Retracción (topología)

Mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacio

En topología , una rama de las matemáticas , una retracción es un mapeo continuo de un espacio topológico a un subespacio que preserva la posición de todos los puntos en ese subespacio. ^[1] El subespacio se denomina entonces retracción del espacio original. Una retracción de deformación es un mapeo que captura la idea de reducir continuamente un espacio a un subespacio.

Una retracción de vecindad absoluta ( ANR ) es un tipo de espacio topológico que se comporta particularmente bien . Por ejemplo, cada variedad topológica es una ANR. Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW .

Definiciones

Retraer

Sea X un espacio topológico y A un subespacio de X. Luego un mapa continuo

${\displaystyle r\colon X\to A}$

es una retracción si la restricción de r a A es el mapa de identidad en A ; es decir, para todo a en A . De manera equivalente, denotado por ${\textstyle r(a)=a}$

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

la inclusión , una retracción es un mapa continuo r tal que

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},}$

es decir, la composición de r con la inclusión es la identidad de A. Tenga en cuenta que , por definición, una retracción asigna X a A. Un subespacio A se llama retracción de X si tal retracción existe. Por ejemplo, cualquier espacio no vacío se retrae hasta un punto de la manera obvia (cualquier mapa constante produce una retracción). Si X es Hausdorff , entonces A debe ser un subconjunto cerrado de X.

Si es una retracción, entonces la composición ι∘ r es una función continua idempotente de X a X . Por el contrario, dado cualquier mapa continuo idempotente obtenemos una retracción de la imagen de s restringiendo el codominio . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle s:X\to X,}$

Retracción de deformación y retracción de deformación fuerte

Un mapa continuo

${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\to X}$

es una retracción de deformación de un espacio X sobre un subespacio A si, para cada x en X y a en A ,

${\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.}$

En otras palabras , una retracción de deformación es una homotopía entre una retracción y el mapa de identidad en X. El subespacio A se llama retracción de deformación de X. Una retracción de deformación es un caso especial de equivalencia de homotopía .

Una retracción no tiene por qué ser una retracción por deformación. Por ejemplo, tener un solo punto como retracción de deformación de un espacio X implicaría que X es un camino conexo (y de hecho, que X es contráctil ).

Nota: Una definición equivalente de retracción por deformación es la siguiente. Un mapa continuo es una retracción de deformación si es una retracción y su composición con la inclusión es homotópica al mapa de identidad en X. En esta formulación, una retracción de deformación lleva consigo una homotopía entre el mapa de identidad en X y él mismo. ${\textstyle r:X\to A}$

Si en la definición de retracción por deformación agregamos el requisito de que

${\displaystyle F(a,t)=a}$

para todo t en [0, 1] y a en A , entonces F se llama retracción por deformación fuerte . En otras palabras, una fuerte retracción por deformación deja puntos en A fijos en toda la homotopía. (Algunos autores, como Hatcher , toman esto como la definición de retracción de deformación).

Como ejemplo, la n -esfera es una retracción de deformación fuerte. Como retracción de deformación fuerte se puede elegir el mapa ${\textstyle S^{n}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$

${\displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.}$

Tenga en cuenta que la condición de ser una retracción de deformación fuerte es estrictamente más fuerte que la de ser una retracción de deformación. Por ejemplo, sea X el subespacio que consta de segmentos de línea cerrados que conectan el origen y el punto para n un entero positivo, junto con el segmento de línea cerrado que conecta el origen con . Sea X la topología subespacial heredada de la topología euclidiana en . Ahora sea A el subespacio de X que consiste en el segmento de línea que conecta el origen con . Entonces A es una retracción de deformación de X pero no una retracción de deformación fuerte de X . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (1/n,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,1)}$

La cofibración y la deformación vecinal se retraen.

Un mapa f : A → X de espacios topológicos es una cofibración ( Hurewicz ) si tiene la propiedad de extensión de homotopía para mapas de cualquier espacio. Este es uno de los conceptos centrales de la teoría de la homotopía . Una cofibración f es siempre inyectiva, de hecho, un homeomorfismo de su imagen. ^[3] Si X es Hausdorff (o un espacio de Hausdorff débil generado de forma compacta ) , entonces la imagen de una cofibración f está cerrada en X.

