Función de Koenigs

En matemáticas , la función de Koenigs es una función que surge en el análisis complejo y en los sistemas dinámicos . Introducida en 1884 por el matemático francés Gabriel Koenigs , proporciona una representación canónica como dilataciones de una aplicación holomórfica univalente , o un semigrupo de aplicaciones, del disco unitario en los números complejos en sí mismo.

Existencia y singularidad de la función de Koenigs

Sea D el disco unitario en los números complejos. Sea f una función holomorfa que proyecta D sobre sí misma, fijando el punto 0, con f no idénticamente 0 y f no un automorfismo de D , es decir, una transformación de Möbius definida por una matriz en SU(1,1).

Por el teorema de Denjoy-Wolff , f deja invariante cada disco | z | < r y las iteraciones de f convergen uniformemente en compacta a 0: de hecho para 0 < r < 1,

${\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}$

para | z | ≤ r con M ( r ) < 1. Además f '(0) = λ con 0 < | λ | < 1.

Koenigs (1884) demostró que existe una única función holomorfa h definida en D , llamada función de Koenigs , tal que h (0) = 0, h '(0) = 1 y se satisface la ecuación de Schröder ,

${\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}$

La función h es el límite uniforme en compacta de las iteraciones normalizadas , . ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}$

Además, si f es univalente, también lo es h . ^{[1] [2]}

En consecuencia, cuando f (y, por lo tanto, h ) son univalentes, D puede identificarse con el dominio abierto U = h ( D ) . Bajo esta identificación conforme, la aplicación   f se convierte en una multiplicación por λ , una dilatación sobre U .

Prueba

• Unicidad . Si k es otra solución, entonces, por analiticidad, basta con demostrar que k = h cerca de 0. Sea

${\displaystyle H=k\circ h^{-1}(z)}$

cerca de 0. Por lo tanto, H (0) = 0, H' (0) = 1 y, para | z | pequeño,

${\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.}$

Sustituyendo en la serie de potencias para H , se deduce que H ( z ) = z cerca de 0. Por lo tanto h = k cerca de 0.

• Existencia . Si entonces por el lema de Schwarz ${\displaystyle F(z)=f(z)/\lambda z,}$

${\displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}$

Por otro lado,

${\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.}$

Por lo tanto, g _n converge uniformemente para | z | ≤ r mediante la prueba M de Weierstrass ya que

${\displaystyle \sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}<\infty .}$

• Univalencia . Por el teorema de Hurwitz , dado que cada g ⁿ es univalente y normalizado, es decir, fija 0 y tiene allí derivada 1, su límite h también es univalente.

Función de Koenigs de un semigrupo

Sea f _t ( z ) un semigrupo de aplicaciones univalentes holomorfas de D en sí mismo que fijan 0 definido para t ∈ [0, ∞) tal que

• ${\displaystyle f_{s}}$no es un automorfismo para s > 0
• ${\displaystyle f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)}$
• ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$
• ${\displaystyle f_{t}(z)}$es conjuntamente continua en t y z

Cada f _s con s > 0 tiene la misma función de Koenigs, véase función iterada . De hecho, si h es la función de Koenigs de f = f ₁ , entonces h ( f _s ( z )) satisface la ecuación de Schröder y, por lo tanto, es proporcional a h .

Tomando derivadas se obtiene

${\displaystyle h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).}$

Por lo tanto h es la función de Koenigs de f _s .

Estructura de semigrupos univalentes

En el dominio U = h ( D ) , las funciones f _s se convierten en la multiplicación por , un semigrupo continuo. Por lo tanto, donde μ es una solución unívocamente determinada de e ^μ = λ con Re μ < 0. Se deduce que el semigrupo es diferenciable en 0. Sea ${\displaystyle \lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)}$ ${\displaystyle \lambda (s)=e^{\mu s}}$

${\displaystyle v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},}$

una función holomorfa en D con v (0) = 0 y v' (0) = μ .

Entonces

${\displaystyle \partial _{t}(f_{t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),}$

de modo que

${\displaystyle v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}}$

y

${\displaystyle \partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z)),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}$

la ecuación de flujo para un campo vectorial.

Restringiéndonos al caso con 0 < λ < 1, la h ( D ) debe ser similar a una estrella de modo que

${\displaystyle \Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.}$

Dado que el mismo resultado se aplica al recíproco,

${\displaystyle \Re {v(z) \over z}\leq 0~,}$

de modo que v ( z ) satisface las condiciones de Berkson & Porta (1978)

${\displaystyle v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z)\leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.}$

Por el contrario, invirtiendo los pasos anteriores, cualquier campo vectorial holomórfico v ( z ) que satisfaga estas condiciones se asocia a un semigrupo f _t , con

${\displaystyle h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.}$

Notas

1. Carleson y Gamelin 1993, págs. 28-32
2. Shapiro 1993, págs. 90-93

Referencias

• Berkson, E.; Porta, H. (1978), "Semigrupos de funciones analíticas y operadores de composición", Michigan Math. J. , 25 : 101–115, doi : 10.1307/mmj/1029002009
• Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tratados de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Modelos de linealización para sistemas dinámicos complejos: temas de funciones univalentes, ecuaciones funcionales y teoría de semigrupos , Teoría de operadores: avances y aplicaciones, vol. 208, Springer, ISBN 978-3034605083
• Koenigs, GPX (1884), "Recherches sur les integrales de sures équations fonctionnelles", Ann. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. , 1 : 2–41
• Kuczma, Marek (1968). Ecuaciones funcionales en una sola variable . Monografía Matematyczne. Warszawa: PWN - Editores científicos polacos. ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, JH (1993), Operadores de composición y teoría de funciones clásicas , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Semigrupos en la teoría de funciones geométricas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9