Función de ventana

Function used in signal processing

Una función de ventana popular, la ventana de Hann . Las funciones de ventana más populares son curvas similares en forma de campana.

En procesamiento de señales y estadística , una función de ventana (también conocida como función de apodización o función de reducción gradual ^[1] ) es una función matemática que tiene valor cero fuera de algún intervalo elegido . Normalmente, las funciones de ventana son simétricas alrededor de la mitad del intervalo, se acercan a un máximo en la mitad y se estrechan desde la mitad. Matemáticamente, cuando otra función o forma de onda/secuencia de datos se "multiplica" por una función de ventana, el producto también tiene valor cero fuera del intervalo: todo lo que queda es la parte donde se superponen, la "vista a través de la ventana". De manera equivalente, y en la práctica real, el segmento de datos dentro de la ventana primero se aísla y luego solo esos datos se multiplican por los valores de la función de la ventana. Por tanto, la reducción gradual, no la segmentación, es el objetivo principal de las funciones de ventana.

Las razones para examinar segmentos de una función más larga incluyen la detección de eventos transitorios y el promedio temporal de espectros de frecuencia. La duración de los segmentos está determinada en cada aplicación por requisitos como resolución de tiempo y frecuencia. Pero ese método también cambia el contenido de frecuencia de la señal mediante un efecto llamado fuga espectral . Las funciones de ventana nos permiten distribuir espectralmente la fuga de diferentes formas, según las necesidades de la aplicación particular. Hay muchas opciones detalladas en este artículo, pero muchas de las diferencias son tan sutiles que resultan insignificantes en la práctica.

En aplicaciones típicas, las funciones de ventana utilizadas son curvas "en forma de campana", suaves y no negativas. ^[2] También se pueden utilizar rectángulos, triángulos y otras funciones. Una definición más general de funciones de ventana no requiere que sean idénticamente cero fuera de un intervalo, siempre y cuando el producto de la ventana multiplicado por su argumento sea integrable al cuadrado y, más específicamente, que la función vaya lo suficientemente rápido hacia cero. ^[3]

Aplicaciones

Las funciones de ventana se utilizan en análisis /modificación/ resíntesis espectral , ^[4] el diseño de filtros de respuesta de impulso finito , fusionando conjuntos de datos multiescala y multidimensionales, ^{[5] [6]} así como en la formación de haces y el diseño de antenas .

Figura 2: La ventana de una sinusoide provoca una fuga espectral. Se produce la misma cantidad de fuga ya sea que haya un número de ciclos entero (azul) o no entero (rojo) dentro de la ventana (filas 1 y 2). Cuando se muestrea y se ventana la sinusoide, su transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) también exhibe el mismo patrón de fuga (filas 3 y 4). Pero cuando el DTFT se muestra escasamente, en un cierto intervalo, es posible (dependiendo de su punto de vista): (1) evitar la fuga, o (2) crear la ilusión de que no hay fuga. Para el caso de la DTFT azul, esas muestras son las salidas de la transformada discreta de Fourier (DFT). El DTFT rojo tiene el mismo intervalo de cruces por cero, pero las muestras de DFT se encuentran entre ellos y se revela la fuga.

Análisis espectral

La transformada de Fourier de la función cos( ωt ) es cero, excepto en la frecuencia ± ω . Sin embargo, muchas otras funciones y formas de onda no tienen transformadas de forma cerrada convenientes. Alternativamente, uno podría estar interesado en su contenido espectral sólo durante un período de tiempo determinado.

En cualquier caso, la transformada de Fourier (o una transformada similar) se puede aplicar en uno o más intervalos finitos de la forma de onda. En general, la transformada se aplica al producto de la forma de onda y una función de ventana. Cualquier ventana (incluida la rectangular) afecta la estimación espectral calculada por este método.

Diseño de filtro

Las ventanas se utilizan a veces en el diseño de filtros digitales , en particular para convertir una respuesta de impulso "ideal" de duración infinita, como una función sinc , en un diseño de filtro de respuesta de impulso finita (FIR). Esto se llama método de ventana . ^{[7] [8] [9]}

Estadísticas y ajuste de curvas.