Entre todas las inclusiones cerradas, las cofibraciones se pueden caracterizar de la siguiente manera. La inclusión de un subespacio cerrado A en un espacio X es una cofibración si y sólo si A es una retracción de deformación vecinal de X , lo que significa que existe un mapa continuo con y una homotopía tal que para todos para todos y y si . ^[4] ${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]}$ ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ ${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$ ${\textstyle H(x,0)=x}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle H(a,t)=a}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ ${\displaystyle u(x)<1}$

Por ejemplo, la inclusión de un subcomplejo en un complejo CW es una cofibración.

Propiedades

• Una propiedad básica de una retracción A de X (con retracción ) es que cada mapa continuo tiene al menos una extensión, a saber . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ ${\textstyle g=f\circ r}$
• Si un subespacio es una retracción de un espacio, entonces la inclusión induce una inyección entre grupos fundamentales.
• La retracción de deformación es un caso particular de equivalencia de homotopía. De hecho, dos espacios son homotópicos equivalentes si y sólo si ambos son homeomorfos a las retracciones de deformación de un único espacio más grande.
• Cualquier espacio topológico que la deformación retraiga hasta un punto es contráctil y viceversa. Sin embargo, existen espacios contráctiles que no se retraen fuertemente por deformación hasta un punto. ^[5]

Teorema de no retracción

El límite de la bola de n dimensiones , es decir, la esfera ( n −1), no es una retracción de la bola. (Ver Teorema del punto fijo de Brouwer § Una prueba que utiliza homología o cohomología ).

Retracción absoluta de vecindad (ANR)

Un subconjunto cerrado de un espacio topológico se llama retracción vecinal de si es una retracción de algún subconjunto abierto de que contiene . ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$

Sea una clase de espacios topológicos, cerrados bajo homeomorfismos y paso a subconjuntos cerrados. Siguiendo a Borsuk (a partir de 1931), un espacio se llama retracción absoluta para la clase , escrita si está en y siempre que sea un subconjunto cerrado de un espacio en , es una retracción de . Un espacio es una retracción de vecindad absoluta para la clase , escrita si está en y siempre que sea un subconjunto cerrado de un espacio en , es una retracción de vecindad de . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$

En esta definición se han considerado varias clases , como los espacios normales , pero se ha descubierto que la clase de espacios metrizables proporciona la teoría más satisfactoria. Por ese motivo, en este artículo se utilizan las notaciones AR y ANR por sí solas para significar y . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$

Un espacio metrizable es un AR si y sólo si es contraíble y un ANR. ^[7] Según Dugundji , todo espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un AR; De manera más general, cada subconjunto convexo no vacío de dicho espacio vectorial es un AR. ^[8] Por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado ( completo o no) es un AR. Más concretamente, el espacio euclidiano, el cubo unitario y el cubo de Hilbert, son AR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle I^{n},}$ ${\textstyle I^{\omega }}$

Los ANR forman una clase notable de espacios topológicos de " buen comportamiento ". Entre sus propiedades se encuentran:

