En matemáticas y en particular en el campo del análisis complejo , el teorema de Hurwitz es un teorema que asocia los ceros de una secuencia de funciones holomorfas , compactas y localmente uniformemente convergentes con los de su límite correspondiente. El teorema recibe su nombre en honor a Adolf Hurwitz .
Sea { f k } una sucesión de funciones holomorfas en un conjunto abierto conexo G que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f que no es constantemente cero en G . Si f tiene un cero de orden m en z 0 entonces para cada suficientemente pequeño ρ > 0 y para k ∈ N suficientemente grande (dependiendo de ρ ), f k tiene precisamente m ceros en el disco definido por | z − z 0 | < ρ , incluyendo multiplicidad . Además, estos ceros convergen a z 0 cuando k → ∞. [1]
El teorema no garantiza que el resultado se cumpla para discos arbitrarios. De hecho, si se elige un disco tal que f tenga ceros en su borde , el teorema falla. Un ejemplo explícito es considerar el disco unitario D y la secuencia definida por
que converge uniformemente a f ( z ) = z − 1. La función f ( z ) no contiene ceros en D ; sin embargo, cada f n tiene exactamente un cero en el disco correspondiente al valor real 1 − (1/ n ).
El teorema de Hurwitz se utiliza en la prueba del teorema de aplicación de Riemann , [2] y también tiene los dos corolarios siguientes como consecuencia inmediata:
Sea f una función analítica en un subconjunto abierto del plano complejo con un cero de orden m en z 0 , y supongamos que { f n } es una sucesión de funciones que convergen uniformemente en subconjuntos compactos a f . Fijemos algún ρ > 0 tal que f ( z ) ≠ 0 en 0 < | z − z 0 | ≤ ρ. Elijamos δ tal que | f ( z )| > δ para z en el círculo | z − z 0 | = ρ . Puesto que f k ( z ) converge uniformemente en el disco que hemos elegido, podemos hallar N tal que | f k ( z )| ≥ δ /2 para todo k ≥ N y todo z en el círculo, asegurando que el cociente f k ′( z )/ f k ( z ) esté bien definido para todo z en el círculo | z − z 0 | = ρ . Por el teorema de Weierstrass tenemos uniformemente en el disco, y por lo tanto tenemos otra convergencia uniforme:
Denotando el número de ceros de f k ( z ) en el disco por N k , podemos aplicar el principio de argumento para encontrar
En el paso anterior, pudimos intercambiar la integral y el límite debido a la convergencia uniforme del integrando. Hemos demostrado que N k → m cuando k → ∞. Dado que los N k son valores enteros, N k debe ser igual a m para un valor k suficientemente grande . [1]
