En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una subcategoría de una categoría C es una categoría S cuyos objetos son objetos en C y cuyos morfismos son morfismos en C con las mismas identidades y composición de morfismos. Intuitivamente, una subcategoría de C es una categoría obtenida de C al "eliminar" algunos de sus objetos y flechas.
Sea C una categoría. Una subcategoría S de C está dada por
de tal manera que
Estas condiciones garantizan que S sea una categoría por derecho propio: su colección de objetos es ob( S ), su colección de morfismos es hom( S ), y sus identidades y composición son como en C . Hay un funtor fiel obvio I : S → C , llamado funtor de inclusión que toma objetos y morfismos para sí mismos.
Sea S una subcategoría de una categoría C . Decimos que S es una subcategoría completa de C si para cada par de objetos X e Y de S ,
Una subcategoría completa es aquella que incluye todos los morfismos en C entre objetos de S . Para cualquier colección de objetos A en C , existe una única subcategoría completa de C cuyos objetos son aquellos en A .
Dada una subcategoría S de C , el funtor de inclusión I : S → C es a la vez un funtor fiel e inyectivo sobre objetos. Es completo si y solo si S es una subcategoría completa.
Algunos autores definen una incrustación como un funtor completo y fiel . Un funtor de este tipo es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo . Por ejemplo, la incrustación de Yoneda es una incrustación en este sentido.
Algunos autores definen una incrustación como un funtor completo y fiel que es inyectivo sobre los objetos. [1]
Otros autores definen un funtor como una incrustación si es fiel e inyectivo en objetos. De manera equivalente, F es una incrustación si es inyectivo en morfismos. Un funtor F se denomina entonces una incrustación completa si es un funtor completo y una incrustación.
Con las definiciones del párrafo anterior, para cualquier incrustación (completa) F : B → C la imagen de F es una subcategoría (completa) S de C , y F induce un isomorfismo de categorías entre B y S . Si F no es inyectiva sobre objetos entonces la imagen de F es equivalente a B .
En algunas categorías también se puede hablar de morfismos de la categoría que son incrustaciones .
Se dice que una subcategoría S de C es isomorfista-cerrada o repleta si todo isomorfismo k : X → Y en C tal que Y está en S también pertenece a S . Se dice que una subcategoría completa isomorfista-cerrada es estrictamente repleta .
Una subcategoría de C es amplia o lluf (un término propuesto por primera vez por Peter Freyd [2] ) si contiene todos los objetos de C. [ 3] Una subcategoría amplia normalmente no está completa: la única subcategoría amplia y completa de una categoría es esa categoría misma.
Una subcategoría de Serre es una subcategoría S completa no vacía de una categoría abeliana C tal que para todas las secuencias exactas cortas
en C , M pertenece a S si y sólo si tanto y como lo hacen. Esta noción surge de la teoría C de Serre .
