Potencial de Yukawa

Potencial de Coulomb apantallado que decae exponencialmente

En física de partículas , atómica y de materia condensada , un potencial de Yukawa (también llamado potencial de Coulomb apantallado ) es un potencial que lleva el nombre del físico japonés Hideki Yukawa . El potencial tiene la forma:

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

donde es una constante de escala de magnitud, es decir, es la amplitud del potencial, m es la masa de la partícula, r es la distancia radial a la partícula y α es otra constante de escala, por lo que es el rango aproximado. El potencial aumenta monótonamente en r y es negativo, lo que implica que la fuerza es atractiva. En el sistema SI, la unidad del potencial de Yukawa es el metro inverso . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

El potencial de Coulomb del electromagnetismo es un ejemplo de potencial de Yukawa con un factor igual a 1 en todas partes. Esto puede interpretarse como que la masa del fotón m es igual a 0. El fotón es el portador de fuerza entre partículas cargadas que interactúan. ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

En las interacciones entre un campo de mesones y un campo de fermiones , la constante es igual a la constante de acoplamiento de calibre entre dichos campos. En el caso de la fuerza nuclear , los fermiones serían un protón y otro protón o un neutrón . ${\displaystyle g}$

Historia

Antes del artículo de Hideki Yukawa de 1935, ^[1] los físicos luchaban por explicar los resultados del modelo atómico de James Chadwick , que consistía en protones y neutrones con carga positiva empaquetados dentro de un núcleo pequeño, con un radio del orden de 10 ⁻¹⁴ metros. Los físicos sabían que las fuerzas electromagnéticas a estas longitudes harían que estos protones se repelieran entre sí y que el núcleo se desintegrara. ^[2] De ahí surgió la motivación para explicar mejor las interacciones entre partículas elementales. En 1932, Werner Heisenberg propuso una interacción de "Platzwechsel" (migración) entre los neutrones y los protones dentro del núcleo, en la que los neutrones eran partículas compuestas de protones y electrones. Estos neutrones compuestos emitirían electrones, creando una fuerza de atracción con los protones, y luego se convertirían en protones ellos mismos. Cuando, en 1933, en la Conferencia Solvay , Heisenberg propuso su interacción, los físicos sospecharon que podía ser de dos formas:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

debido a su corto alcance. ^[3] Sin embargo, su teoría tenía muchos problemas. Por un lado, es imposible que un electrón de espín ⁠1/2⁠ y un protón de espín ⁠1/2⁠ para sumar al giro del neutrón de ⁠1/2La forma en que Heisenberg abordó esta cuestión daría forma a las ideas del isospín .

La idea de Heisenberg de una interacción de intercambio (en lugar de una fuerza coulombiana) entre partículas dentro del núcleo llevó a Fermi a formular sus ideas sobre la desintegración beta en 1934. ^[3] La interacción neutrón-protón de Fermi no se basaba en la "migración" de neutrones y protones entre sí. En cambio, Fermi propuso la emisión y absorción de dos partículas ligeras: el neutrino y el electrón, en lugar de solo el electrón (como en la teoría de Heisenberg). Si bien la interacción de Fermi resolvió el problema de la conservación del momento lineal y angular, los físicos soviéticos Igor Tamm y Dmitri Ivanenko demostraron que la fuerza asociada con la emisión de neutrinos y electrones no era lo suficientemente fuerte como para unir los protones y neutrones en el núcleo. ^[4]

En su artículo de febrero de 1935, Hideki Yukawa combina tanto la idea de la interacción de fuerza de corto alcance de Heisenberg como la idea de Fermi de una partícula de intercambio para resolver el problema de la interacción neutrón-protón. Dedujo un potencial que incluye un término de decaimiento exponencial ( ) y un término electromagnético ( ). En analogía con la teoría cuántica de campos , Yukawa sabía que el potencial y su campo correspondiente deben ser el resultado de una partícula de intercambio. En el caso de la QED , esta partícula de intercambio era un fotón de masa 0. En el caso de Yukawa, la partícula de intercambio tenía cierta masa, que estaba relacionada con el rango de interacción (dado por ). Dado que se conocía el rango de la fuerza nuclear, Yukawa utilizó su ecuación para predecir la masa de la partícula mediadora como aproximadamente 200 veces la masa del electrón. Los físicos llamaron a esta partícula el " mesón ", ya que su masa estaba en el medio del protón y el electrón. El mesón de Yukawa fue descubierto en 1947 y llegó a ser conocido como el pión . ^[4] ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

Relación con el potencial de Coulomb

Figura 1: Una comparación de los potenciales de Yukawa donde y con varios valores para m . ${\displaystyle g=1}$

Figura 2: Una comparación de "largo alcance" de las intensidades de los potenciales de Yukawa y Coulomb donde . ${\displaystyle g=1}$

Si la partícula no tiene masa (es decir, m = 0 ), entonces el potencial de Yukawa se reduce a un potencial de Coulomb y se dice que el rango es infinito. De hecho, tenemos:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

En consecuencia, la ecuación

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

Se simplifica a la forma del potencial de Coulomb.

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

donde establecemos la constante de escala como: ^[5]

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

En la Figura 2 se muestra una comparación de la intensidad del potencial de largo alcance para Yukawa y Coulomb. Se puede ver que el potencial de Coulomb tiene efecto a una distancia mayor, mientras que el potencial de Yukawa se acerca a cero con bastante rapidez. Sin embargo, cualquier potencial de Yukawa o potencial de Coulomb es distinto de cero para cualquier valor de r grande .

Transformada de Fourier

La forma más fácil de entender que el potencial de Yukawa está asociado con un campo masivo es examinando su transformada de Fourier . Se tiene

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

donde la integral se realiza sobre todos los valores posibles de los momentos de 3 vectores k . En esta forma, y ​​fijando el factor de escala en uno, , se ve que la fracción es el propagador o función de Green de la ecuación de Klein–Gordon . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

Amplitud de Feynman

Intercambio de partículas individuales.

El potencial de Yukawa se puede derivar como la amplitud de orden más bajo de la interacción de un par de fermiones. La interacción de Yukawa acopla el campo de fermiones al campo de mesones con el término de acoplamiento ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

La amplitud de dispersión de dos fermiones, uno con momento inicial y el otro con momento k , que intercambian un mesón con momento k , está dada por el diagrama de Feynman de la derecha. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Las reglas de Feynman para cada vértice asocian un factor de con la amplitud; dado que este diagrama tiene dos vértices, la amplitud total tendrá un factor de . La línea en el medio, que conecta las dos líneas de fermiones, representa el intercambio de un mesón. La regla de Feynman para un intercambio de partículas es utilizar el propagador; el propagador para un mesón masivo es . Por lo tanto, vemos que la amplitud de Feynman para este gráfico no es nada más que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

De la sección anterior se desprende que esta es la transformada de Fourier del potencial de Yukawa.

Valores propios de la ecuación de Schrödinger

La ecuación radial de Schrödinger con potencial de Yukawa se puede resolver de forma perturbativa. ^{[6] [7] [8] : cap. 16} Utilizando la ecuación radial de Schrödinger en la forma

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

y el potencial de Yukawa en forma de potencia expandida

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

y fijando , se obtiene para el momento angular la expresión ${\displaystyle K=jk}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

para , donde ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

Fijando todos los coeficientes excepto cero, se obtiene la conocida expresión para el valor propio de Schrödinger para el potencial de Coulomb, y el número cuántico radial es un entero positivo o cero como consecuencia de las condiciones de contorno que las funciones de onda del potencial de Coulomb tienen que satisfacer. En el caso del potencial de Yukawa, la imposición de condiciones de contorno es más complicada. Por lo tanto, en el caso de Yukawa es solo una aproximación y el parámetro que reemplaza al entero n es realmente una expansión asintótica como la anterior con primera aproximación del valor entero del caso de Coulomb correspondiente. La expansión anterior para el momento angular orbital o la trayectoria de Regge se puede invertir para obtener los valores propios de energía o equivalentemente . Se obtiene: ^[9] ${\displaystyle M_{j}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \nu =n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

La expansión asintótica anterior del momento angular en potencias descendentes de también se puede derivar con el método WKB . En ese caso, sin embargo, como en el caso del potencial de Coulomb , la expresión en el término centrífugo de la ecuación de Schrödinger tiene que ser reemplazada por , como lo argumentó originalmente Langer, ^[10] la razón es que la singularidad es demasiado fuerte para una aplicación sin cambios del método WKB . Que este razonamiento es correcto se desprende de la derivación WKB del resultado correcto en el caso de Coulomb (con la corrección de Langer ), ^{[8] : 404} e incluso de la expansión anterior en el caso de Yukawa con aproximaciones WKB de orden superior. ^[11] ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$ ${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

Sección transversal

Podemos calcular la sección eficaz diferencial entre un protón o neutrón y el pión haciendo uso del potencial de Yukawa. Utilizamos la aproximación de Born , que nos dice que, en un potencial esféricamente simétrico, podemos aproximar la función de onda dispersa saliente como la suma de la función de onda plana entrante y una pequeña perturbación:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

donde es el momento de entrada de la partícula. La función viene dada por: ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

donde es el momento disperso saliente de la partícula y es la masa de la partícula entrante (no debe confundirse con la masa del pión). Calculamos introduciendo : ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

Evaluando la integral obtenemos

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

La conservación de energía implica

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

de modo que

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

Al conectarlo obtenemos:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

Obtenemos así una sección transversal diferencial de: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

Integrando, la sección transversal total es:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

Véase también

• Interacción con Yukawa
• Ecuación de Poisson filtrada
• Potencial de Bessel

Referencias

1. Yukawa, H. (1935). "Sobre la interacción de partículas elementales". Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn . 17 : 48.
2. Lincoln, Don (2004). Entendiendo el universo: de los quarks al cosmos . Singapur: World Scientific. pp. 75–78. ISBN 978-9812387035.
3. Miller, Arthur I. (1985). "Werner Heisenberg y el comienzo de la física nuclear". Physics Today . 38 (11): 60–68. Bibcode :1985PhT....38k..60M. doi :10.1063/1.880993.
4. Brown, Laurie M. (1986). "Hideki Yukawa y la teoría del mesón". Physics Today . 39 (12): 55–62. Bibcode :1986PhT....39l..55B. doi :10.1063/1.881048.
5. Griffiths, David J. (2017). Introducción a la mecánica cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. 415. ISBN 978-1-107-17986-8.
6. Müller, HJW (1965). "Regge-Pole in der nichtrelativistischen Potentialstreuung". Annalen der Physik (en alemán). 470 (7–8): 395–411. Código bibliográfico : 1965AnP...470..395M. doi : 10.1002/andp.19654700708.
7. Müller, HJW; Schilcher, K. (febrero de 1968). "Dispersión de alta energía para potenciales de Yukawa". Journal of Mathematical Physics . 9 (2): 255–259. doi :10.1063/1.1664576.
8. Müller-Kirsten, Harald JW (2012). Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria (2.ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-9814397735.
9. Müller, HJW (1965). "Sobre el cálculo de trayectorias de Regge en dispersión de potencial no relativista". Physica . 31 (5): 688–692. Bibcode :1965Phy....31..688M. doi :10.1016/0031-8914(65)90006-6.
10. Langer, Rudolph E. (1937). "Sobre las fórmulas de conexión y las soluciones de la ecuación de onda". Physical Review . 51 (8): 669–676. Bibcode :1937PhRv...51..669L. doi :10.1103/PhysRev.51.669.
11. Boukema, JI (1964). "Cálculo de trayectorias de Regge en teoría del potencial mediante WKB y técnicas variacionales". Physica . 30 (7): 1320–1325. Bibcode :1964Phy....30.1320B. doi :10.1016/0031-8914(64)90084-9.

Fuentes

• Brown, GE ; Jackson, AD (1976). La interacción nucleón-nucleón . Ámsterdam: North-Holland Publishing. ISBN 0-7204-0335-9.