Función de ambigüedad

En el procesamiento de señales de radar y sonar pulsadas , una función de ambigüedad es una función bidimensional del retardo de propagación y la frecuencia Doppler , . Representa la distorsión de un pulso de retorno debido al filtro adaptado al receptor ^[1] (usado comúnmente, pero no exclusivamente, en radares de compresión de pulsos ) del retorno de un objetivo en movimiento. La función de ambigüedad está definida por las propiedades del pulso y del filtro, y no por un escenario de objetivo en particular. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi (\tau ,f)}$

Existen muchas definiciones de la función de ambigüedad; algunas están restringidas a señales de banda estrecha y otras son adecuadas para describir la relación de retardo y Doppler de señales de banda ancha. A menudo, la definición de la función de ambigüedad se da como la magnitud al cuadrado de otras definiciones (Weiss ^[2] ). Para un pulso de banda base complejo dado , la función de ambigüedad de banda estrecha viene dada por ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi ft}\,dt}$

donde denota el conjugado complejo y es la unidad imaginaria . Nótese que para un desplazamiento Doppler cero ( ), esto se reduce a la autocorrelación de . Una forma más concisa de representar la función de ambigüedad consiste en examinar los "cortes" unidimensionales de retardo cero y Doppler cero; es decir, y , respectivamente. La salida del filtro adaptado en función del tiempo (la señal que se observaría en un sistema de radar) es un corte Doppler, con la frecuencia constante dada por el desplazamiento Doppler del objetivo: . ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \chi (0,f)}$ ${\displaystyle \chi (\tau ,0)}$ ${\displaystyle \chi (\tau ,f_{D})}$

Antecedentes y motivación

El equipo de radar de pulso Doppler envía una serie de pulsos de radiofrecuencia . Cada pulso tiene una forma determinada (forma de onda): cuánto dura el pulso, cuál es su frecuencia, si la frecuencia cambia durante el pulso, etc. Si las ondas se reflejan en un solo objeto, el detector verá una señal que, en el caso más simple, es una copia del pulso original pero retrasada un tiempo determinado (relacionado con la distancia del objeto) y desplazada una frecuencia determinada (relacionada con la velocidad del objeto [ desplazamiento Doppler ]). Si la forma de onda del pulso emitido original es , entonces la señal detectada (sin tener en cuenta el ruido, la atenuación, la distorsión y las correcciones de banda ancha) será: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{\tau ,f}(t)\equiv s(t-\tau )e^{i2\pi ft}.}$

La señal detectada nunca será exactamente igual a ninguna debido al ruido. Sin embargo, si la señal detectada tiene una alta correlación con , para un cierto retardo y desplazamiento Doppler , entonces eso sugiere que hay un objeto con . Desafortunadamente, este procedimiento puede producir falsos positivos , es decir, valores erróneos que, sin embargo, están altamente correlacionados con la señal detectada. En este sentido, la señal detectada puede ser ambigua . ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ ${\displaystyle (\tau ,f)}$ ${\displaystyle (\tau ,f)}$ ${\displaystyle (\tau ',f')}$

La ambigüedad se produce específicamente cuando existe una alta correlación entre y para . Esto motiva la función de ambigüedad . La propiedad definitoria de es que la correlación entre y es igual a . ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ ${\displaystyle (\tau ,f)\neq (\tau ',f')}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ ${\displaystyle \chi (\tau -\tau ',f-f')}$

Diferentes formas de pulso (formas de onda) tienen diferentes funciones de ambigüedad, y la función de ambigüedad es relevante al momento de elegir qué pulso usar. ${\displaystyle s(t)}$

La función tiene un valor complejo; el grado de "ambigüedad" está relacionado con su magnitud . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}}$

Relación con las distribuciones de tiempo-frecuencia

La función de ambigüedad desempeña un papel clave en el campo del procesamiento de señales de tiempo-frecuencia ^[3], ya que está relacionada con la distribución de Wigner-Ville mediante una transformada de Fourier bidimensional . Esta relación es fundamental para la formulación de otras distribuciones de tiempo-frecuencia : las distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales se obtienen mediante un filtrado bidimensional en el dominio de la ambigüedad (es decir, la función de ambigüedad de la señal). Esta clase de distribución puede adaptarse mejor a las señales consideradas ^[4] .

