Función de partición (teoría cuántica de campos)

Función generadora de funciones de correlación cuántica

En la teoría cuántica de campos , las funciones de partición son funcionales generadores de funciones de correlación , lo que las convierte en objetos clave de estudio en el formalismo de la integral de trayectorias . Son las versiones de tiempo imaginario de las funciones de partición de la mecánica estadística , lo que da lugar a una estrecha conexión entre estas dos áreas de la física. Las funciones de partición rara vez se pueden resolver con exactitud, aunque las teorías libres admiten tales soluciones. En cambio, generalmente se implementa un enfoque perturbativo , que es equivalente a sumar sobre diagramas de Feynman .

Generando funcional

Teorías escalares

En una teoría de campo dimensional con un campo escalar real y una acción , la función de partición se define en el formalismo de integral de trayectoria como la función ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

donde es una corriente de fuente ficticia . Actúa como una función generadora para funciones de correlación arbitrarias de n puntos. ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Las derivadas que se utilizan aquí son derivadas funcionales en lugar de derivadas regulares, ya que actúan sobre funciones funcionales en lugar de funciones regulares. De esto se deduce que una expresión equivalente para la función de partición que recuerda a una serie de potencias en corrientes de fuente viene dada por ^[2].

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

En los espacios-tiempos curvos hay una sutileza añadida que debe abordarse debido al hecho de que el estado de vacío inicial no tiene por qué ser el mismo que el estado de vacío final. ^[3] También se pueden construir funciones de partición para operadores compuestos de la misma manera que para campos fundamentales. Las funciones de correlación de estos operadores se pueden calcular entonces como derivadas funcionales de estos funcionales. ^[4] Por ejemplo, la función de partición para un operador compuesto está dada por ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

Conocer la función de partición resuelve completamente la teoría, ya que permite el cálculo directo de todas sus funciones de correlación. Sin embargo, hay muy pocos casos en los que la función de partición se puede calcular con exactitud. Si bien las teorías libres admiten soluciones exactas, las teorías interactuantes generalmente no lo hacen. En cambio, la función de partición se puede evaluar en acoplamiento débil de manera perturbativa, lo que equivale a una teoría de perturbación regular que utiliza diagramas de Feynman con inserciones en los lados externos. ^[5] Los factores de simetría para este tipo de diagramas difieren de los de las funciones de correlación, ya que todos los lados externos tienen inserciones idénticas que se pueden intercambiar, mientras que los lados externos de las funciones de correlación están todos fijos en coordenadas específicas y, por lo tanto, son fijos. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Realizando una transformación de Wick , la función de partición se puede expresar en el espacio-tiempo euclidiano como ^[6]

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

donde es la acción euclidiana y son las coordenadas euclidianas. Esta forma está estrechamente relacionada con la función de partición en mecánica estadística, especialmente porque el lagrangiano euclidiano suele estar acotado desde abajo, en cuyo caso se puede interpretar como una densidad de energía . También permite la interpretación del factor exponencial como un peso estadístico para las configuraciones de campo, con fluctuaciones mayores en el gradiente o los valores de campo que conducen a una mayor supresión. Esta conexión con la mecánica estadística también proporciona una intuición adicional sobre cómo deberían comportarse las funciones de correlación en una teoría cuántica de campos. ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle x_{E}}$

Teorías generales

La mayoría de los principios del caso escalar se aplican a teorías más generales con campos adicionales. Cada campo requiere la introducción de su propia corriente ficticia, y los campos de antipartículas requieren sus propias corrientes independientes. Al actuar sobre la función de partición con una derivada de una corriente, se reduce su campo asociado a partir del exponencial, lo que permite la construcción de funciones de correlación arbitrarias. Después de la diferenciación, las corrientes se establecen en cero cuando se desean funciones de correlación en un estado de vacío, pero las corrientes también se pueden configurar para que adopten valores particulares para producir funciones de correlación en campos de fondo que no se desvanecen.

Para funciones de partición con campos fermiónicos valorados en Grassmann , las fuentes también son valoradas en Grassmann. ^[7] Por ejemplo, una teoría con un solo fermión de Dirac requiere la introducción de dos corrientes de Grassmann y de modo que la función de partición sea ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$

${\displaystyle Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.}$

Las derivadas funcionales con respecto a dan campos fermiónicos mientras que las derivadas con respecto a dan campos antifermiónicos en las funciones de correlación. ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$

Teorías de campos térmicos

Una teoría de campos térmicos a temperatura es equivalente en el formalismo euclidiano a una teoría con una dirección temporal compactada de longitud . Las funciones de partición deben modificarse adecuadamente imponiendo condiciones de periodicidad a los campos y las integrales del espacio-tiempo euclidianos ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta =1/T}$

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.}$

Esta función de partición puede tomarse como la definición de la teoría del campo térmico en el formalismo de tiempo imaginario. ^[8] Las funciones de correlación se adquieren a partir de la función de partición a través de las derivadas funcionales habituales con respecto a las corrientes.

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Teorías libres

La función de partición se puede resolver exactamente en teorías libres completando el cuadrado en términos de los campos. Dado que un desplazamiento por una constante no afecta la medida de la integral de trayectoria , esto permite separar la función de partición en una constante de proporcionalidad que surge de la integral de trayectoria y un segundo término que solo depende de la corriente. Para la teoría escalar esto produce ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z_{0}[J]=N\exp {\bigg (}-{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y\ J(x)\Delta _{F}(x-y)J(y){\bigg )},}$

¿Dónde está el propagador de Feynman en el espacio de posiciones? ${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Esta función de partición determina completamente la teoría del campo libre.

En el caso de una teoría con un único fermión de Dirac libre, al completar el cuadrado se obtiene una función de partición de la forma

${\displaystyle Z_{0}[{\bar {\eta }},\eta ]=N\exp {\bigg (}\int d^{d}xd^{d}y\ {\bar {\eta }}(y)\Delta _{D}(x-y)\eta (x){\bigg )},}$

¿Dónde está el propagador de Dirac en el espacio de posición? ${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Referencias

1. Rivers, RJ (1988). "1". Métodos de integral de trayectorias en la teoría cuántica de campos . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 14-16. ISBN 978-0521368704.
2. Năstase, H. (2019). "9". Introducción a la teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. pág. 78. ISBN 978-1108493994.
3. Birrell, NC; Davis, PCW (1984). "6". Campos cuánticos en el espacio-tiempo curvo . Cambridge University Press. págs. 155-156. ISBN 978-0521278584.
4. Năstase, H. (2015). "1". Introducción a la correspondencia AdS/CFT . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 9-10. ISBN 978-1107085855.
5. Srednicki, M. (2007). "9". Teoría cuántica de campos . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 58-60. ISBN 978-0521864497.
6. Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). "9". Introducción a la teoría cuántica de campos . Westview Press. págs. 289-292. ISBN 9780201503975.
7. Schwartz, MD (2014). "34". Teoría cuántica de campos y el modelo estándar . Cambridge University Press. pág. 272. ISBN 9781107034730.
8. Le Bellac, M. (2008). "3". Teoría de campos térmicos . Cambridge University Press. págs. 36-37. ISBN 978-0521654777.

Lectura adicional

• Ashok Das, Field Theory: A Path Integral Approach , 2.ª edición, World Scientific (Singapur, 2006); libro de bolsillo ISBN 978-9812568489 . 
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4.ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); libro de bolsillo ISBN 981-238-107-4 (también disponible en línea: archivos PDF) . 
• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia, 4(2): 8674.