Formalismo post-newtoniano parametrizado

Herramienta de cálculo sobre energía que vincula la relatividad general con la física clásica.

En física , precisamente en el estudio de la teoría de la relatividad general y muchas alternativas a ella , el formalismo post-newtoniano es una herramienta de cálculo que expresa las ecuaciones de gravedad (no lineales) de Einstein en términos de las desviaciones de orden más bajo de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes, puede ser preferible resolver las ecuaciones completas numéricamente. Algunas de estas aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un parámetro pequeño, que es la relación entre la velocidad de la materia que forma el campo gravitatorio y la velocidad de la luz , que en este caso se llama mejor velocidad de la gravedad . En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton .

El formalismo post-newtoniano parametrizado o formalismo PPN , es una versión de esta formulación que detalla explícitamente los parámetros en los que una teoría general de la gravedad puede diferir de la gravedad newtoniana. Se utiliza como herramienta para comparar la gravedad newtoniana y la einsteiniana en el límite en el que el campo gravitatorio es débil y generado por objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. En general, el formalismo PPN se puede aplicar a todas las teorías métricas de la gravitación en las que todos los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein (EEP). La velocidad de la luz permanece constante en el formalismo PPN y se supone que el tensor métrico es siempre simétrico.

Historia

Las primeras parametrizaciones de la aproximación post-newtoniana fueron realizadas por Sir Arthur Stanley Eddington en 1922. Sin embargo, se ocuparon únicamente del campo gravitatorio del vacío fuera de un cuerpo esférico aislado. Ken Nordtvedt (1968, 1969) amplió esto para incluir siete parámetros en artículos publicados en 1968 y 1969. Clifford Martin Will introdujo una descripción de los cuerpos celestes basada en materia continua y estresada en 1971.

Las versiones descritas aquí se basan en Wei-Tou Ni (1972), Will y Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (ver Gravitación (libro) ) y Will (1981, 1993) y tienen diez parámetros.

Notación beta-delta

Diez parámetros post-newtonianos caracterizan completamente el comportamiento de la teoría en el campo débil. El formalismo ha sido una herramienta valiosa en las pruebas de la relatividad general . En la notación de Will (1971), Ni (1972) y Misner et al. (1973) tienen los siguientes valores:

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$es el tensor métrico simétrico de 4 por 4 con índices y que van de 0 a 3. A continuación, un índice de 0 indicará la dirección del tiempo y los índices y (que van de 1 a 3) indicarán direcciones espaciales. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

En la teoría de Einstein, los valores de estos parámetros se eligen (1) para ajustarse a la Ley de gravedad de Newton en el límite de velocidades y masas que se aproximan a cero, (2) para asegurar la conservación de la energía , la masa , el momento y el momento angular , y (3) para hacer que las ecuaciones sean independientes del marco de referencia . En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN y ${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ ${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Notación alfa-zeta

En la notación más reciente de Will y Nordtvedt (1972) y Will (1981, 1993, 2006) se utiliza un conjunto diferente de diez parámetros PPN.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$se calcula a partir de ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

El significado de estos es que , y miden el alcance de los efectos del marco preferido . , , y miden la falla de conservación de la energía, el momento y el momento angular. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{1}}$ ${\displaystyle \zeta _{2}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{4}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$

En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$y ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

La relación matemática entre los parámetros métricos, potenciales métricos y PPN para esta notación es:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

donde se suman los índices repetidos. es del orden de potenciales tales como , la magnitud cuadrada de las velocidades de coordenadas de la materia, etc. es el vector de velocidad del sistema de coordenadas PPN relativo al marco de reposo medio del universo. es la magnitud cuadrada de esa velocidad. si y solo si , en caso contrario. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w^{i}}$ ${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle 0}$

Hay diez potenciales métricos, , , , , , , , , y , uno para cada parámetro PPN para garantizar una solución única. Se resuelven 10 ecuaciones lineales con 10 incógnitas invirtiendo una matriz de 10 por 10. Estos potenciales métricos tienen formas como: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi _{W}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{4}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

que es simplemente otra forma de escribir el potencial gravitacional newtoniano,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

donde es la densidad de masa en reposo, es la energía interna por unidad de masa en reposo, es la presión medida en un marco local en caída libre que se mueve momentáneamente con la materia, y es la velocidad coordinada de la materia. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

El tensor de tensión-energía para un fluido perfecto toma forma

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Cómo aplicar para PPN

En Will (1981, 1993) se pueden encontrar ejemplos del proceso de aplicación del formalismo PPN a teorías alternativas de la gravedad. Se trata de un proceso de nueve pasos:

