Dominio estocástico

Orden parcial entre variables aleatorias

La dominancia estocástica es un orden parcial entre variables aleatorias . ^{[1] [2]} Es una forma de ordenamiento estocástico . El concepto surge en la teoría de la decisión y el análisis de decisiones en situaciones en las que una apuesta (una distribución de probabilidad sobre posibles resultados, también conocida como perspectivas) puede clasificarse como superior a otra apuesta para una amplia clase de tomadores de decisiones. Se basa en preferencias compartidas con respecto a conjuntos de resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Sólo se requiere un conocimiento limitado de las preferencias para determinar la dominancia. La aversión al riesgo es un factor sólo en la dominancia estocástica de segundo orden.

La dominancia estocástica no da un orden total , sino sólo parcial : para algunos pares de juegos, ninguno domina estocásticamente al otro, ya que diferentes miembros de la amplia clase de tomadores de decisiones diferirán en cuanto a qué juego es preferible sin ellos en general. siendo considerado igualmente atractivo.

A lo largo del artículo, represente las distribuciones de probabilidad en , mientras que represente variables aleatorias particulares en . La notación significa que tiene distribución . ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\sim \rho }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$

Hay una secuencia de ordenamientos de dominancia estocástica, desde el primero al segundo y a los órdenes superiores . La secuencia es cada vez más inclusiva. Es decir, si , entonces para todos . Además, existe tal que pero no . ${\displaystyle \succeq _{1}}$ ${\displaystyle \succeq _{2}}$ ${\displaystyle \succeq _{n}}$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

La dominancia estocástica se remonta a (Blackwell, 1953), ^[3] pero no se desarrolló hasta 1969-1970. ^[4]

Dominio estatal

El caso más simple de dominancia estocástica es la dominancia estatal (también conocida como dominancia estado por estado ), definida de la siguiente manera:

La variable aleatoria A es dominante a nivel estatal sobre la variable aleatoria B si A da un resultado al menos igual de bueno en cada estado (cada conjunto posible de resultados) y un resultado estrictamente mejor en al menos un estado.

Por ejemplo, si se agrega un dólar a uno o más premios de una lotería, la nueva lotería domina a nivel estatal a la anterior porque produce un mejor pago independientemente de los números específicos obtenidos por la lotería. De manera similar, si una póliza de seguro de riesgos tiene una prima más baja y una mejor cobertura que otra póliza, entonces con o sin daños, el resultado es mejor. Cualquiera que prefiera más a menos (en la terminología estándar, cualquiera que tenga preferencias monótonamente crecientes) siempre preferirá una apuesta estatal dominante.

Primer orden

La dominancia estatal implica dominancia estocástica de primer orden (FSD) , ^[5] que se define como:

La variable aleatoria A tiene dominancia estocástica de primer orden sobre la variable aleatoria B si para cualquier resultado x , A da al menos una probabilidad tan alta de recibir al menos x como B, y para algún x , A da una probabilidad mayor de recibir al menos X . En forma de notación, para todo x y para algún x ,. ${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$ ${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$

En términos de las funciones de distribución acumulativa de las dos variables aleatorias, A domina a B significa que para todo x , con desigualdad estricta en algún  x . ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

En el caso de funciones de distribución que no se cruzan, la prueba de suma de rangos de Wilcoxon prueba la dominancia estocástica de primer orden ^[6]

Definiciones equivalentes

Sean dos distribuciones de probabilidad en , tales que ambas sean finitas, entonces las siguientes condiciones son equivalentes, por lo que todas pueden servir como definición de dominancia estocástica de primer orden: ^[7] ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Para cualquiera que no sea decreciente, ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Existen dos variables aleatorias , tales que , donde . ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle X=Y+\delta }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$

La primera definición establece que una apuesta de primer orden domina estocásticamente a la apuesta si y sólo si todo maximizador de utilidad esperado con una función de utilidad creciente prefiere la apuesta a la apuesta . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

La tercera definición establece que podemos construir un par de apuestas con distribuciones , de modo que apostar siempre pague al menos tanto como apostar . Más concretamente, construya primero una distribución uniforme , luego use el muestreo de transformación inversa para obtener y luego para cualquiera . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$ ${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)}$ ${\displaystyle X\geq Y}$ ${\displaystyle Z}$

Gráficamente, la segunda y tercera definición son equivalentes, porque podemos pasar de la función de densidad graficada de A a la de B empujándola hacia arriba y hacia la izquierda.

Ejemplo extendido

Considere tres apuestas en un solo lanzamiento de un dado justo de seis caras:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

La apuesta A domina en los estados la apuesta B porque A da un rendimiento al menos igual de bueno en todos los estados posibles (resultados de la tirada del dado) y da un rendimiento estrictamente mejor en uno de ellos (estado 3). Dado que A domina a B, también domina a B en primer orden.

La apuesta C no domina a B en los estados porque B ofrece un mejor rendimiento en los estados 4 a 6, pero C de primer orden domina estocásticamente a B porque Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6, y Pr(B ≥ 3) = 0 mientras que Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Las apuestas A y C no se pueden ordenar entre sí sobre la base de la dominancia estocástica de primer orden porque Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6 mientras que, por otro lado, Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

En general, aunque cuando un juego de primer orden domina estocásticamente un segundo juego, el valor esperado del pago bajo el primero será mayor que el valor esperado del pago bajo el segundo, lo contrario no es cierto: no se pueden ordenar loterías con con respecto a la dominancia estocástica simplemente comparando las medias de sus distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, en el ejemplo anterior C tiene una media más alta (2) que A (5/3), pero C no domina a A en primer orden.

Segundo orden

El otro tipo de dominancia estocástica comúnmente utilizado es la dominancia estocástica de segundo orden . ^{[1] [8] [9]} En términos generales, para dos apuestas y , la apuesta tiene dominio estocástico de segundo orden sobre la apuesta si la primera es más predecible (es decir, implica menos riesgo) y tiene al menos una media tan alta. Todos los maximizadores de utilidad esperada con aversión al riesgo (es decir, aquellos con funciones de utilidad crecientes y cóncavas) prefieren una apuesta estocásticamente dominante de segundo orden a una apuesta dominada. La dominancia de segundo orden describe las preferencias compartidas de una clase más pequeña de tomadores de decisiones (aquellos para quienes más es mejor y que son reacios al riesgo, en lugar de todos aquellos para quienes más es mejor) que la dominancia de primer orden. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

En términos de funciones de distribución acumulativa y , es estocásticamente dominante de segundo orden sobre si y solo si para todos , con desigualdad estricta en algunos . De manera equivalente, domina en segundo orden si y sólo si para todas las funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes . ${\displaystyle F_{\rho }}$ ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$ ${\displaystyle u(x)}$

La dominancia estocástica de segundo orden también se puede expresar de la siguiente manera: la apuesta de segundo orden domina estocásticamente si y sólo si existen algunas apuestas y tales que , siempre menor o igual a cero, y con para todos los valores de . Aquí, la introducción de una variable aleatoria hace que el estocástico de primer orden esté dominado por (haciendo que no les guste a aquellos con una función de utilidad creciente), y la introducción de una variable aleatoria introduce una extensión que preserva la media que no les gusta a aquellos con una utilidad cóncava. Tenga en cuenta que si y tienen la misma media (de modo que la variable aleatoria degenera al número fijo 0), entonces es una extensión que conserva la media de . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$ ${\displaystyle x_{\rho }+y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$

Definiciones equivalentes

Sean dos distribuciones de probabilidad en , tales que ambas sean finitas, entonces las siguientes condiciones son equivalentes, por lo que todas pueden servir como definición de dominancia estocástica de segundo orden: ^[7] ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Para cualquiera que sea no decreciente y (no necesariamente estrictamente) cóncavo, ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Existen dos variables aleatorias , tales que , donde y . ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0}$

Estas son análogas a las definiciones equivalentes de dominancia estocástica de primer orden, dadas anteriormente.

Condiciones suficientes

• La dominancia estocástica de primer orden de A sobre B es una condición suficiente para la dominancia de segundo orden de A sobre B.
• Si B es un diferencial de A que preserva la media , entonces A de segundo orden domina estocásticamente a B.

Condiciones necesarias

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$es una condición necesaria para que A domine estocásticamente a B .
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$es una condición necesaria para que A domine a B de segundo orden . La condición implica que la cola izquierda de debe ser más gruesa que la cola izquierda de . ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle F_{\rho }}$

tercer orden

Sean y las funciones de distribución acumuladas de dos inversiones distintas y . domina en tercer orden si y sólo si ambos ${\displaystyle F_{\rho }}$ ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

De manera equivalente, domina en tercer orden si y sólo si para todos . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$ ${\displaystyle U\in D_{3}}$

El conjunto tiene dos definiciones equivalentes: ${\displaystyle D_{3}}$

• el conjunto de funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes que están sesgadas positivamente (es decir, que tienen una tercera derivada no negativa en todas partes). ^[10]
• el conjunto de funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes, de modo que para cualquier variable aleatoria , la función de prima de riesgo es una función monótonamente no creciente de . ^[11] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ ${\displaystyle x}$

Aquí, se define como la solución al problema. ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$

$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$

de prima de riesgo

Condición suficiente

• La dominancia de segundo orden es una condición suficiente.

Condiciones necesarias [ cita necesaria ]

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))}$es una condición necesaria. La condición implica que la media geométrica de debe ser mayor o igual a la media geométrica de . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$es una condición necesaria. La condición implica que la cola izquierda de debe ser más gruesa que la cola izquierda de . ${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle F_{\rho }}$

Orden superior

También se han analizado órdenes superiores de dominancia estocástica, al igual que generalizaciones de la relación dual entre ordenamientos de dominancia estocástica y clases de funciones de preferencia. ^[12] Podría decirse que el criterio de dominancia más poderoso se basa en el supuesto económico aceptado de una disminución de la aversión absoluta al riesgo . ^{[13] [14]} Esto implica varios desafíos analíticos y un esfuerzo de investigación está en camino para abordarlos. ^[15]

Formalmente, la dominancia estocástica de orden n se define como ^[16]

• Para cualquier distribución de probabilidad en , defina las funciones de forma inductiva: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• Para dos distribuciones de probabilidad cualesquiera en , la dominancia estocástica de orden n estricta y no estricta se define como ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$
  $${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$
  $${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

Estas relaciones son transitivas y cada vez más inclusivas. Es decir, si , entonces para todos . Además, existe tal que pero no . ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

Defina el enésimo momento por , entonces ${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$

Teorema  :  si tenemos momentos finitos para todos , entonces . ${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu _{k}(\rho ),\mu _{k}(\nu )}$ ${\displaystyle k=1,2,...,n}$ ${\displaystyle (\mu _{1}(\rho ),...,\mu _{n}(\rho ))\succ _{n}^{*}(\mu _{1}(\nu ),\mu _{n}(\nu ))}$

Aquí, el orden parcial está definido por iff y, siendo el más pequeño tal que , tenemos ${\displaystyle \succ _{n}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\succ _{n}^{*}w}$ ${\displaystyle v\neq w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{k}\neq w_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k-1}v_{k}>(-1)^{k-1}w_{k}}$

Restricciones

Las relaciones de dominancia estocástica pueden usarse como restricciones en problemas de optimización matemática , en particular de programación estocástica . ^{[17] [18] [19]} En un problema de maximizar un funcional real sobre variables aleatorias en un conjunto , podemos requerir adicionalmente que domine estocásticamente un punto de referencia aleatorio fijo . En estos problemas, las funciones de utilidad desempeñan el papel de multiplicadores de Lagrange asociados con restricciones de dominancia estocástica. En condiciones apropiadas, la solución del problema es también una solución (posiblemente local) del problema para maximizar sobre en , donde hay una determinada función de utilidad. Si se emplea la restricción de dominancia estocástica de primer orden, la función de utilidad no es decreciente ; si se utiliza la restricción de dominancia estocástica de segundo orden, es no decreciente y cóncava . Un sistema de ecuaciones lineales puede probar si una solución dada es eficiente para cualquiera de esas funciones de utilidad. ^[20] Las restricciones de dominancia estocástica de tercer orden se pueden abordar mediante programación convexa cuadráticamente restringida (QCP). ^[21] ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$

Ver también

• Teoría moderna de la cartera
• Dominio estocástico condicional marginal
• Extensión de conjunto responsivo : equivalente a la dominancia estocástica en el contexto de relaciones de preferencia.
• Catalizador cuántico
• Eficiencia ordinal de Pareto
• Dominio lexicográfico

Referencias

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2. Bawa, Vijay S. (1975). "Reglas óptimas para ordenar prospectos inciertos". Revista de economía financiera . 2 (1): 95-121. doi :10.1016/0304-405X(75)90025-2.
3. Blackwell, David (junio de 1953). "Comparaciones equivalentes de experimentos". Los anales de la estadística matemática . 24 (2): 265–272. doi : 10.1214/aoms/1177729032 . ISSN  0003-4851.
4. Levy, Haim (1990), Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.), "Stochastic Dominance", Utilidad y probabilidad , Londres: Palgrave Macmillan Reino Unido, págs. 251–254, doi :10.1007/978-1-349-20568-4_34, ISBN 978-1-349-20568-4, recuperado el 23 de diciembre de 2022
5. Peculiaridad, JP; Saposnik, R. (1962). "Admisibilidad y funciones de utilidad mensurables". Revista de Estudios Económicos . 29 (2): 140-146. doi :10.2307/2295819. JSTOR  2295819.
6. Seifert, S. (2006). Ofertas de precios publicadas en los mercados de subastas de Internet. Alemania: Physica-Verlag. Página 85, ISBN 9783540352686, https://books.google.de/books?id=a-ngTxeSLakC&pg=PA85
7. Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael Dennis; Verde, Jerry R. (1995). Teoría microeconómica. Nueva York. Proposición 6.D.1. ISBN 0-19-507340-1. OCLC  32430901.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Hanoc, G.; Levy, H. (1969). "El análisis de eficiencia de opciones que implican riesgo". Revista de Estudios Económicos . 36 (3): 335–346. doi :10.2307/2296431. JSTOR  2296431.
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10. Chan, Raymond H.; Clark, Efraín; Wong, Wing-Keung (16 de noviembre de 2012). "Sobre el dominio estocástico de tercer orden para inversores que buscan y tienen aversión al riesgo". mpra.ub.uni-muenchen.de . Consultado el 25 de diciembre de 2022 .
11. Whitmore, Georgia (1970). "Dominancia estocástica de tercer grado". La revisión económica estadounidense . 60 (3): 457–459. ISSN  0002-8282. JSTOR  1817999.
12. Ekern, Steinar (1980). " Riesgo creciente de enésimo grado". Cartas de Economía . 6 (4): 329–333. doi :10.1016/0165-1765(80)90005-1.
13. Vickson, RG (1975). "Pruebas de dominancia estocástica para disminuir la aversión absoluta al riesgo. I. Variables aleatorias discretas". Ciencias de la gestión . 21 (12): 1438-1446. doi :10.1287/mnsc.21.12.1438.
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15. Véase, por ejemplo, Post, Th.; Colmillo, Y.; Kopa, M. (2015). "Pruebas lineales de dominancia estocástica DARA". Ciencias de la gestión . 61 (7): 1615-1629. doi :10.1287/mnsc.2014.1960.
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