Función de una variable real

función matemática

En análisis matemático y aplicaciones en geometría , matemáticas aplicadas , ingeniería y ciencias naturales , una función de una variable real es una función cuyo dominio son los números reales , o un subconjunto de ellos que contiene un intervalo de longitud positiva. La mayoría de las funciones reales que se consideran y estudian son diferenciables en algún intervalo. Las funciones de este tipo más ampliamente consideradas son las funciones reales , que son las funciones con valores reales de una variable real, es decir, las funciones de una variable real cuyo codominio es el conjunto de números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sin embargo, el codominio de una función de una variable real puede ser cualquier conjunto. Sin embargo, a menudo se supone que tiene una estructura de espacio vectorial sobre los reales. Es decir, el codominio puede ser un espacio euclidiano , un vector de coordenadas , el conjunto de matrices de números reales de un tamaño determinado, o un -álgebra , como los números complejos o los cuaterniones . La estructura -espacio vectorial del codominio induce una estructura de -espacio vectorial en las funciones. Si el codominio tiene una estructura de -álgebra, lo mismo ocurre con las funciones. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La imagen de una función de una variable real es una curva en el codominio. En este contexto, una función que define la curva se llama ecuación paramétrica de la curva.

Cuando el codominio de una función de una variable real es un espacio vectorial de dimensión finita , la función puede verse como una secuencia de funciones reales. Esto se usa a menudo en aplicaciones.

función real

La gráfica de una función real.

Una función real es una función de un subconjunto de donde denota como siempre el conjunto de los números reales . Es decir, el dominio de una función real es un subconjunto y su codominio es. Generalmente se supone que el dominio contiene un intervalo de longitud positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ejemplos básicos

Para muchas funciones reales de uso común, el dominio es el conjunto completo de números reales y la función es continua y diferenciable en cada punto del dominio. Se dice que estas funciones son definidas, continuas y diferenciables en todas partes. Este es el caso de:

• Todas las funciones polinomiales , incluidas funciones constantes y funciones lineales.
• Funciones seno y coseno
• Funcion exponencial

Algunas funciones están definidas en todas partes, pero no son continuas en algunos puntos. Por ejemplo

• La función de paso de Heaviside está definida en todas partes, pero no es continua en cero.

Algunas funciones están definidas y son continuas en todas partes, pero no son diferenciables en todas partes. Por ejemplo

• El valor absoluto está definido y es continuo en todas partes, y es diferenciable en todas partes, excepto en cero.
• La raíz cúbica es definida y continua en todas partes, y es derivable en todas partes, excepto en cero.

Muchas funciones comunes no están definidas en todas partes, pero son continuas y diferenciables en todos los lugares donde se definen. Por ejemplo:

• Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas y no está definida en los ceros del denominador.
• La función tangente no está definida para donde k es cualquier número entero. ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• La función logaritmo se define sólo para valores positivos de la variable.

Algunas funciones son continuas en todo su dominio y no diferenciables en algunos puntos. Este es el caso de:

• La raíz cuadrada se define sólo para valores no negativos de la variable y no es diferenciable en 0 (es diferenciable para todos los valores positivos de la variable).

Definición general

Una función de valor real de una variable real es una función que toma como entrada un número real , comúnmente representado por la variable x , para producir otro número real, el valor de la función, comúnmente denotado f ( x ). Para simplificar, en este artículo una función con valor real de una variable real se llamará simplemente función . Para evitar cualquier ambigüedad, se especificarán explícitamente el otro tipo de funciones que puedan ocurrir.

Algunas funciones se definen para todos los valores reales de las variables (se dice que están definidas en todas partes), pero algunas otras funciones se definen sólo si el valor de la variable se toma en un subconjunto X de , el dominio de la función, que es Siempre se supone que contiene un intervalo de longitud positiva. En otras palabras, una función con valor real de una variable real es una función ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

tal que su dominio X es un subconjunto de que contiene un intervalo de longitud positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un ejemplo sencillo de una función en una variable podría ser:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

que es la raíz cuadrada de x .

Imagen

La imagen de una función es el conjunto de todos los valores de f cuando la variable x se ejecuta en todo el dominio de f . Para una función de valor real continua (consulte la definición a continuación) con un dominio conectado, la imagen es un intervalo o un valor único. En este último caso, la función es una función constante . ${\displaystyle f(x)}$

La preimagen de un número real dado y es el conjunto de las soluciones de la ecuación y = f ( x ) .

Dominio

El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto que a veces se define explícitamente. De hecho, si se restringe el dominio X de una función f a un subconjunto Y ⊂ X , se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de f a Y , que se denota f _{| Y.} ​En la práctica, a menudo no es perjudicial identificar f y f _{| Y} y omitir el subíndice _{| Y.}​ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por el contrario, a veces es posible ampliar naturalmente el dominio de una función dada, por ejemplo mediante continuidad o continuación analítica . Esto significa que no vale la pena definir explícitamente el dominio de una función de una variable real.

estructura algebraica

Las operaciones aritméticas se pueden aplicar a las funciones de la siguiente manera:

• Para cada número real r , la función constante está definida en todas partes. ${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• Para cada número real r y cada función f , la función tiene el mismo dominio que f (o está definida en todas partes si r = 0). ${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• Si f y g son dos funciones de dominios respectivos X e Y tales que X ∩ Y contiene un subconjunto abierto de , entonces y son funciones que tienen un dominio que contiene X ∩ Y . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

De ello se deduce que las funciones de n variables que están definidas en todas partes y las funciones de n variables que están definidas en alguna vecindad de un punto dado forman ambas álgebras conmutativas sobre los reales ( -álgebras). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

De manera similar, se puede definir cuál es una función sólo si el conjunto de los puntos ( x ) en el dominio de f tal que f ( x ) ≠ 0 contiene un subconjunto abierto de . Esta restricción implica que las dos álgebras anteriores no son campos . ${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Continuidad y límite

Límite de una función real de una variable real.

Hasta la segunda parte del siglo XIX, los matemáticos sólo consideraban funciones continuas . En ese momento, la noción de continuidad se elaboró ​​para las funciones de una o varias variables reales mucho antes de la definición formal de un espacio topológico y de un mapa continuo entre espacios topológicos. Como las funciones continuas de una variable real son omnipresentes en matemáticas, vale la pena definir esta noción sin hacer referencia a la noción general de aplicaciones continuas entre espacios topológicos.

Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de , que es una función definida en todas partes de 2 variables reales: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Una función f es continua en un punto interior de su dominio, si, para cada número real positivo ε , existe un número real positivo φ tal que para todos los tales que En otras palabras, φ puede elegirse lo suficientemente pequeño como para tener el imagen por f del intervalo de radio φ centrado en contenido en el intervalo de longitud 2 ε centrado en Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,a)<\varphi .}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

El límite de una función de valor real de una variable real es el siguiente. ^[1] Sea a un punto en el cierre topológico del dominio X de la función f . La función f tiene un límite L cuando x tiende hacia a , denotado

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

si se cumple la siguiente condición: Por cada número real positivo ε > 0, existe un número real positivo δ > 0 tal que

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

para todo x en el dominio tal que

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

Si el límite existe, es único. Si a está en el interior del dominio, el límite existe si y sólo si la función es continua en a . En este caso, tenemos

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

Cuando a está en el límite del dominio de f , y si f tiene un límite en a , esta última fórmula permite "extender por continuidad" el dominio de f a a .

Cálculo

Se pueden recopilar varias funciones, cada una de una variable real, digamos

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

en un vector parametrizado por x :

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

La derivada del vector y son las derivadas del vector de f _i ( x ) para i = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

También se pueden realizar integrales de línea a lo largo de una curva espacial parametrizada por x , con vector de posición r = r ( x ), integrando con respecto a la variable x :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

donde · es el producto escalar y x = a y x = b son los puntos inicial y final de la curva.

Teoremas

Con las definiciones de integración y derivadas se pueden formular teoremas clave, incluido el teorema fundamental del cálculo , la integración por partes y el teorema de Taylor . La evaluación de una mezcla de integrales y derivadas se puede realizar utilizando la diferenciación de teoremas bajo el signo integral .

Funciones implícitas

Una función implícita de valor real de una variable real no se escribe en la forma " y = f ( x )". En cambio, el mapeo es desde el espacio ² al elemento cero en (solo el cero ordinario 0): ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

y

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

es una ecuación en las variables. Las funciones implícitas son una forma más general de representar funciones, ya que si:

${\displaystyle y=f(x)}$

entonces siempre podemos definir:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

pero no siempre es posible lo contrario, es decir, no todas las funciones implícitas tienen la forma de esta ecuación.

Curvas espaciales unidimensionales en n R {\displaystyle \mathbb {R} }

Curva espacial en 3d. El vector de posición r está parametrizado por un escalar t . En r = a la línea roja es la tangente a la curva y el plano azul es normal a la curva.

Formulación

Dadas las funciones r ₁ = r ₁ ( t ) , r ₂ = r ₂ ( t ) , ..., r _n = r _n ( t ) todas de una variable común t , de modo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

o tomados juntos:

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

luego la n -tupla parametrizada,

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

describe una curva espacial unidimensional .

