Relación giromagnética

Relación entre el momento magnético y el momento angular

En física , la relación giromagnética (también conocida a veces como relación magnetogírica ^[1] en otras disciplinas) de una partícula o sistema es la relación entre su momento magnético y su momento angular , y a menudo se denota con el símbolo γ , gamma. Su unidad en el SI es el radián por segundo por tesla (rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) o, equivalentemente, el culombio por kilogramo (C⋅kg ⁻¹ ).

El término "cociente giromagnético" se utiliza a menudo ^[2] como sinónimo de una cantidad diferente pero estrechamente relacionada, el factor g . El factor g solo se diferencia del cociente giromagnético en que es adimensional .

Para un cuerpo giratorio clásico

Consideremos un cuerpo cargado no conductor que gira alrededor de un eje de simetría. Según las leyes de la física clásica, tiene un momento dipolar magnético debido al movimiento de carga y un momento angular debido al movimiento de masa que surge de su rotación. Se puede demostrar que, siempre que su carga, densidad de masa y flujo ^{[ aclaración necesaria ]} se distribuyan de manera idéntica y rotacionalmente simétrica, su relación giromagnética es

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

¿Dónde está su carga y es su masa? ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {m}}$

La derivación de esta relación es la siguiente. Basta con demostrarlo para un anillo circular infinitesimalmente estrecho dentro del cuerpo, ya que el resultado general se deduce de una integración . Supongamos que el anillo tiene radio r , área A = πr ² , masa m , carga q y momento angular L = mvr . Entonces la magnitud del momento dipolar magnético es

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

Para un electrón aislado

Un electrón aislado tiene un momento angular y un momento magnético resultantes de su espín . Si bien el espín de un electrón a veces se visualiza como una rotación literal sobre un eje, no se puede atribuir a la masa distribuida de manera idéntica a la carga. La relación clásica anterior no se cumple, dando un resultado erróneo por el valor absoluto del factor g del electrón , que se denota g _e : donde μ _B es el magnetón de Bohr . $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

La relación giromagnética debida al espín del electrón es el doble de la debida a la órbita de un electrón.

En el marco de la mecánica cuántica relativista, donde es la constante de estructura fina . Aquí las pequeñas correcciones al resultado relativista g = 2 provienen de los cálculos de la teoría cuántica de campos del momento dipolar magnético anómalo . El factor g del electrón se conoce con doce decimales midiendo el momento magnético del electrón en un ciclotrón de un electrón: ^[3] $${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

La relación giromagnética de los electrones es ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1}{\cdot }T^{-1}} }$$ $${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{-1}} .}$$

El factor g del electrón y γ concuerdan perfectamente con la teoría; consulte las pruebas de precisión de QED para obtener más detalles. ^[7]

El factor giromagnético no es consecuencia de la relatividad

Como de la ecuación de Dirac se sigue un factor giromagnético igual a 2, es un error frecuente pensar que un factor g 2 es una consecuencia de la relatividad; no lo es. El factor 2 se puede obtener a partir de la linealización tanto de la ecuación de Schrödinger como de la ecuación relativista de Klein-Gordon (que conduce a la de Dirac). En ambos casos se obtiene un espinor 4 y para ambas linealizaciones el factor g es igual a 2; por lo tanto, el factor 2 es una consecuencia del acoplamiento mínimo y del hecho de tener el mismo orden de derivadas para el espacio y el tiempo. ^[8]

Giro físico1/2Las partículas que no pueden describirse mediante la ecuación de Dirac calibrada lineal satisfacen la ecuación de Klein-Gordon calibrada extendida por la ecuación g . mi/4⁠ σ ^μν F _μν término según,^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Aquí, ⁠1/2⁠ σ ^μν y F ^μν representan los generadores del grupo de Lorentz en el espacio de Dirac y el tensor electromagnético respectivamente, mientras que A ^μ es el tetrapotencial electromagnético . Un ejemplo de una partícula de este tipo, ^[9] es el espín ⁠1/2⁠ compañero para girar ⁠3/2⁠ en el espacio de representación D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) del grupo de Lorentz . Se ha demostrado que esta partícula se caracteriza por g = ⁠−+2/3⁠ y en consecuencia comportarse como un fermión verdaderamente cuadrático.

Para un núcleo

El signo de la relación giromagnética, γ , determina el sentido de la precesión. Si bien los momentos magnéticos (las flechas negras) están orientados de la misma manera para ambos casos de γ , la precesión está en direcciones opuestas. El espín y el momento magnético están en la misma dirección para γ > 0 (como para los protones).

Los protones , neutrones y muchos núcleos tienen un espín nuclear , lo que da lugar a una relación giromagnética como la que se indica más arriba. La relación se escribe convencionalmente en términos de la masa y la carga del protón, incluso para los neutrones y otros núcleos, por motivos de simplicidad y coherencia. La fórmula es:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

donde es el magnetón nuclear y es el factor g del nucleón o núcleo en cuestión. La relación igual a es 7,622593285(47) MHz/T. ^[10] ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle g_{\rm {n}}}$ ${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$ ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

La relación giromagnética de un núcleo desempeña un papel en la resonancia magnética nuclear (RMN) y en la obtención de imágenes por resonancia magnética (IRM). Estos procedimientos se basan en el hecho de que la magnetización en masa debida a los espines nucleares precesa en un campo magnético a una velocidad denominada frecuencia de Larmor , que es simplemente el producto de la relación giromagnética por la intensidad del campo magnético. Con este fenómeno, el signo de γ determina el sentido (horario o antihorario) de la precesión.

Los núcleos más comunes, como ¹ H y ¹³ C, tienen relaciones giromagnéticas positivas. ^{[11] [12]} En la siguiente tabla se dan valores aproximados para algunos núcleos comunes. ^{[13] [14]}

Precesión de Larmor

Cualquier sistema libre con una relación giromagnética constante, como un sistema rígido de cargas, un núcleo o un electrón , cuando se coloca en un campo magnético externo B (medido en teslas) que no está alineado con su momento magnético , precesará a una frecuencia f (medida en hercios ), que es proporcional al campo externo:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

Por esta razón, los valores de ⁠gamma/2π​ ⁠ , en unidades de hercios por tesla (Hz/T), a menudo se expresan en lugar de γ .

Derivación heurística

La derivación de esta relación es la siguiente: Primero debemos probar que el torque resultante de someter un momento magnético a un campo magnético es La identidad de la forma funcional de los campos eléctrico y magnético estacionarios ha llevado a definir la magnitud del momento dipolar magnético igualmente bien que , o de la siguiente manera, imitando el momento p de un dipolo eléctrico: El dipolo magnético puede ser representado por una aguja de una brújula con cargas magnéticas ficticias en los dos polos y el vector distancia entre los polos bajo la influencia del campo magnético de la tierra. Por la mecánica clásica el torque en esta aguja es Pero como se dijo anteriormente así surge la fórmula deseada. es el vector distancia unitaria. ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$ ${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

El modelo del electrón giratorio que utilizamos en la derivación tiene una analogía evidente con un giroscopio. Para cualquier cuerpo giratorio, la tasa de cambio del momento angular es igual al par aplicado : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Observemos como ejemplo la precesión de un giroscopio. La atracción gravitatoria de la Tierra aplica una fuerza o par al giroscopio en dirección vertical, y el vector de momento angular a lo largo del eje del giroscopio gira lentamente alrededor de una línea vertical que pasa por el pivote. En lugar del giroscopio, imaginemos una esfera que gira alrededor del eje y con su centro en el pivote del giroscopio, y a lo largo del eje del giroscopio dos vectores en direcciones opuestas, ambos originados en el centro de la esfera, hacia arriba y hacia abajo. Reemplacemos la gravedad por una densidad de flujo magnético. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} .}$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$representa la velocidad lineal del pica de la flecha a lo largo de un círculo cuyo radio es donde es el ángulo entre y la vertical. Por lo tanto la velocidad angular de la rotación del espín es ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$ ${\displaystyle \,\phi \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Como consecuencia, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Esta relación también explica una aparente contradicción entre los dos términos equivalentes, relación giromagnética versus relación magnetogírica : mientras que es una relación entre una propiedad magnética (es decir, momento dipolar ) y una propiedad gírica (rotacional, del griego : γύρος , "giro") (es decir, momento angular ), es también, al mismo tiempo , una relación entre la frecuencia de precesión angular (otra propiedad gírica ) ω = 2 πf y el campo magnético .

La frecuencia de precesión angular tiene un significado físico importante: es la frecuencia angular del ciclotrón , la frecuencia de resonancia de un plasma ionizado que está bajo la influencia de un campo magnético finito estático, cuando superponemos un campo electromagnético de alta frecuencia.

Véase también

• Relación carga-masa
• Desplazamiento químico
• Factor g de Landé
• Ecuación de Larmor
• Relación giromagnética de protones

Referencias

1. Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (1993). Cantidades, unidades y símbolos en química física , 2.ª edición, Oxford: Blackwell Science. ISBN  0-632-03583-8 . pág. 21. Versión electrónica.
2. Por ejemplo, véase: Giancoli, DC Física para científicos e ingenieros (3.ª ed.). pág. 1017;o ver: Tipler, PA; Llewellyn, RA Física Moderna (4ª ed.). pág. 309.
3. Fan, X.; Myers, TG; Sukra, BAD; Gabrielse, G. (13 de febrero de 2023). "Medición del momento magnético del electrón". Physical Review Letters . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Código Bibliográfico :2023PhRvL.130g1801F. doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID  36867820. S2CID  123962197.
4. "relación giromagnética de los electrones". NIST .Nótese que el NIST coloca un signo positivo en la cantidad; sin embargo, para ser coherente con las fórmulas de este artículo, aquí se coloca un signo negativo en γ . De hecho, muchas referencias dicen que γ < 0 para un electrón; por ejemplo, Weil & Bolton (2007). Electron Paramagnetic Resonance . Wiley. p. 578. ^{[ Se necesita cita completa ]} Tenga en cuenta también que las unidades de radianes se agregan para mayor claridad.
5. "relación giromagnética de los electrones". NIST .
6. "Relación giromagnética de electrones en MHz/T". NIST .
7. Knecht, Marc (12 de octubre de 2002). "Los momentos magnéticos anómalos del electrón y el muón". En Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (eds.). Seminario de Poincaré 2002. Seminario de Poincaré. Progreso en física matemática. Vol. 30. París, FR: Birkhäuser (publicado en 2003). ISBN 3-7643-0579-7. Archivado desde el original ( PostScript ) el 15 de octubre de 2005.
8. Greiner, Walter (4 de octubre de 2000). Mecánica cuántica: una introducción. Springer Verlag . ISBN 9783540674580– a través de Google Books.
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