Prueba uniformemente más poderosa

Prueba de hipotesis

En las pruebas de hipótesis estadísticas , una prueba uniformemente más poderosa ( UMP ) es una prueba de hipótesis que tiene la mayor potencia entre todas las pruebas posibles de un tamaño α determinado . Por ejemplo, según el lema de Neyman-Pearson , la prueba de razón de verosimilitud es UMP para probar hipótesis simples (puntuales). ${\displaystyle 1-\beta }$

Configuración

Denotemos un vector aleatorio (correspondiente a las mediciones), tomado de una familia parametrizada de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad , que depende del parámetro determinista desconocido . El espacio de parámetros se divide en dos conjuntos separados y . Denotemos la hipótesis de que , y denotemos la hipótesis de que . La prueba binaria de hipótesis se realiza utilizando una función de prueba con una región de rechazo (un subconjunto del espacio de medición). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{\theta }(x)}$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta _{0}}$ ${\displaystyle \Theta _{1}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}}$

es decir, que está vigente si la medición y que está vigente si la medición . Tenga en cuenta que se trata de una cobertura inconexa del espacio de medición. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle X\in R}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle X\in R^{c}}$ ${\displaystyle R\cup R^{c}}$

Definicion formal

Una función de prueba es UMP de tamaño si cualquier otra función de prueba satisface ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi '(x)}$

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,}$

tenemos

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].}$

El teorema de Karlin-Rubin

El teorema de Karlin-Rubin puede considerarse como una extensión del lema de Neyman-Pearson para hipótesis compuestas. ^[1] Considere una medición escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar θ y defina la relación de verosimilitud . Si es monótono y no decreciente, en , para cualquier par (lo que significa que cuanto mayor es, más probable es), entonces la prueba de umbral: ${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$ ${\displaystyle l(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

donde se elige tal que ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

es la prueba UMP de tamaño α para probar ${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para realizar pruebas. ${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Caso importante: familia exponencial

Aunque el teorema de Karlin-Rubin puede parecer débil debido a su restricción a parámetros y medidas escalares, resulta que existe una serie de problemas para los cuales el teorema es válido. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

tiene una razón de probabilidad monótona y no decreciente en el estadístico suficiente , siempre que no sea decreciente. ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle \eta (\theta )}$

Ejemplo

Denotemos iid vectores aleatorios dimensionales normalmente distribuidos con matriz de media y covarianza . entonces tenemos ${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \theta m}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

que tiene exactamente la forma de la familia exponencial mostrada en la sección anterior, siendo el estadístico suficiente

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

Por lo tanto, concluimos que la prueba

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

es la prueba UMP de tamaño para pruebas vs. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$ ${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

Más discusión

Finalmente, observamos que, en general, las pruebas UMP no existen para parámetros vectoriales ni para pruebas bilaterales (una prueba en la que una hipótesis se encuentra en ambos lados de la alternativa). La razón es que en estas situaciones, la prueba más poderosa de un tamaño dado para un valor posible del parámetro (por ejemplo, para donde ) es diferente de la prueba más poderosa del mismo tamaño para un valor diferente del parámetro (por ejemplo, para donde ). Como resultado, ninguna prueba es uniformemente más poderosa en estas situaciones. ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$

Referencias

1. Casella, G.; Berger, RL (2008), Inferencia estadística , Brooks/Cole. ISBN  0-495-39187-5 (Teorema 8.3.17)

Otras lecturas

• Ferguson, TS (1967). "Sec. 5.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Estadística matemática: un enfoque teórico de la decisión . Nueva York: Academic Press.
• Estado de ánimo, mañana; Graybill, FA; Boes, CC (1974). "Sec. IX.3.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Introducción a la teoría de la estadística (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• LL Scharf, Procesamiento estadístico de señales , Addison-Wesley, 1991, sección 4.7.