Además, la distribución de ambigüedad puede verse como la transformada de Fourier de corta duración de una señal que utiliza la propia señal como función de ventana. Esta observación se ha utilizado para definir una distribución de ambigüedad en el dominio de escala temporal en lugar del dominio de frecuencia temporal. ^[5]

Función de ambigüedad de banda ancha

La función de ambigüedad de banda ancha de es: ^{[2] [6]} ${\displaystyle s\in L^{2}(R)}$

${\displaystyle WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt}$

donde es un factor de escala de tiempo de la señal recibida en relación con la señal transmitida dado por: ${\displaystyle {\alpha }}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{c-v}}}$

para un objetivo que se mueve con velocidad radial constante v . La reflexión de la señal se representa con compresión (o expansión) en el tiempo por el factor , que es equivalente a una compresión por el factor en el dominio de la frecuencia (con una escala de amplitud). Cuando la velocidad de la onda en el medio es suficientemente más rápida que la velocidad del objetivo, como es común con el radar, esta compresión en frecuencia se aproxima estrechamente por un cambio en la frecuencia Δf = f _c *v/c (conocido como el desplazamiento Doppler ). Para una señal de banda estrecha, esta aproximación da como resultado la función de ambigüedad de banda estrecha dada anteriormente, que se puede calcular de manera eficiente haciendo uso del algoritmo FFT . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$

Función de ambigüedad ideal

Una función de ambigüedad de interés es una función delta de Dirac bidimensional o función "chincheta"; es decir, una función que es infinita en (0,0) y cero en el resto del resto.

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,}$

Una función de ambigüedad de este tipo sería un nombre un tanto inapropiado; no tendría ambigüedades en absoluto, y tanto el corte de retardo cero como el de Doppler cero serían un impulso . Esto no suele ser deseable (si un objetivo tiene algún desplazamiento Doppler desde una velocidad desconocida, desaparecerá de la imagen del radar), pero si el procesamiento Doppler se realiza de forma independiente, el conocimiento de la frecuencia Doppler precisa permite determinar la distancia sin interferencias de otros objetivos que no se estén moviendo exactamente a la misma velocidad.

Este tipo de función de ambigüedad se produce mediante ruido blanco ideal (de duración infinita y ancho de banda infinito). ^[7] Sin embargo, esto requeriría una potencia infinita y no es físicamente realizable. No hay pulso que se produzca a partir de la definición de la función de ambigüedad. Sin embargo, existen aproximaciones y las señales similares al ruido, como las formas de onda con modulación por desplazamiento de fase binaria que utilizan secuencias de longitud máxima, son las que mejor se conocen en este sentido. ^[8] ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \delta (\tau )\delta (f)}$

Propiedades

(1) Valor máximo

${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}}$

(2) Simetría sobre el origen

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^{*}(-\tau ,-f)\,}$

(3) Invariancia del volumen

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d\tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}}$

(4) Modulación por una señal FM lineal

${\displaystyle {\text{If }}s(t)\rightarrow |\chi (\tau ,f)|{\text{ then }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{\rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,}$

(5) Espectro de energía de frecuencia

${\displaystyle S(f)S^{*}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

(6) Existen límites superiores y límites inferiores para ^[9] para las integrales de potencia ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p<2}$ ${\displaystyle p^{th}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\,d\tau \,df}$.

Estos límites son precisos y se alcanzan si y sólo si es una función gaussiana. ${\displaystyle s(t)}$

Pulso cuadrado

Función de ambigüedad para un pulso cuadrado

Consideremos un pulso cuadrado simple de duración y amplitud : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(u(t)-u(t-\tau ))\,}$

donde es la función de paso de Heaviside . La salida del filtro adaptado se obtiene mediante la autocorrelación del pulso, que es un pulso triangular de altura y duración (el corte Doppler cero). Sin embargo, si el pulso medido tiene un desfase de frecuencia debido al desplazamiento Doppler, la salida del filtro adaptado se distorsiona en una función sinc . Cuanto mayor sea el desplazamiento Doppler, menor será el pico del sinc resultante y más difícil será detectar el objetivo. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle \tau ^{2}A^{2}}$ ${\displaystyle 2\tau }$

En general, el pulso cuadrado no es una forma de onda deseable desde el punto de vista de la compresión de pulsos, porque la función de autocorrelación es demasiado corta en amplitud, lo que dificulta la detección de objetivos en el ruido, y demasiado amplia en el tiempo, lo que dificulta la distinción de múltiples objetivos superpuestos.

