Axiomas de probabilidad

Foundations of probability theory

Los axiomas de probabilidad estándar son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por el matemático ruso Andrey Kolmogorov en 1933. ^[1] Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. ^[2]

Existen varios otros enfoques (equivalentes) para formalizar la probabilidad. Los bayesianos a menudo motivarán los axiomas de Kolmogorov invocando en su lugar el teorema de Cox o los argumentos del libro holandés . ^{[3] [4]}

Axiomas de Kolmogorov

Los supuestos para establecer los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea un espacio de medida siendo la probabilidad de algún evento , y . Entonces hay un espacio de probabilidad , con espacio muestral , espacio de eventos y medida de probabilidad . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

primer axioma

La probabilidad de un evento es un número real no negativo:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

¿ Dónde está el espacio para eventos? De ello se deduce que siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general . Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P(E)}$

Segundo axioma

Este es el supuesto de unidad de medida : que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Tercer axioma

Esta es la suposición de σ-aditividad :

Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimo de eventos mutuamente excluyentes ) satisface ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Algunos autores consideran espacios de probabilidad meramente finitamente aditivos , en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos , en lugar de una σ-álgebra . ^[5] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.

Consecuencias

De los axiomas de Kolmogorov se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar probabilidades. Las pruebas ^{[6] [7] [8]} de estas reglas son un procedimiento muy revelador que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas anteriores. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas:

monotonicidad

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Si A es un subconjunto de B o igual a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

Prueba de monotonicidad ^[6]

Para verificar la propiedad de monotonicidad, configuramos y , dónde y para . A partir de las propiedades del conjunto vacío ( ), es fácil ver que los conjuntos son disjuntos por pares y . Por lo tanto, obtenemos del tercer axioma que ${\displaystyle E_{1}=A}$ ${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\geq 3}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Dado que, según el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y dado que converge a cuál es finito, obtenemos tanto como y . ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad del conjunto vacío.

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

En muchos casos, no es el único evento con probabilidad 0. ${\displaystyle \varnothing }$

Prueba de la probabilidad del conjunto vacío.

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$desde , ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$aplicando el tercer axioma al lado izquierdo (la nota es disjunta consigo misma), y así ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$restando de cada lado de la ecuación. ${\displaystyle P(\varnothing )}$

La regla del complemento

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

Prueba de la regla del complemento

Dados y son mutuamente excluyentes y que : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (por el axioma 3)

y, ... (por el axioma 2) ${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

El límite numérico

De la propiedad de monotonía se deduce inmediatamente que

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Prueba del límite numérico

Dada la regla del complemento y el axioma 1 : ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Otras consecuencias

Otra propiedad importante es:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Esto se llama ley de probabilidad de la suma o regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento en A o B es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B , menos la probabilidad de un evento que ocurre tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

En primer lugar,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$ ... (por el axioma 3)

Entonces,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(por ). ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

También,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

y eliminando de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado. ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Una extensión de la ley de la suma a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión .

Al establecer B en el complemento A ^c de A en la ley de la suma se obtiene

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

Es decir, la probabilidad de que cualquier evento no suceda (o el complemento del evento ) es 1 menos la probabilidad de que suceda.

Ejemplo sencillo: lanzamiento de moneda

Considere un solo lanzamiento de moneda y suponga que la moneda saldrá cara (H) o cruz (T) (pero no ambas). No se hace ninguna suposición sobre si la moneda es justa o si algún sesgo depende o no de cómo se lanza la moneda. ^[9]

Podemos definir:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Los axiomas de Kolmogorov implican que:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

La suma de la probabilidad de que salga cara y la probabilidad de que salga cruz es 1.

Ver también

• Álgebra de Borel  - Clase de conjuntos matemáticosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Probabilidad condicional  : probabilidad de que ocurra un evento, dado que ya ha ocurrido otro evento.
• Diseño totalmente probabilístico
• Estadísticas intuitivas  : fenómeno cognitivo en el que los organismos utilizan datos para hacer generalizaciones y predicciones sobre el mundo.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cuasiprobabilidad  : objetos como distribuciones de probabilidad que violan la σ-aditividad; útil en física computacionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de conjuntos  : rama de las matemáticas que estudia los conjuntos.
• σ-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Kolmogorov, Andrey (1950) [1933]. Fundamentos de la teoría de la probabilidad. Nueva York, Estados Unidos: Chelsea Publishing Company.
2. Aldous, David. "¿Cuál es el significado de los axiomas de Kolmogorov?". David Aldous . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
3. Cox, RT (1946). "Probabilidad, frecuencia y expectativa razonable". Revista Estadounidense de Física . 14 (1): 1–10. Código bibliográfico : 1946AmJPh..14....1C. doi :10.1119/1.1990764.
4. Cox, RT (1961). El álgebra de la inferencia probable . Baltimore, MD: Prensa de la Universidad Johns Hopkins.
5. Hájek, Alan (28 de agosto de 2019). "Interpretaciones de la probabilidad". Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 17 de noviembre de 2019 .
6. Ross, Sheldon M. (2014). Un primer curso de probabilidad (Novena ed.). Río Upper Saddle, Nueva Jersey. págs.27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC  827003384.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Gerard, David (9 de diciembre de 2017). "Pruebas de axiomas" (PDF) . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
8. Jackson, Bill (2010). "Probabilidad (apuntes de la conferencia - Semana 3)" (PDF) . Escuela de Matemáticas, Universidad Queen Mary de Londres . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
9. Diaconis, Persi; Holmes, Susan; Montgomery, Richard (2007). "Sesgo dinámico en el lanzamiento de moneda" (PDF) . Revista Siam . 49 (211-235). doi :10.1137/S0036144504446436 . Consultado el 5 de enero de 2024 .

Otras lecturas

• DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidades y estadísticas. Lectura: Addison-Wesley. págs. 12-16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs. 13-28.
• Definición formal de probabilidad en el sistema de Mizar y lista de teoremas demostrados formalmente al respecto.