potencial de yukawa

Potencial de Coulomb apantallado que decae exponencialmente

En física de partículas , atómica y de materia condensada , un potencial de Yukawa (también llamado potencial de Coulomb apantallado ) es un potencial que lleva el nombre del físico japonés Hideki Yukawa . El potencial es de la forma:

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

donde es una constante de escala de magnitud, es decir, es la amplitud del potencial, m es la masa de la partícula, r es la distancia radial a la partícula y α es otra constante de escala, por lo que ese es el rango aproximado. El potencial aumenta monótonamente en r y es negativo, lo que implica que la fuerza es atractiva. En el sistema SI, la unidad del potencial de Yukawa es (1/metros). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

El potencial de Coulomb del electromagnetismo es un ejemplo de un potencial de Yukawa con un factor igual a 1, en todas partes. Esto puede interpretarse como que la masa del fotón m es igual a 0. El fotón es el portador de fuerza entre partículas cargadas que interactúan. ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

En las interacciones entre un campo de mesones y un campo de fermiones , la constante es igual a la constante de acoplamiento de calibre entre esos campos. En el caso de la fuerza nuclear , los fermiones serían un protón y otro protón o un neutrón . ${\displaystyle g}$

Historia

Antes del artículo de Hideki Yukawa de 1935, ^[1] los físicos luchaban por explicar los resultados del modelo atómico de James Chadwick , que consistía en protones y neutrones cargados positivamente empaquetados dentro de un pequeño núcleo, con un radio del orden de 10 ⁻¹⁴ metros . . Los físicos sabían que las fuerzas electromagnéticas a estas longitudes harían que estos protones se repelieran entre sí y que el núcleo se desmoronara. ^[2] De ahí surgió la motivación para seguir explicando las interacciones entre partículas elementales. En 1932, Werner Heisenberg propuso una interacción "Platzwechsel" (migración) entre neutrones y protones dentro del núcleo, en la que los neutrones eran partículas compuestas de protones y electrones. Estos neutrones compuestos emitirían electrones, creando una fuerza de atracción con los protones, y luego se convertirían en protones. Cuando, en 1933, en la Conferencia Solvay , Heisenberg propuso su interacción, los físicos sospecharon que podía ser de dos formas:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

debido a su corto alcance. ^[3] Sin embargo, hubo muchos problemas con su teoría. Es decir, es imposible que un electrón de espín1/2y un protón de espín1/2para sumar el espín del neutrón de1/2. La forma en que Heisenberg trató este tema daría lugar a las ideas de isospin .

La idea de Heisenberg de una interacción de intercambio (en lugar de una fuerza de Coulomb) entre partículas dentro del núcleo llevó a Fermi a formular sus ideas sobre la desintegración beta en 1934. ^[3] La interacción neutrón-protón de Fermi no se basó en la "migración" de neutrones y protones entre sí. En cambio, Fermi propuso la emisión y absorción de dos partículas ligeras: el neutrino y el electrón, en lugar de sólo el electrón (como en la teoría de Heisenberg). Mientras que la interacción de Fermi resolvió la cuestión de la conservación del momento lineal y angular, los físicos soviéticos Igor Tamm y Dmitri Ivanenko demostraron que la fuerza asociada con la emisión de neutrinos y electrones no era lo suficientemente fuerte como para unir los protones y neutrones en el núcleo. ^[4]

En su artículo de febrero de 1935, Hideki Yukawa combina la idea de la interacción de fuerza de corto alcance de Heisenberg y la idea de Fermi de una partícula de intercambio para solucionar el problema de la interacción neutrón-protón. Dedujo un potencial que incluye un término de decaimiento exponencial ( ) y un término electromagnético ( ). En analogía con la teoría cuántica de campos , Yukawa sabía que el potencial y su campo correspondiente debían ser el resultado de una partícula de intercambio. En el caso de QED , esta partícula de intercambio era un fotón de masa 0. En el caso de Yukawa, la partícula de intercambio tenía cierta masa, que estaba relacionada con el rango de interacción (dado por ). Como se conocía el alcance de la fuerza nuclear, Yukawa utilizó su ecuación para predecir que la masa de la partícula mediadora era aproximadamente 200 veces la masa del electrón. Los físicos llamaron a esta partícula " mesón ", ya que su masa estaba en el medio de la del protón y la del electrón. El mesón de Yukawa se encontró en 1947 y pasó a ser conocido como pión . ^[4] ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