• Paso 1: Identificar las variables, que pueden incluir: (a) variables gravitacionales dinámicas como la métrica , el campo escalar , el campo vectorial , el campo tensorial , etcétera; (b) variables geométricas previas como una métrica de fondo plano , una función de tiempo cósmico , etcétera; (c) variables de materia y de campo no gravitacional. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle t}$
• Paso 2: Establezca las condiciones de contorno cosmológicas. Suponga una cosmología isotrópica homogénea, con coordenadas isotrópicas en el marco de referencia en reposo del universo. Puede que se necesite o no una solución cosmológica completa. Llamemos a los resultados , , , . ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Paso 3: Obtenga nuevas variables de , con o si es necesario. ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Paso 4: Sustituya estas formas en las ecuaciones de campo, conservando solo los términos que sean necesarios para obtener una solución final consistente para . Sustituya el tensor de tensión del fluido perfecto por las fuentes de materia. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$
• Paso 5: Resuelva para . Suponiendo que esto tiende a cero lejos del sistema, se obtiene la forma donde es el potencial gravitatorio newtoniano y puede ser una función complicada que incluya la "constante" gravitatoria . La métrica newtoniana tiene la forma , , . Trabaje en unidades donde la "constante" gravitatoria medida hoy lejos de la materia gravitatoria es la unidad, por lo que se establece . ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$ ${\displaystyle g_{0j}=0}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$ ${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$
• Paso 6: A partir de versiones linealizadas de las ecuaciones de campo, resuelva para y para . ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{0j}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• Paso 7: Halla . Este es el paso más complicado, ya que involucra todas las no linealidades en las ecuaciones de campo. El tensor de tensión-energía también debe expandirse hasta un orden suficiente. ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(4)}$
• Paso 8: Convertir a coordenadas cuasi cartesianas locales y al calibre PPN estándar.
• Paso 9: Comparando el resultado con las ecuaciones presentadas en PPN con parámetros alfa-zeta, lea los valores de los parámetros PPN. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Comparaciones entre teorías de la gravedad

Se puede encontrar una tabla que compara los parámetros PPN para 23 teorías de la gravedad en Alternativas a la relatividad general#Parámetros paramétricos post-newtonianos para una variedad de teorías .

La mayoría de las teorías métricas de la gravedad se pueden agrupar en categorías. Las teorías escalares de la gravitación incluyen teorías planas conformes y teorías estratificadas con porciones espaciales ortogonales al tiempo.

En teorías planas conformes como la teoría de la gravitación de Nordström la métrica está dada por y para esta métrica , que está en total desacuerdo con las observaciones. En teorías estratificadas como la teoría de la gravitación de Yilmaz la métrica está dada por y para esta métrica , que también está en total desacuerdo con las observaciones. ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \gamma =-1}$ ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$

Otra clase de teorías son las teorías cuasilineales, como la teoría de la gravitación de Whitehead . Para estas , las magnitudes relativas de los armónicos de las mareas de la Tierra dependen de y , y las mediciones muestran que las teorías cuasilineales no concuerdan con las observaciones de las mareas de la Tierra. ${\displaystyle \xi =\beta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Otra clase de teorías métricas es la teoría bimétrica , ya que todas ellas son distintas de cero. A partir de la precesión del giro solar sabemos que , y eso descarta efectivamente las teorías bimétricas. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Otra clase de teorías métricas son las teorías escalar-tensoriales , como la teoría de Brans-Dicke . Para todas ellas, . El límite de medias tendría que ser muy grande, por lo que estas teorías parecen cada vez menos probables a medida que mejora la precisión experimental. ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$ ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega }$

La última clase principal de teorías métricas son las teorías vector-tensoriales. Para todas ellas, la "constante" gravitacional varía con el tiempo y no es cero. Los experimentos de medición de distancias láser lunares limitan estrictamente la variación de la "constante" gravitacional con el tiempo y , por lo tanto, estas teorías también parecen poco probables. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Hay algunas teorías métricas de la gravedad que no encajan en las categorías anteriores, pero tienen problemas similares.

Precisión de pruebas experimentales

Límites de los parámetros PPN de Will (2006) y Will (2014)

^† Will, CM (10 de julio de 1992). "¿Se conserva el momento? Una prueba en el sistema binario PSR 1913 + 16". Astrophysical Journal Letters . 393 (2): L59–L61. Bibcode :1992ApJ...393L..59W. doi :10.1086/186451. ISSN  0004-637X.
^‡ Basado en Will (1976, 2006). Es teóricamente posible ^{[ aclaración necesaria ]} que un modelo alternativo de gravedad evite este límite, en cuyo caso el límite es el de Ni (1972). ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$

Véase también

• Portal de física

• Alternativas a la relatividad general#Parámetros paramétricos post-newtonianos para una variedad de teorías
• Formalismo de un solo cuerpo eficaz
• Gravedad linealizada
• Parámetro Peskin-Takeuchi Lo mismo que PPN, pero para la teoría electrodébil en lugar de la gravitación.
• Pruebas de la relatividad general

Referencias

• Eddington, AS (1922) La teoría matemática de la relatividad, Cambridge University Press.
• Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, JA (1973) Gravitación, WH Freeman and Co.
• Nordtvedt, Kenneth (25 de mayo de 1968). "Principio de equivalencia para cuerpos masivos. II. Teoría". