(x_{1})}{\ f_{\theta _{0}}(x_{1})\ }}\geq {\frac {\ f_{\theta _{1}}(x_{0})\ }{f_{\theta _{0}}(x_{0})}}\ ,}$

o equivalente:

${\displaystyle \ f_{\theta _{1}}(x_{1})\ f_{\theta _{0}}(x_{0})\geq f_{\theta _{1}}(x_{0})\ f_{\theta _{0}}(x_{1})~.}$

Integrando esta expresión dos veces obtenemos:

Dominio estocástico de primer orden

Combine las dos desigualdades anteriores para obtener la dominancia de primer orden:

${\displaystyle F_{\theta _{1}}(x)\leq F_{\theta _{0}}(x)~\forall x\ }$

Tasa de riesgo monótono

Utilice sólo la segunda desigualdad anterior para obtener una tasa de riesgo monótona:

${\displaystyle \ {\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ 1-F_{\theta _{1}}(x)\ }}\leq {\frac {f_{\theta _{0}}(x)}{\ 1-F_{\theta _{0}}(x)\ }}~\forall x\ }$

Usos

Ciencias económicas

La MLR es una condición importante en la distribución de tipos de agentes en el diseño de mecanismos y la economía de la información , donde Paul Milgrom definió la "favorabilidad" de las señales (en términos de dominancia estocástica) como consecuencia de la MLR. ^[4] La mayoría de las soluciones a los modelos de diseño de mecanismos asumen distribuciones de tipos que satisfacen el MLR para aprovechar métodos de solución que pueden ser más fáciles de aplicar e interpretar.

Referencias

1. Casella, G.; Berger, RL (2008). "Teorema 8.3.17". Inferencia estadística . Brooks/Cole. ISBN 0-495-39187-5.
2. Pfanzagl, Johann (1979). "Sobre estimadores insesgados de mediana óptima en presencia de parámetros molestos". Anales de Estadística . 7 (1): 187-193. doi : 10.1214/aos/1176344563 .
3. Brown, LD ; Cohen, Arturo; Strawderman, NOSOTROS (1976). "Un teorema de clase completo para una relación de probabilidad monótona estricta con aplicaciones". Anales de Estadística . 4 (4): 712–722. doi : 10.1214/aos/1176343543 .
4. Milgrom, PR (1981). "Buenas y malas noticias: teoremas y aplicaciones de representación". El Bell Journal de Economía . 12 (2): 380–391. doi :10.2307/3003562.