Línea tangente a la curva

En un punto r ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., an ₎ para alguna constante t = c , se dan las ecuaciones de la recta unidimensional tangente a la curva en ese punto en términos de las derivadas ordinarias de r ₁ ( t ), r ₂ ( t ), ..., r _n ( t ) y r con respecto a t :

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

Plano normal a curva

La ecuación del hiperplano n -dimensional normal a la recta tangente en r = a es:

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

o en términos del producto escalar :

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) son puntos en el plano , no en la curva espacial.

Relación con la cinemática

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

La interpretación física y geométrica de d r ( t )/ dt es la " velocidad " de una partícula puntual que se mueve a lo largo de la trayectoria r ( t ), tratando a r como las coordenadas del vector de posición espacial parametrizadas por el tiempo t , y es un vector tangente a la curva espacial para todo t en la dirección instantánea del movimiento. En t = c , la curva espacial tiene un vector tangente d r ( t )/ dt | _{t = c} , y el hiperplano normal a la curva espacial en t = c también es normal a la tangente en t = c . Cualquier vector en este plano ( p − a ) debe ser normal a d r ( t )/ dt | _{t = c} .

De manera similar, d ² r ( t )/ dt ² es la " aceleración " de la partícula y es un vector normal a la curva dirigida a lo largo del radio de curvatura .

Funciones con valores matriciales

Una matriz también puede ser función de una sola variable. Por ejemplo, la matriz de rotación en 2d:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

es una función valorada por matriz del ángulo de rotación alrededor del origen. De manera similar, en relatividad especial , la matriz de transformación de Lorentz para un impulso puro (sin rotaciones):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

es una función del parámetro de impulso β = v / c , en el que v es la velocidad relativa entre los marcos de referencia (una variable continua), y c es la velocidad de la luz , una constante.

Espacios de Banach y Hilbert y mecánica cuántica

Generalizando la sección anterior, la salida de una función de una variable real también puede estar en un espacio de Banach o en un espacio de Hilbert . En estos espacios, la división, la multiplicación y los límites están definidos, por lo que todavía se aplican nociones como derivada e integral. Esto ocurre especialmente a menudo en la mecánica cuántica, donde se toma la derivada de un ket o de un operador . Esto ocurre, por ejemplo, en la ecuación general de Schrödinger dependiente del tiempo :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

donde se toma la derivada de una función de onda, que puede ser un elemento de varios espacios de Hilbert diferentes.

Función de valor complejo de una variable real

Una función de valor complejo de una variable real se puede definir relajando, en la definición de funciones de valor real, la restricción del codominio a los números reales y permitiendo valores complejos .

Si f ( x ) es una función de valor tan complejo, se puede descomponer como

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x ) ,

donde g y h son funciones de valor real. En otras palabras, el estudio de las funciones valoradas complejas se reduce fácilmente al estudio de los pares de funciones valoradas reales.

Cardinalidad de conjuntos de funciones de una variable real.

La cardinalidad del conjunto de funciones con valores reales de una variable real, es , que es estrictamente mayor que la cardinalidad del continuo (es decir, el conjunto de todos los números reales). Este hecho se verifica fácilmente mediante aritmética cardinal: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

Además, si es un conjunto tal que , entonces la cardinalidad del conjunto también es , ya que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

Sin embargo, el conjunto de funciones continuas tiene una cardinalidad estrictamente menor, la cardinalidad del continuo . Esto se desprende del hecho de que una función continua está completamente determinada por su valor en un subconjunto denso de su dominio. ^[2] Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto de funciones continuas de valores reales sobre los reales no es mayor que la cardinalidad del conjunto de funciones de valores reales de una variable racional. Por aritmética cardinal: ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

Por otro lado, dado que existe una clara biyección entre y el conjunto de funciones constantes , que forma un subconjunto de , también debe cumplirse. Por eso, . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$ ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

Ver también

• Análisis reales
• Función de varias variables reales.
• Análisis complejo
• Función de varias variables complejas.

Referencias

1. R. Courant. Cálculo Diferencial e Integral . vol. 2. Biblioteca de clásicos de Wiley. págs. 46–47. ISBN 0-471-60840-8.
2. Rudin, W. (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 98–99. ISBN 0-07-054235X.

• F. Ayres, E. Mendelson (2009). Cálculo . Serie de esquemas de Schaum (5ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
• R. Wrede, MR Spiegel (2010). Cálculo avanzado . Serie de esquemas de Schaum (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
• N. Bourbaki (2004). Funciones de una variable real: teoría elemental. Saltador. ISBN 354-065-340-6.

enlaces externos

• Cálculo multivariable
• LA Talman (2007) Diferenciabilidad de funciones multivariables