Las funciones de ventana se utilizan a veces en el campo del análisis estadístico para restringir el conjunto de datos que se analizan a un rango cercano a un punto determinado, con un factor de ponderación que disminuye el efecto de los puntos más alejados de la parte de la curva que se ajusta. En el campo del análisis bayesiano y el ajuste de curvas , esto a menudo se denomina núcleo .

Aplicaciones de ventanas rectangulares

Análisis de transitorios

Al analizar una señal transitoria en análisis modal , como un impulso, una respuesta de choque, una ráfaga sinusoidal, una ráfaga de chirrido o una ráfaga de ruido, donde la distribución de energía versus tiempo es extremadamente desigual, la ventana rectangular puede ser la más apropiada. Por ejemplo, cuando la mayor parte de la energía se encuentra al comienzo de la grabación, una ventana no rectangular atenúa la mayor parte de la energía, degradando la relación señal-ruido. ^[10]

Análisis armónico

Se podría desear medir el contenido armónico de una nota musical de un instrumento particular o la distorsión armónica de un amplificador a una frecuencia determinada. Refiriéndose nuevamente a la Figura 2 , podemos observar que no hay fugas en un conjunto discreto de frecuencias relacionadas armónicamente muestreadas mediante la transformada discreta de Fourier (DFT). (Los nulos espectrales son en realidad cruces por cero, que no se pueden mostrar en una escala logarítmica como esta). Esta propiedad es exclusiva de la ventana rectangular y debe configurarse adecuadamente para la frecuencia de la señal, como se describió anteriormente.

Ventanas superpuestas

Cuando la longitud de un conjunto de datos a transformar es mayor de lo necesario para proporcionar la resolución de frecuencia deseada, una práctica común es subdividirlo en conjuntos más pequeños y ventanarlos individualmente. Para mitigar la "pérdida" en los bordes de la ventana, los conjuntos individuales pueden superponerse en el tiempo. Véase el método de Welch de análisis espectral de potencia y la transformada de coseno discreta modificada .

Ventanas bidimensionales

Las ventanas bidimensionales se utilizan comúnmente en el procesamiento de imágenes para reducir las altas frecuencias no deseadas en la transformada de Fourier de la imagen. ^[11] Pueden construirse a partir de ventanas unidimensionales en cualquiera de dos formas. ^[12] La forma separable es trivial de calcular. La forma radial , que involucra el radio , es isotrópica , independiente de la orientación de los ejes de coordenadas. Sólo la función gaussiana es separable e isotrópica. ^[13] Las formas separables de todas las demás funciones de ventana tienen esquinas que dependen de la elección de los ejes de coordenadas. La isotropía/ anisotropía de una función de ventana bidimensional es compartida por su transformada de Fourier bidimensional. La diferencia entre las formas separable y radial es similar al resultado de la difracción de aberturas rectangulares versus circulares, que se pueden visualizar en términos del producto de dos funciones sinc versus una función de Airy , respectivamente. ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$ ${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$ ${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$

Ejemplos de funciones de ventana

Convenciones :

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$es una función de fase cero (simétrica respecto a ), ^[14] continua para donde es un número entero positivo (par o impar). ^[15] ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$ ${\displaystyle N}$
• La secuencia es simétrica , de longitud. ${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(n-N/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$ ${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$es DFT-simétrico , de longitud ^[A] ${\displaystyle N.}$

• El parámetro B que se muestra en cada gráfico espectral es la métrica de ancho de banda equivalente al ruido de la función , en unidades de contenedores DFT . ^{[16] : p.56 ecuación (16)}
  • Consulte fuga espectral §§  Señales de tiempo discreto y Algunas métricas de ventana y Frecuencia normalizada para comprender el uso de "contenedores" para el eje x en estos gráficos.

El escaso muestreo de una transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), como las DFT en la Fig. 2, solo revela la fuga en los contenedores de DFT desde una sinusoide cuya frecuencia también es un contenedor de DFT entero. Los lóbulos laterales invisibles revelan la fuga que se espera de las sinusoides en otras frecuencias. ^[a] Por lo tanto, al elegir una función de ventana, generalmente es importante muestrear la DTFT más densamente (como lo hacemos a lo largo de esta sección) y elegir una ventana que suprima los lóbulos laterales a un nivel aceptable.

ventana rectangular

ventana rectangular

La ventana rectangular (a veces conocida como furgón o uniforme o ventana de Dirichlet o engañosamente como "sin ventana" en algunos programas ^[18] ) es la ventana más simple, equivalente a reemplazar todos menos N valores consecutivos de una secuencia de datos por ceros, haciendo que La forma de onda se enciende y apaga repentinamente:

${\displaystyle w[n]=1.}$

Otras ventanas están diseñadas para moderar estos cambios repentinos, reducir la pérdida de festón y mejorar el rango dinámico (descrito en § Análisis espectral).

