Función de paso pesado

Función indicadora de números positivos.

La función escalonada de Heaviside , o función escalón unitaria , generalmente denotada por H o ​​θ (pero a veces u , 1 o 𝟙 ), es una función escalonada que lleva el nombre de Oliver Heaviside , cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. . ^[1] Es un ejemplo de la clase general de funciones escalonadas, todas las cuales pueden representarse como combinaciones lineales de traslaciones de ésta.

La función se desarrolló originalmente en cálculo operacional para la solución de ecuaciones diferenciales , donde representa una señal que se enciende en un momento específico y permanece encendida indefinidamente. Oliver Heaviside , quien desarrolló el cálculo operacional como herramienta en el análisis de las comunicaciones telegráficas, representó la función como 1 .

La función de Heaviside se puede definir como:

• una función por partes :
  $${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• usando la notación entre corchetes de Iverson :
  $${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• una función indicadora :
  $${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$
• la derivada de la función rampa :
  $${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0}$$

La función delta de Dirac es la derivada de la función de Heaviside

$${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)}$$

Por tanto, la función de Heaviside puede considerarse la integral de la función delta de Dirac. Esto a veces se escribe como

$${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds}$$

aunque esta expansión puede no ser válida (o incluso no tener sentido) para x = 0 , dependiendo del formalismo que se use para dar significado a las integrales que involucran δ . En este contexto, la función de Heaviside es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria que casi con seguridad es 0. (Ver variable aleatoria constante ).

En cálculo operativo, las respuestas útiles rara vez dependen de qué valor se usa para H (0) , ya que H se usa principalmente como distribución . Sin embargo, la elección puede tener algunas consecuencias importantes en el análisis funcional y la teoría de juegos, donde se consideran formas más generales de continuidad. Algunas opciones comunes se pueden ver a continuación.

Las aproximaciones a la función escalonada de Heaviside son útiles en bioquímica y neurociencia , donde las aproximaciones logísticas de funciones escalonadas (como las ecuaciones de Hill y Michaelis-Menten ) pueden usarse para aproximar interruptores celulares binarios en respuesta a señales químicas.

Aproximaciones analíticas

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}}$
se acerca a la función escalonada como k → ∞ .

Para una aproximación suave a la función escalonada, se puede utilizar la función logística

$${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$

donde una k mayor corresponde a una transición más pronunciada en x = 0 . Si tomamos H (0) =1/2, la igualdad se cumple en el límite:

$${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

Hay muchas otras aproximaciones analíticas suaves a la función escalonada. ^[2] Entre las posibilidades están:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$

Estos límites se mantienen puntualmente y en el sentido de distribuciones . Sin embargo, en general, la convergencia puntual no tiene por qué implicar convergencia distributiva, y viceversa, la convergencia distributiva no tiene por qué implicar convergencia puntual. (Sin embargo, si todos los miembros de una secuencia de funciones convergentes puntualmente están uniformemente acotados por alguna función "agradable", entonces la convergencia también se cumple en el sentido de las distribuciones ).

En general, cualquier función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad continua que tenga un máximo alrededor de cero y tenga un parámetro que controle la varianza puede servir como una aproximación, en el límite cuando la varianza se acerca a cero. Por ejemplo, las tres aproximaciones anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad comunes: las distribuciones logística , de Cauchy y normal , respectivamente.

Representaciones integrales

A menudo resulta útil una representación integral de la función escalonada de Heaviside:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}}$$

donde la segunda representación es fácil de deducir de la primera, dado que la función escalonada es real y, por tanto, es su propio conjugado complejo.

Argumento cero

Dado que H se usa generalmente en integración y el valor de una función en un solo punto no afecta su integral, rara vez importa qué valor particular se elija de H (0) . De hecho, cuando H se considera una distribución o un elemento de L ^∞ (ver espacio L p ), ni siquiera tiene sentido hablar de un valor en cero, ya que tales objetos sólo se definen en casi todas partes . Si se utiliza alguna aproximación analítica (como en los ejemplos anteriores), a menudo se utiliza el límite relevante en cero.

Existen varias razones para elegir un valor particular.

• H (0) =1/2se usa a menudo ya que el gráfico tiene simetría rotacional; dicho de otra manera, H −1/2es entonces una función impar . En este caso, la siguiente relación con la función de signo se cumple para todo x :
  $${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$
• H (0) = 1 se usa cuando H necesita ser continuo por la derecha . Por ejemplo, las funciones de distribución acumulativa generalmente se consideran continuas por la derecha, al igual que las funciones integradas en la integración de Lebesgue-Stieltjes . En este caso H es la función indicadora de unintervalo semiinfinito cerrado :
  $${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$
  La distribución de probabilidad correspondiente es la distribución degenerada .
• H (0) = 0 se usa cuando H necesita ser continuo a la izquierda . En este caso H es una función indicadora de unintervalo semiinfinito abierto :
  $${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$$
• En contextos de análisis funcional de optimización y teoría de juegos, a menudo es útil definir la función de Heaviside como una función de valores establecidos para preservar la continuidad de las funciones limitantes y asegurar la existencia de ciertas soluciones. En estos casos, la función de Heaviside devuelve un intervalo completo de posibles soluciones, H (0) = [0,1] .

forma discreta

Una forma alternativa del paso unitario, definida en cambio como una función (es decir, tomando una variable discreta n ), es: ${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$

o usando la convención de mitad del máximo: ^[3]

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$

donde n es un número entero . Si n es un número entero, entonces n < 0 debe implicar que n ≤ −1 , mientras que n > 0 debe implicar que la función alcanza la unidad en n = 1 . Por lo tanto, la "función escalonada" exhibe un comportamiento similar a una rampa en el dominio de [−1, 1] y no puede ser auténticamente una función escalonada, utilizando la convención de mitad del máximo.

A diferencia del caso continuo, la definición de H [0] es significativa.

El impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del paso de tiempo discreto

$${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$

Esta función es la suma acumulativa del delta de Kronecker :

$${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]}$$

dónde

$${\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$$

es la función de impulso unitario discreto .

Antiderivada y derivada

La función de rampa es una antiderivada de la función escalonada de Heaviside:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$

La derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside es la función delta de Dirac :

$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside es una distribución. Usando una elección de constantes para la definición de la transformada de Fourier tenemos

$${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$

aqui pv1/ses la distribución que lleva una función de prueba φ al valor principal de Cauchy de . El límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de distribuciones (atenuadas). ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$

Transformada unilateral de Laplace

La transformada de Laplace de la función escalonada de Heaviside es una función meromórfica . Usando la transformada unilateral de Laplace tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

Cuando se utiliza la transformada bilateral, la integral se puede dividir en dos partes y el resultado será el mismo.

Otras expresiones

La función de paso de Heaviside se puede representar como una hiperfunción como

$${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).}$$

log zvalor principal del logaritmo complejoz

También se puede expresar para x ≠ 0 en términos de la función de valor absoluto como

$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.}$$

Ver también

• Función delta de Dirac
• Función indicadora
• soporte iverson
• transformada de Laplace
• Laplaciano del indicador
• Lista de funciones matemáticas
• brackets macaulay
• Numero negativo
• función rectangular
• Función de signo
• Integral seno
• Respuesta al paso

Referencias

1. Zhang, Weihong; Zhou, Ying (2021). "Funciones de conjunto de niveles y funciones paramétricas". El método basado en características para la optimización estructural . Elsevier. págs. 9–46. doi :10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x. La función de Heaviside, también llamada función escalonada de Heaviside, es una función discontinua. Como se ilustra en la figura 2.13, valora cero para entradas negativas y uno para entradas no negativas.
2. Weisstein, Eric W. "Función de paso Heaviside". MundoMatemático .
3. Bracewell, Ronald Newbold (2000). La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 61.ISBN _ 0-07-303938-1.

enlaces externos

• Biblioteca digital de funciones matemáticas, NIST, [1].
• Berg, Ernst Julius (1936). "Función unitaria". El cálculo operacional de Heaviside, aplicado a la ingeniería y la física . Educación McGraw-Hill . pag. 5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace y la inversión integral". Universidad de Denver .
• Davies, Brian (2002). "Función de paso Heaviside". Transformaciones integrales y sus aplicaciones (3ª ed.). Saltador. pag. 28.
• Duff, George FD ; Naylor, D. (1966). "Función de unidad Heaviside". Ecuaciones Diferenciales de Matemática Aplicada . John Wiley e hijos . pag. 42.