Función lacunar

Coloración del dominio de la 128a suma parcial de la función lagunar . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$

En análisis , una función lagunar , también conocida como serie lagunar , es una función analítica que no puede continuar analíticamente en ningún lugar fuera del radio de convergencia dentro del cual está definida por una serie de potencias . La palabra lagunar se deriva de lacuna ( pl. lacunae), que significa espacio vacío.

Los primeros ejemplos conocidos de funciones lacunares involucraban series de Taylor con grandes brechas, o lagunas, entre los coeficientes no nulos de sus expansiones. Investigaciones más recientes también han enfocado su atención en series de Fourier con brechas similares entre coeficientes no nulos. Existe una ligera ambigüedad en el uso moderno del término serie lacunar , que puede referirse tanto a series de Taylor como a series de Fourier.

Un ejemplo sencillo

Elija un entero . Considere la siguiente función definida por una serie de potencias simple: ${\displaystyle a\geq 2}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

La serie de potencias converge de manera localmente uniforme en cualquier dominio abierto | z | < 1. Esto se puede demostrar comparando f con la serie geométrica , que es absolutamente convergente cuando | z | < 1. Por lo tanto , f es analítica en el disco unitario abierto. Sin embargo, f tiene una singularidad en cada punto del círculo unitario y no puede continuar analíticamente fuera del disco unitario abierto, como demuestra el siguiente argumento.

Claramente f tiene una singularidad en z = 1, porque

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

es una serie divergente. Pero si se permite que z no sea real, surgen problemas, ya que

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

Podemos ver que f tiene una singularidad en un punto z cuando z ^a = 1, y también cuando z ^{a 2} = 1. Por la inducción sugerida por las ecuaciones anteriores, f debe tener una singularidad en cada una de las raíces a ⁿ -ésimas de la unidad para todos los números naturales n. El conjunto de todos esos puntos es denso en el círculo unitario, por lo tanto, por extensión continua, cada punto en el círculo unitario debe ser una singularidad de f. ^[1]

Un resultado elemental

Evidentemente, el argumento presentado en el ejemplo simple muestra que se pueden construir ciertas series para definir funciones lagunares. Lo que no es tan evidente es que las brechas entre las potencias de z pueden expandirse mucho más lentamente, y la serie resultante seguirá definiendo una función lagunar. Para que esta noción sea más precisa, se necesita alguna notación adicional.

Nosotros escribimos

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,}$

donde b _n = a _k cuando n = λ _k , y b _n  = 0 en caso contrario. Los tramos donde los coeficientes b _n en la segunda serie son todos cero son las lagunas en los coeficientes. La secuencia monótonamente creciente de números naturales positivos {λ _k } especifica las potencias de z que están en la serie de potencias para f ( z ).

Ahora se puede enunciar un teorema de Hadamard . ^[2] Si

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

para todo k , donde δ > 0 es una constante positiva arbitraria, entonces f ( z ) es una función lacunaria que no puede continuar fuera de su círculo de convergencia. En otras palabras, la secuencia {λ _k } no tiene que crecer tan rápido como 2 ^k para que f ( z ) sea una función lacunaria – solo tiene que crecer tan rápido como alguna progresión geométrica (1 + δ) ^k . Se dice que una serie para la cual λ _k crece tan rápido contiene brechas de Hadamard . Véase el teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard .

Serie trigonométrica lacunar

Los matemáticos también han investigado las propiedades de las series trigonométricas lacunares.

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

para los cuales los λ _k están muy separados. Aquí los coeficientes a _k son números reales. En este contexto, se ha centrado la atención en criterios suficientes para garantizar la convergencia de las series trigonométricas casi en todas partes (es decir, para casi cualquier valor del ángulo θ y del factor de distorsión ω ).

• Kolmogorov demostró que si la secuencia { λ _k } contiene huecos de Hadamard, entonces la serie S ( λ _k ,  θ ,  ω ) converge (diverge) casi en todas partes cuando

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

converge (diverge).

• Zygmund demostró bajo la misma condición que S ( λ _k ,  θ ,  ω ) no es una serie de Fourier que representa una función integrable cuando esta suma de cuadrados de a _k es una serie divergente. ^[3]

Una visión unificada

Se puede obtener una mayor comprensión de la cuestión subyacente que motiva la investigación de las series de potencias lacunares y las series trigonométricas lacunares si se vuelve a examinar el ejemplo simple anterior. En ese ejemplo, utilizamos la serie geométrica

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

y la prueba M de Weierstrass para demostrar que el ejemplo simple define una función analítica en el disco unitario abierto.

La serie geométrica en sí define una función analítica que converge en todas partes en el disco unitario cerrado excepto cuando z = 1, donde g ( z ) tiene un polo simple. ^[4] Y, dado que z  =  e ^iθ para los puntos en el círculo unitario, la serie geométrica se convierte en

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

en un z particular , | z | = 1. Desde esta perspectiva, entonces, los matemáticos que investigan las series lagunares se hacen la pregunta: ¿cuánto hay que distorsionar la serie geométrica (cortando grandes secciones e introduciendo coeficientes a _k  ≠ 1) antes de que el objeto matemático resultante se transforme de una bonita función meromórfica suave en algo que exhibe una forma primitiva de comportamiento caótico ?

Véase también

• Continuación analítica
• Szolem Mandelbrojt
• Benoît Mandelbrot
• Conjunto de Mandelbrot
• Teorema de la brecha de Fabry
• Teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard

Notas

1. (Whittaker y Watson, 1927, pág. 98) Este ejemplo aparentemente se originó con Weierstrass.
2. (Mandelbrojt y Miles, 1927)
3. (Fukuyama y Takahashi, 1999)
4. Esto se puede demostrar aplicando la prueba de Abel a la serie geométrica g ( z ). También se puede entender directamente, reconociendo que la serie geométrica es la serie de Maclaurin para g ( z ) =  z /(1− z ).

Referencias

• Katusi Fukuyama y Shigeru Takahashi, Actas de la American Mathematical Society , vol. 127 #2 págs. 599–608 (1999), "El teorema del límite central para series lacunares".
• Szolem Mandelbrojt y Edward Roy Cecil Miles, The Rice Institute Pamphlet , vol. 14 #4 págs. 261–284 (1927), "Funciones lacunares".
• ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1927.

Enlaces externos

• Fukuyama y Takahashi, 1999 Un artículo (PDF) titulado El teorema del límite central para series lacunares , del AMS.
• Mandelbrojt y Miles, 1927 Un artículo (PDF) titulado Funciones lacunares , de la Universidad Rice.
• Artículo de MathWorld sobre funciones lacunares