La ventana rectangular es la ventana B -spline ^{de primer} orden , así como la ventana de potencia de seno de potencia ^{0 .}

La ventana rectangular proporciona la estimación del error cuadrático medio mínimo de la transformada de Fourier en tiempo discreto , a costa de otras cuestiones discutidas.

B-ventanas spline

Las ventanas B -spline se pueden obtener como convoluciones k veces de la ventana rectangular. Incluyen la propia ventana rectangular ( k  = 1), la § ventana triangular ( k  = 2) y la § ventana Parzen ( k  = 4). ^{[19] Las definiciones alternativas muestran las} funciones de base B -spline normalizadas apropiadas en lugar de convolucionar ventanas de tiempo discreto. Una función de base B -spline de orden ^k es una función polinómica por partes de grado k −1 que se obtiene mediante la autoconvolución k veces de la función rectangular .

ventana triangular

Ventana triangular (con L  =  N  + 1)

Las ventanas triangulares vienen dadas por:

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

donde L puede ser N , ^[20] N  + 1, ^{[16] [21] [22]} o N  + 2. ^[23] La primera también se conoce como ventana de Bartlett o ventana de Fejér . Las tres definiciones convergen en general  N .

La ventana triangular es la ventana B -spline de ^segundo orden . La forma L  =  N puede verse como la convolución de dos ventanas rectangulares de N ⁄ 2 de ancho. La transformada de Fourier del resultado son los valores al cuadrado de la transformada de la ventana rectangular de medio ancho.

ventana parzen

ventana parzen

Al definir L ≜ N + 1 , la ventana de Parzen, también conocida como ventana de la Vallée Poussin , ^[16] es la ventana B -spline de ^cuarto orden dada por:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

ventana galesa

Otras ventanas polinomiales

ventana galesa

La ventana de Welch consta de una única sección parabólica :

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[23]

El polinomio cuadrático definitorio alcanza un valor de cero en las muestras justo fuera del intervalo de la ventana.

ventana sinusoidal

ventana sinusoidal

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

La función correspondiente es un coseno sin el desplazamiento de fase π /2. Por eso, la ventana sinusoidal ^[24] a veces también se denomina ventana coseno . ^[16] Como representa medio ciclo de una función sinusoidal, también se la conoce variablemente como ventana de media seno ^[25] o ventana de media coseno . ^[26] ${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

La autocorrelación de una ventana sinusoidal produce una función conocida como ventana de Bohman. ^[27]

Ventanas de potencia de seno/coseno

Estas funciones de ventana tienen la forma: ^[28]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

La ventana rectangular ( α  = 0 ), la ventana sinusoidal ( α  = 1 ) y la ventana de Hann ( α  = 2 ) son miembros de esta familia.

Para valores enteros pares de α, estas funciones también se pueden expresar en forma de suma de cosenos:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

Ventanas de suma de coseno

Esta familia también se conoce como ventanas de cosenos generalizados .

En la mayoría de los casos, incluidos los ejemplos siguientes, todos los coeficientes a _k  ≥ 0. Estas ventanas tienen solo 2 coeficientes DFT de N puntos K  + 1 distintos de cero .

Ventanas de Hann y Hamming

ventana hann

Ventana de Hamming, a ₀  = 0,53836 y a ₁  = 0,46164. La ventana de Hamming original tendría un ₀  = 0,54 y un ₁  = 0,46.