Relación con el potencial de Coulomb

Figura 1: Una comparación de potenciales de Yukawa donde y con varios valores para m . ${\displaystyle g=1}$

Figura 2: Una comparación de "largo alcance" de las fortalezas de los potenciales de Yukawa y Coulomb donde . ${\displaystyle g=1}$

Si la partícula no tiene masa (es decir, m = 0 ), entonces el potencial de Yukawa se reduce a un potencial de Coulomb y se dice que el rango es infinito. De hecho, tenemos:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

En consecuencia, la ecuación

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

se simplifica a la forma del potencial de Coulomb

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

donde establecemos la constante de escala en: ^[5]

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

En la Figura 2 se muestra una comparación de la fuerza potencial de largo alcance para Yukawa y Coulomb. Se puede ver que el potencial de Coulomb tiene efecto en una distancia mayor, mientras que el potencial de Yukawa se acerca a cero con bastante rapidez. Sin embargo, cualquier potencial de Yukawa o potencial de Coulomb es distinto de cero para cualquier r grande .

Transformada de Fourier

La forma más sencilla de entender que el potencial de Yukawa está asociado a un campo masivo es examinando su transformada de Fourier . Uno tiene

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

donde la integral se realiza sobre todos los valores posibles de los momentos k de 3 vectores . De esta forma, y ​​estableciendo el factor de escala en uno, se considera que la fracción es el propagador o función de Green de la ecuación de Klein-Gordon . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

amplitud de feynman

Intercambio de partículas individuales.

El potencial de Yukawa se puede derivar como la amplitud de orden más bajo de la interacción de un par de fermiones. La interacción Yukawa acopla el campo de fermiones al campo de mesones con el término de acoplamiento ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

La amplitud de dispersión de dos fermiones, uno con momento inicial y el otro con momento , que intercambian un mesón con momento k , viene dada por el diagrama de Feynman de la derecha. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Las reglas de Feynman para cada vértice asocian un factor de con la amplitud; Como este diagrama tiene dos vértices, la amplitud total tendrá un factor de . La línea del medio, que conecta las dos líneas de fermiones, representa el intercambio de un mesón. La regla de Feynman para el intercambio de partículas es utilizar el propagador; El propagador de un mesón masivo es . Así, vemos que la amplitud de Feynman para esta gráfica no es más que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

De la sección anterior, se ve que esta es la transformada de Fourier del potencial de Yukawa.

Valores propios de la ecuación de Schrödinger

La ecuación radial de Schrödinger con potencial de Yukawa se puede resolver perturbativamente. ^{[6] [7] [8] : cap. 16} Usando la ecuación radial de Schrödinger en la forma

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

y el potencial de Yukawa en forma de potencia expandida

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

y fijando , se obtiene para el momento angular la expresión ${\displaystyle K=jk}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

para donde ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

Al establecer todos los coeficientes excepto igual a cero, se obtiene la conocida expresión del valor propio de Schrödinger para el potencial de Coulomb, y el número cuántico radial es un entero positivo o cero como consecuencia de las condiciones de contorno que las funciones de onda del potencial de Coulomb tener que satisfacer. En el caso del potencial de Yukawa, la imposición de condiciones de contorno es más complicada. Por lo tanto, en el caso de Yukawa es solo una aproximación y el parámetro que reemplaza al número entero n es en realidad una expansión asintótica como la anterior con primera aproximación al valor entero del caso de Coulomb correspondiente. La expansión anterior para el momento angular orbital o la trayectoria de Regge se puede invertir para obtener los valores propios de energía o equivalentes . Se obtiene: ^[9] ${\displaystyle M_{j}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \nu =n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

La expansión asintótica anterior del momento angular en potencias descendentes también se puede derivar con el método WKB . Sin embargo, en ese caso, como en el caso del potencial de Coulomb, la expresión en el término centrífugo de la ecuación de Schrödinger debe ser reemplazada por , como argumentó originalmente Langer ^[10] , la razón es que la singularidad es demasiado fuerte para una aplicación sin cambios del método WKB . Que este razonamiento es correcto se desprende de la derivación WKB del resultado correcto en el caso Coulomb (con la corrección de Langer ), ^{[8] : 404} e incluso de la expansión anterior en el caso Yukawa con aproximaciones WKB de orden superior. ^[11] ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$ ${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

Sección transversal

Podemos calcular la sección transversal diferencial entre un protón o neutrón y el pión haciendo uso del potencial de Yukawa. Usamos la aproximación de Born , que nos dice que, en un potencial esféricamente simétrico, podemos aproximar la función de onda dispersada saliente como la suma de la función de onda plana entrante y una pequeña perturbación:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

¿ Dónde está el momento entrante de la partícula? La función viene dada por: ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

¿Dónde está el momento disperso saliente de la partícula y la masa de las partículas entrantes (que no debe confundirse con la masa del pión)? Calculamos conectando : ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

La evaluación de la integral da

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

La conservación de energía implica

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

de modo que

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

Al conectarnos, obtenemos:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

Obtenemos así una sección transversal diferencial de: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

Integrando, la sección transversal total es:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

Ver también

• interacción yukawa
• Ecuación de Poisson filtrada
• Potencial de Bessel

Referencias

1. Yukawa, H. (1935). "Sobre la interacción de partículas elementales". Proc. Física-Matemáticas. Soc. Japón . 17 : 48.
2. Lincoln, Don (2004). Comprender el Universo: de los quarks al cosmos . Singapur: World Scientific. págs. 75–78. ISBN 978-9812387035.
3. Miller, Arthur I. (1985). "Werner Heisenberg y los inicios de la física nuclear". Física hoy . 38 (11): 60–68. Código bibliográfico : 1985PhT....38k..60M. doi : 10.1063/1.880993.
4. Brown, Laurie M. (1986). "Hideki Yukawa y la teoría del mesón". Física hoy . 39 (12): 55–62. Código bibliográfico : 1986PhT....39l..55B. doi : 10.1063/1.881048.
5. Griffiths, David J. (2017). Introducción a la Mecánica Cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 415.ISBN _ 978-1-107-17986-8.
6. Müller, HJW (1965). "Regge-Pole in der nichtrelativistischen Potentialstreuung". Annalen der Physik (en alemán). 470 (7–8): 395–411. Código bibliográfico : 1965AnP...470..395M. doi : 10.1002/andp.19654700708.
7. Müller, HJW; Schilcher, K. (febrero de 1968). "Dispersión de alta energía para potenciales de Yukawa". Revista de Física Matemática . 9 (2): 255–259. doi : 10.1063/1.1664576.
8. Müller-Kirsten, Harald JW (2012). Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria (2ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-9814397735.
9. Müller, HJW (1965). "Sobre el cálculo de trayectorias de Regge en dispersión potencial no relativista". Física . 31 (5): 688–692. Código bibliográfico : 1965Phy....31..688M. doi :10.1016/0031-8914(65)90006-6.
10. Langer, Rudolph E. (1937). "Sobre las fórmulas de conexión y las soluciones de la ecuación de onda". Revisión física . 51 (8): 669–676. Código bibliográfico : 1937PhRv...51..669L. doi : 10.1103/PhysRev.51.669.
11. Boukema, JI (1964). "Cálculo de trayectorias de Regge en teoría potencial por WKB y técnicas variacionales". Física . 30 (7): 1320-1325. Código bibliográfico : 1964Phy....30.1320B. doi :10.1016/0031-8914(64)90084-9.

Fuentes

• Marrón, GE ; Jackson, AD (1976). La interacción nucleón-nucleón . Ámsterdam: Editorial de Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0335-9.