• Cada subconjunto abierto de una ANR es una ANR.
• Según Hanner , un espacio metrizable que tiene una cubierta abierta por ANR es un ANR. ^[9] (Es decir, ser un ANR es una propiedad local para espacios metrizables). De ello se deduce que toda variedad topológica es un ANR. Por ejemplo, la esfera es un ANR pero no un AR (porque no es contráctil). En dimensiones infinitas, el teorema de Hanner implica que cada variedad cúbica de Hilbert, así como las variedades de Hilbert (bastante diferentes, por ejemplo, no localmente compactas ) y las variedades de Banach, son ANR. ${\textstyle S^{n}}$
• Todo complejo CW localmente finito es un ANR. ^[10] Un complejo CW arbitrario no necesita ser metrizable, pero cada complejo CW tiene el tipo de homotopía de un ANR (que es metrizable, por definición). ^[11]
• Cada ANR X es localmente contráctil en el sentido de que para cada vecindad abierta de un punto en , hay una vecindad abierta de contenido en tal que la inclusión es homotópica a un mapa constante . Un espacio metrizable de dimensión finita es un ANR si y sólo si es localmente contráctil en este sentido. ^[12] Por ejemplo, el conjunto de Cantor es un subconjunto compacto de la línea real que no es un ANR, ya que ni siquiera está conectado localmente . ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle V\hookrightarrow U}$
• Contraejemplos: Borsuk encontró un subconjunto compacto que es un ANR pero no estrictamente contraíble localmente. ^[13] (Un espacio es estrictamente contráctil localmente si cada vecindad abierta de cada punto contiene una vecindad abierta contráctil de .) Borsuk también encontró un subconjunto compacto del cubo de Hilbert que es localmente contráctil (como se definió anteriormente) pero no un ANR. ^[14] ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$
• Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, por Whitehead y Milnor . ^[15] Además, un ANR localmente compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW localmente finito; y, según West, un ANR compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito. ^[16] En este sentido, los ANR evitan todas las patologías teóricas de homotopía de los espacios topológicos arbitrarios. Por ejemplo, el teorema de Whitehead es válido para los ANR: un mapa de ANR que induce un isomorfismo en grupos de homotopía (para todas las elecciones de punto base) es una equivalencia de homotopía. Dado que los ANR incluyen variedades topológicas, variedades cúbicas de Hilbert, variedades de Banach, etc., estos resultados se aplican a una gran clase de espacios.
• Muchos espacios de mapeo son ANR. En particular, sea Y un ANR con un subespacio cerrado A que sea un ANR, y sea X cualquier espacio metrizable compacto con un subespacio cerrado B. Entonces el espacio de mapas de pares (con la topología compacta-abierta en el espacio de mapeo ) es un ANR. ^[17] De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de bucle de cualquier complejo CW tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$
• Según Cauty, un espacio metrizable es un ANR si y sólo si cada subconjunto abierto de tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ^[18] ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$
• Por Cauty, hay un espacio lineal métrico (es decir, un espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción ) que no es un AR. Se puede considerar separable y un espacio F (es decir, un espacio lineal métrico completo). ^[19] (Según el teorema de Dugundji anterior, no puede ser localmente convexo). Dado que es contráctil y no un AR, tampoco es un ANR. Según el teorema de Cauty anterior, tiene un subconjunto abierto que no es homotópicamente equivalente a un complejo CW. Por tanto, existe un espacio metrizable que es estrictamente contráctil localmente pero que no es homotópicamente equivalente a un complejo CW. No se sabe si un espacio metrizable compacto (o localmente compacto) que sea estrictamente contráctil localmente debe ser un ANR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle U}$

Notas

1. Borsuk (1931).
2. Weintraub, Steven H. Fundamentos de topología algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 270. Saltador . pag. 20.
3. Hatcher (2002), Proposición 4H.1.
4. Marioneta (1967), Satz 1.
5. Hatcher (2002), Ejercicio 0.6.
6. Mardešiċ (1999), pág. 242.
7. Hu (1965), Proposición II.7.2.
8. Hu (1965), Corolario II.14.2 y Teorema II.3.1.
9. Hu (1965), Teorema III.8.1.
10. Mardešiċ (1999), pág. 245.
11. Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
12. Hu (1965), Teorema V.7.1.
13. Borsuk (1967), sección IV.4.
14. Borsuk (1967), Teorema V.11.1.
15. Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
16. Oeste (2004), pág. 119.
17. Hu (1965), Teorema VII.3.1 y Observación VII.2.3.
18. Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 144: 11-22.
19. Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 146: 85–99.

Referencias

• Borsuk, Karol (1931), "Sur les rétractes", Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170, doi : 10.4064/fm-17-1-152-170 , Zbl  0003.02701
• Borsuk, Karol (1967), Teoría de las retractaciones , Varsovia: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0216473
• Cauty, Robert (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage", Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22, doi : 10.4064/fm-144-1-11-22 , MR  1271475
• Cauty, Robert (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu", Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99, doi : 10.4064/fm-146-1-85-99 , SEÑOR  1305261
• Fritsch, Rudolf; Piccinini, Renzo (1990), Estructuras celulares en topología , Cambridge University Press , ISBN 0-521-32784-9, señor  1074175
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, señor  1867354
• Hu, Sze-Tsen (1965), Teoría de las retractaciones , Wayne State University Press, MR  0181977
• Mardešić, Sibe (1999), "La vecindad absoluta se retrae y la teoría de la forma", en James, IM (ed.), Historia de la topología , Ámsterdam: Holanda Septentrional , págs. 241–269, ISBN 0-444-82375-1, señor  1674915
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, SEÑOR  1702278
• Milnor, John (1959), "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 272–280, doi :10.2307/1993204, JSTOR  1993204, MR  0100267
• Puppe, Dieter (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik , 18 : 81–88, doi :10.1007/BF01899475, MR  0206954, S2CID  120021003
• West, James (2004), "Absolute retracts", en Hart, KP (ed.), Enciclopedia de topología general , Ámsterdam: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, señor  2049453

enlaces externos

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