Las ventanas habituales de suma de cosenos para el caso K  = 1 tienen la forma:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

que se confunde fácilmente (y a menudo) con su versión de fase cero:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

La configuración produce una ventana de Hann: ${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[29]

lleva el nombre de Julius von Hann , y a veces se lo denomina erróneamente Hanning , presumiblemente debido a sus similitudes lingüísticas y formulaicas con la ventana de Hamming. También se conoce como coseno elevado , porque la versión de fase cero es un lóbulo de una función coseno elevado. ${\displaystyle w_{0}(n),}$

Esta función es miembro de las familias de suma de cosenos y potencias de seno. A diferencia de la ventana de Hamming, los puntos finales de la ventana de Hann simplemente tocan cero. Los lóbulos laterales resultantes disminuyen a unos 18 dB por octava. ^[30]

Establecer aproximadamente 0,54, o más precisamente 25/46, produce la ventana de Hamming , propuesta por Richard W. Hamming . Esa elección coloca un cruce por cero en la frecuencia 5 π /( N  − 1), que cancela el primer lóbulo lateral de la ventana de Hann, dándole una altura de aproximadamente una quinta parte de la de la ventana de Hann. ^{[16] [31] [32]} La ventana de Hamming a menudo se denomina señal de Hamming cuando se utiliza para dar forma al pulso . ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle a_{0}}$

La aproximación de los coeficientes a dos decimales reduce sustancialmente el nivel de lóbulos laterales, ^[16] a una condición casi equivalente a la de la ondulación. ^[32] En el sentido de la equitriple, los valores óptimos para los coeficientes son a ₀  = 0,53836 y a ₁  = 0,46164. ^{[32] [36]}

ventana negra

ventana de Blackman; α  = 0,16

Las ventanas de Blackman se definen como:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

Por convención común, el término incondicional ventana de Blackman se refiere a la "propuesta no muy seria" de Blackman de α  = 0,16 ( a ₀  = 0,42, a ₁  = 0,5, a ₂  = 0,08), que se aproxima mucho al Blackman exacto , ^[37] con a ₀  = 7938/18608 ≈ 0,42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 y a ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. ^[38] Estos valores exactos colocan ceros en el tercer y cuarto lóbulo lateral, ^[16] pero dan como resultado una discontinuidad en los bordes y una caída de 6 dB/oct. Los coeficientes truncados no anulan también los lóbulos laterales, pero tienen una caída mejorada de 18 dB/oct. ^{[16] [39]}

Ventana Nuttall, primera derivada continua

Ventana Nuttall, primera derivada continua

La forma continua de la ventana de Nuttall y su primera derivada son continuas en todas partes, como la función de Hann . Es decir, la función llega a 0 en x  = ± N /2, a diferencia de las ventanas de Blackman-Nuttall, Blackman-Harris y Hamming. La ventana de Blackman ( α  = 0,16 ) también es continua con derivada continua en el borde, pero la "ventana de Blackman exacta" no lo es. ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Ventana de Blackman-Nuttall

Ventana de Blackman-Nuttall

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Ventana de Blackman-Harris

Ventana de Blackman-Harris

Una generalización de la familia Hamming, producida añadiendo más funciones sinc desplazadas, destinadas a minimizar los niveles de lóbulos laterales ^{[40] [41]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

ventana superior plana

ventana plana

Una ventana de parte superior plana es una ventana de valor parcialmente negativo que tiene una pérdida de festón mínima en el dominio de la frecuencia. Esa propiedad es deseable para la medición de amplitudes de componentes de frecuencia sinusoidales. ^{[17] [42]} Sin embargo, su amplio ancho de banda da como resultado un ancho de banda de alto ruido y una selección de frecuencia más amplia, lo que dependiendo de la aplicación podría ser un inconveniente.

Las ventanas de parte superior plana se pueden diseñar utilizando métodos de diseño de filtro de paso bajo, ^[42] o pueden ser de la variedad habitual de suma de cosenos:

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

La variante de Matlab tiene estos coeficientes:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Hay otras variaciones disponibles, como lóbulos laterales que caen a costa de valores más altos cerca del lóbulo principal. ^[17]

Ventanas Rife-Vincent

Las ventanas de Rife-Vincent ^[43] habitualmente se escalan según el valor promedio unitario, en lugar del valor máximo unitario. Los valores de los coeficientes siguientes, aplicados a la ecuación 1 , reflejan esa costumbre.

Clase I, Orden 1 ( K = 1): Funcionalmente equivalente a la ventana de Hann. ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Clase I, Orden 2 ( K = 2): ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

La clase I se define minimizando la amplitud del lóbulo lateral de alto orden. Se tabulan los coeficientes para pedidos hasta K=4. ^[44]

La clase II minimiza el ancho del lóbulo principal para un lóbulo lateral máximo dado.

La clase III es un compromiso cuyo orden K  = 2 se asemeja a la ventana de § Blackman. ^{[44] [45]}

Ventanas ajustables

ventana gaussiana

Ventana gaussiana, σ  = 0,4

La transformada de Fourier de una gaussiana también es gaussiana. Dado que el soporte de una función gaussiana se extiende hasta el infinito, debe truncarse en los extremos de la ventana o enventanarse con otra ventana terminada en cero. ^[46]

Dado que el logaritmo de un gaussiano produce una parábola , esto puede usarse para una interpolación cuadrática casi exacta en la estimación de frecuencia . ^{[47] [46] [48]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

La desviación estándar de la función gaussiana es σ  ·  N /2 períodos de muestreo.

Ventana gaussiana confinada, σ _t  = 0,1

Ventana gaussiana confinada

La ventana gaussiana confinada produce el ancho de frecuencia cuadrático medio más pequeño posible σ _ω para un ancho temporal dado ( N + 1) σ _t . ^[49] Estas ventanas optimizan los productos de ancho de banda de tiempo-frecuencia RMS. Se calculan como los vectores propios mínimos de una matriz dependiente de parámetros. La familia de ventanas gaussianas confinadas contiene la ventana § sinusoidal y la ventana § gaussiana en los casos límite de σ _t grande y pequeña , respectivamente.

Ventana gaussiana confinada aproximada, σ _t  = 0,1

Ventana gaussiana confinada aproximada

Al definir L ≜ N + 1 , una ventana gaussiana confinada de ancho temporal L × σ _t se aproxima bien mediante: ^[49]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

donde es una función gaussiana: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

La desviación estándar de la ventana aproximada es asintóticamente igual (es decir, valores grandes de N ) a L × σ _t para σ _t < 0,14 . ^[49]

Ventana normal generalizada

Una versión más generalizada de la ventana gaussiana es la ventana normal generalizada. ^[50] Manteniendo la notación de la ventana gaussiana anterior, podemos representar esta ventana como

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

para cualquier incluso . En , esta es una ventana gaussiana y, a medida que se acerca , se aproxima a una ventana rectangular. La transformada de Fourier de esta ventana no existe en forma cerrada para un general . Sin embargo, demuestra los otros beneficios de tener un ancho de banda ajustable y fluido. Al igual que la ventana de § Tukey, esta ventana ofrece naturalmente una "parte superior plana" para controlar la atenuación de amplitud de una serie temporal (sobre la cual no tenemos control con la ventana gaussiana). En esencia, ofrece un buen compromiso (controlable), en términos de fuga espectral, resolución de frecuencia y atenuación de amplitud, entre la ventana gaussiana y la ventana rectangular. Véase también ^[51] para un estudio sobre la representación tiempo-frecuencia de esta ventana (o función). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

ventana tukey

Ventana de Tukey, α  = 0,5

La ventana de Tukey, también conocida como ventana cónica de coseno , puede considerarse como un lóbulo coseno de ancho Nα /2 (que abarca Nα /2 + 1 observaciones) que está convolucionado con una ventana rectangular de ancho N (1 − α /2 ) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$ ^{[52] [B] [C]}

En α  = 0 se vuelve rectangular y en α  = 1 se convierte en una ventana de Hann.

Ventana cónica de Planck

Ventana cónica de Planck, ε  = 0,25

La llamada ventana "cono de Planck" es una función de tope que se ha utilizado ampliamente ^[53] en la teoría de particiones de la unidad en variedades . Es suave (una función) en todas partes, pero es exactamente cero fuera de una región compacta, exactamente uno en un intervalo dentro de esa región, y varía suave y monótonamente entre esos límites. Su uso como función de ventana en el procesamiento de señales se sugirió por primera vez en el contexto de la astronomía de ondas gravitacionales , inspirada en la distribución de Planck . ^[54] Se define como una función por partes : ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

La cantidad de disminución está controlada por el parámetro ε , y los valores más pequeños dan transiciones más pronunciadas.

Ventana DPSS o Slepian

La DPSS (secuencia esferoidal prolata discreta) o ventana de Slepian maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal , ^[55] y se utiliza en el análisis espectral multicónico , que promedia el ruido en el espectro y reduce la pérdida de información en los bordes de la ventana.

El lóbulo principal termina en un rango de frecuencia dado por el parámetro α . ^[56]

Las siguientes ventanas de Kaiser se crean mediante una simple aproximación a las ventanas de DPSS:

ventana káiser

La ventana Kaiser, o Kaiser-Bessel, es una aproximación simple de la ventana DPSS que utiliza funciones de Bessel , descubierta por James Kaiser . ^{[57] [58]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$ ^{[D] [16] : pág. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

¿Dónde está la función de Bessel modificada de ^orden 0 de primer tipo? El parámetro variable determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y los niveles de los lóbulos laterales del patrón de fuga espectral. El ancho del lóbulo principal, entre los nulos, viene dado en unidades de contenedores DFT, ^[65] y un valor típico es 3. ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ventana de Dolph-Chebyshev

Ventana de Dolph-Chebyshev, α  = 5

Minimiza la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales para un ancho de lóbulo principal determinado. ^[66]

La función de ventana de Dolph-Chebyshev de fase cero generalmente se define en términos de su transformada de Fourier discreta de valor real : ^[67] ${\displaystyle w_{0}[n]}$ ${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) es el n -ésimo polinomio de Chebyshev del primer tipo evaluado en x , que se puede calcular usando

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

es la única solución real positiva para , donde el parámetro α establece la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales en −20 α  decibelios. ^[66] ${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

La función de ventana se puede calcular a partir de W ₀ ( k ) mediante una transformada de Fourier discreta inversa (DFT): ^[66]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

La versión retrasada de la ventana se puede obtener mediante:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

que para valores pares de N debe calcularse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

que es una DFT inversa de ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Variaciones:

• Debido a la condición de equiriplación, la ventana en el dominio del tiempo tiene discontinuidades en los bordes. Una aproximación que los evita, al permitir que las ondulaciones caigan en los bordes, es una ventana de Taylor.
• También está disponible una alternativa a la definición inversa de DFT.[1]

ventana ultraesférica

El parámetro μ de la ventana ultraesférica determina si las amplitudes de los lóbulos laterales de su transformada de Fourier disminuyen, están niveladas o (como se muestra aquí) aumentan con la frecuencia.

La ventana ultraesférica fue introducida en 1984 por Roy Streit ^[68] y tiene aplicación en el diseño de conjuntos de antenas, ^[69] diseño de filtros no recursivos ^[68] y análisis de espectro. ^[70]

Like other adjustable windows, the Ultraspherical window has parameters that can be used to control its Fourier transform main-lobe width and relative side-lobe amplitude. Uncommon to other windows, it has an additional parameter which can be used to set the rate at which side-lobes decrease (or increase) in amplitude.^[70][71][72]

The window can be expressed in the time-domain as follows:^[70]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

where ${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$ is the Ultraspherical polynomial of degree N, and ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle \mu }$ control the side-lobe patterns.^[70]

Certain specific values of ${\displaystyle \mu }$ yield other well-known windows: ${\displaystyle \mu =0}$ and ${\displaystyle \mu =1}$ give the Dolph–Chebyshev and Saramäki windows respectively.^[68] See here for illustration of Ultraspherical windows with varied parametrization.

Exponential or Poisson window

Exponential window, τ = N/2

Exponential window, τ = (N/2)/(60/8.69)

The Poisson window, or more generically the exponential window increases exponentially towards the center of the window and decreases exponentially in the second half. Since the exponential function never reaches zero, the values of the window at its limits are non-zero (it can be seen as the multiplication of an exponential function by a rectangular window ^[73]). It is defined by

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

where τ is the time constant of the function. The exponential function decays as e ≃ 2.71828 or approximately 8.69 dB per time constant.^[74]This means that for a targeted decay of D dB over half of the window length, the time constant τ is given by

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Hybrid windows

Window functions have also been constructed as multiplicative or additive combinations of other windows.

Bartlett–Hann window

Bartlett–Hann window

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Planck–Bessel window

Planck–Bessel window, ε = 0.1, α = 4.45

A § Planck-taper window multiplied by a Kaiser window which is defined in terms of a modified Bessel function. This hybrid window function was introduced to decrease the peak side-lobe level of the Planck-taper window while still exploiting its good asymptotic decay.^[75] It has two tunable parameters, ε from the Planck-taper and α from the Kaiser window, so it can be adjusted to fit the requirements of a given signal.

Hann–Poisson window

Hann–Poisson window, α = 2

A Hann window multiplied by a Poisson window. For ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$ it has no side-lobes, as its Fourier transform drops off forever away from the main lobe without local minima. It can thus be used in hill climbing algorithms like Newton's method.^[76] The Hann–Poisson window is defined by:

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

where α is a parameter that controls the slope of the exponential.

Other windows

GAP window (GAP optimized Nuttall window)

Generalized adaptive polynomial (GAP) window

The GAP window is a family of adjustable window functions that are based on a symmetrical polynomial expansion of order ${\displaystyle K}$. It is continuous with continuous derivative everywhere. With the appropriate set of expansion coefficients and expansion order, the GAP window can mimic all the known window functions, reproducing accurately their spectral properties.

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$ ^[77]

where ${\displaystyle \sigma }$ is the standard deviation of the ${\displaystyle \{n\}}$ sequence.

Additionally, starting with a set of expansion coefficients ${\displaystyle a_{2k}}$ that mimics a certain known window function, the GAP window can be optimized by minimization procedures to get a new set of coefficients that improve one or more spectral properties, such as the main lobe width, side lobe attenuation, and side lobe falloff rate.^[78] Therefore, a GAP window function can be developed with designed spectral properties depending on the specific application.

Sinc or Lanczos window

Lanczos window

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• used in Lanczos resampling
• for the Lanczos window, ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ is defined as ${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• also known as a sinc window, because: $${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$ is the main lobe of a normalized sinc function

Asymmetric window functions

The ${\displaystyle w_{0}(x)}$ form, according to the convention above, is symmetric around ${\displaystyle x=0}$. However, there are window functions that are asymmetric, such as the Gamma distribution used in FIR implementations of Gammatone filters. These asymmetries are used to reduce the delay when using large window sizes, or to emphasize the initial transient of a decaying pulse.^{[citation needed]}

Any bounded function with compact support, including asymmetric ones, can be readily used as a window function. Additionally, there are ways to transform symmetric windows into asymmetric windows by transforming the time coordinate, such as with the below formula

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

where the window weights more highly the earliest samples when ${\displaystyle \alpha >1}$, and conversely weights more highly the latest samples when ${\displaystyle \alpha <1}$.^[79]

See also

• Apodization
• Kolmogorov–Zurbenko filter
• Multitaper
• Short-time Fourier transform
• Spectral leakage
• Welch method
• Weight function
• Window design method

Notes

1. Some authors limit their attention to this important subset and to even values of N.^[16][17] But the window coefficient formulas are still the ones presented here.
2. This formula can be confirmed by simplifying the cosine function at MATLAB tukeywin and substituting r=α and x=n/N.
3. Harris 1978 (p 67, eq 38) appears to have two errors: (1) The subtraction operator in the numerator of the cosine function should be addition. (2) The denominator contains a spurious factor of 2. Also, Fig 30 corresponds to α=0.25 using the Wikipedia formula, but to 0.75 using the Harris formula. Fig 32 is similarly mislabeled.
4. The Kaiser window is often parametrized by β, where β = πα.^{[59][60][61][62][56][63][7]: p. 474} The alternative use of just α facilitates comparisons to the DPSS windows.^[64]

Page citations

1. Harris 1978, p 57, fig 10.

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Further reading

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• Bergen, S.W.A.; Antoniou, A. (2005). "Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function". EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2005 (12): 1910–1922. Bibcode:2005EJASP2005...44B. doi:10.1155/ASP.2005.1910.
• Prabhu, K. M. M. (2014). Window Functions and Their Applications in Signal Processing. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• US patent 7065150, Park, Young-Seo, "System and method for generating a root raised cosine orthogonal frequency division multiplexing (RRC OFDM) modulation", published 2003, issued 2006 

External links

• Media related to Window function at Wikimedia Commons
• LabView Help, Characteristics of Smoothing Filters, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• Creation and properties of Cosine-sum Window functions, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• Online Interactive FFT, Windows, Resolution, and Leakage Simulation | RITEC | Library & Tools