Pulso LFM

Función de ambigüedad para un pulso LFM

Un pulso de radar o sonar de uso común es el pulso modulado en frecuencia lineal (LFM) (o "chirp"). Tiene la ventaja de un mayor ancho de banda, manteniendo la duración del pulso corta y la envolvente constante. Un pulso LFM de envolvente constante tiene una función de ambigüedad similar a la del pulso cuadrado, excepto que está sesgado en el plano de retardo-Doppler. Los ligeros desajustes Doppler del pulso LFM no cambian la forma general del pulso y reducen muy poco la amplitud, pero parecen desplazar el pulso en el tiempo. Por lo tanto, un desplazamiento Doppler no compensado cambia el alcance aparente del objetivo; este fenómeno se denomina acoplamiento alcance-Doppler.

Funciones de ambigüedad multiestática

La función de ambigüedad se puede extender a los radares multiestáticos, que comprenden múltiples transmisores y/o receptores no ubicados conjuntamente (y pueden incluir el radar biestático como un caso especial).

Para estos tipos de radar, la simple relación lineal entre tiempo y alcance que existe en el caso monoestático ya no se aplica, y en su lugar depende de la geometría específica, es decir, la ubicación relativa de los transmisores, receptores y objetivo. Por lo tanto, la función de ambigüedad multiestática se define, en la mayoría de los casos, como una función de vectores de posición y velocidad bidimensionales o tridimensionales para una geometría multiestática dada y una forma de onda transmitida.

Así como la función de ambigüedad monoestática se deriva naturalmente del filtro adaptado, la función de ambigüedad multiestática se deriva del detector multiestático óptimo correspondiente , es decir, el que maximiza la probabilidad de detección dada una probabilidad fija de falsa alarma mediante el procesamiento conjunto de las señales en todos los receptores. La naturaleza de este algoritmo de detección depende de si las fluctuaciones del objetivo observadas por cada par biestático dentro del sistema multiestático están o no correlacionadas entre sí. Si es así, el detector óptimo realiza una suma coherente de fase de las señales recibidas, lo que puede dar como resultado una precisión de ubicación del objetivo muy alta. ^[10] Si no es así, el detector óptimo realiza una suma incoherente de las señales recibidas, lo que da ganancia de diversidad. Dichos sistemas a veces se describen como radares MIMO debido a las similitudes teóricas de la información con los sistemas de comunicación MIMO . ^[11]

Plano de función de ambigüedad

Plano de función de ambigüedad

Un plano de función de ambigüedad puede verse como una combinación de un número infinito de líneas radiales.

Cada línea radial puede verse como la transformada de Fourier fraccionaria de un proceso aleatorio estacionario.

Ejemplo

Función de ambigüedad

La función de ambigüedad (AF) son los operadores que están relacionados con la WDF .

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi tn}dt}$

(1)Si ${\displaystyle x(t)=exp[-\alpha \pi {(t-t_{0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{-\alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha }}}exp[-\pi ({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha }})]exp[j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}n)]}$

Wdf Plano de función de ambigüedad

WDF y AF para la señal con solo 1 término

(2) Si ${\displaystyle x(t)=exp[-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t]+exp[-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=A_{x1}(\tau ,n)+A_{x2}(\tau ,n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{1}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{2}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)]}$

Cuando ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi (\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}})]exp[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})]}$

dónde

• ${\displaystyle t_{u}=(t_{1}+t_{2}/2)}$,
• ${\displaystyle f_{u}=(f_{1}+f_{2})/2}$,
• ${\displaystyle \alpha _{u}=(\alpha _{1}+\alpha _{2})/2}$,
• ${\displaystyle t_{d}=t_{1}+t_{2}}$,
• ${\displaystyle f_{d}=f_{1}-f_{2}}$,
• ${\displaystyle \alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}}$

  ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

Cuando ≠ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi {\frac {[(n-f_{d})+j(\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2})-j\alpha _{d}\tau /2]^{2}}{2\alpha _{u}}}exp[-\pi (\alpha _{1}(t_{1}-{\frac {\tau }{2}})^{2})+\alpha _{2}(t_{2}-{\frac {\tau }{2}})^{2})]exp[j2\pi f_{u}\tau ]}$

WDF y AF para la señal con 2 términos

• ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

WDF y AF para la señal con 2 términos

Para la función de ambigüedad:

• El término automático siempre está cerca del origen.

Véase también

• Filtro coincidente
• Compresión de pulso
• Radar de pulso Doppler
• Procesamiento de señales digitales
• Philip Woodward

Referencias

1. Woodward PM Teoría de probabilidad e información con aplicaciones al radar , Norwood, MA: Artech House, 1980.
2. Weiss, Lora G. "Procesamiento de correlación de banda ancha y wavelets". Revista IEEE Signal Processing , págs. 13-32, enero de 1994
3. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Representación de características de tiempo-frecuencia utilizando concentración de energía: una descripción general de los avances recientes”, Digital Signal Processing , vol. 19, núm. 1, págs. 153-183, enero de 2009.
4. B. Boashash, editor, “Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa”, Elsevier Science, Oxford, 2003; ISBN  0-08-044335-4
5. Shenoy, RG; Parks, TW, "Distribuciones afines de Wigner", Conferencia internacional IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales, ICASSP-92, pp.185-188 vol.5, 23-26 de marzo de 1992, doi: 10.1109/ICASSP.1992.226539
6. L. Sibul, L. Ziomek, "Función de ambigüedad cruzada de banda ancha generalizada", IEEE International Conference on Acústica, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239–1242.
7. Procesamiento de señales en radares con forma de onda de ruido Por Krzysztof Kulpa (Google Books)
8. G. Jourdain y JP Henrioux, "Uso de señales de modulación por desplazamiento de fase binaria de gran duración y ancho de banda en mediciones Doppler de retardo de objetivo", J. Acoust. Soc. Am. 90, 299–309 (1991).
9. EH Lieb, "Límites integrales para funciones de ambigüedad de radar y distribuciones de Wigner", J. Math. Phys., vol. 31, págs. 594-599 (1990)
10. T. Derham, S. Doughty, C. Baker, K. Woodbridge, "Funciones de ambigüedad para radar multiestático espacialmente coherente e incoherente", IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems (en prensa).
11. G. San Antonio, D. Fuhrmann, F. Robey, "Funciones de ambigüedad de radar MIMO", IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 1, n.º 1 (2007).

Lectura adicional

• Richards, Mark A. Fundamentos del procesamiento de señales de radar . McGraw–Hill Inc., 2005. ISBN 0-07-144474-2 . 
• Ipatov, Valery P. Espectro ensanchado y CDMA . Wiley & Sons, 2005. ISBN 0-470-09178-9 
• Chernyak VS Fundamentos de sistemas de radar multisitio , CRC Press, 1998.
• Solomon W. Golomb y Guang Gong . Diseño de señales para una buena correlación: para comunicaciones inalámbricas, criptografía y radar. Cambridge University Press, 2005.
• M. Soltanalian. Diseño de señales para detección activa y comunicaciones. Tesis doctorales de Uppsala de la Facultad de Ciencia y Tecnología (impresas por Elanders Sverige AB), 2014.
• Nadav Levanon y Eli Mozeson. Señales de radar. Wiley.com, 2004.
• Augusto Aubry, Antonio De Maio, Bo Jiang y Shuzhong Zhang. "Conformación de funciones de ambigüedad para radares cognitivos mediante optimización cuártica compleja". IEEE Transactions on Signal Processing 61 (2013): 5603-5619.
• Mojtaba Soltanalian y Petre Stoica. "Diseño computacional de secuencias con buenas propiedades de correlación". IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180-2193.
• G. Krötzsch, MA Gómez-Méndez, Transformada Discreta de Ambigüedad, Revista Mexicana de Física, Vol. 63, págs. 505–515 (2017). "Transformada Discreta de Ambigüedad".
• 2 Universidad Nacional de Taiwán, Análisis de tiempo-frecuencia y transformada wavelet 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica
• 3 Universidad Nacional de Taiwán, Análisis de tiempo-frecuencia y transformada wavelet 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica
• 4 Universidad Nacional de Taiwán, Análisis de tiempo-frecuencia y transformada wavelet 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica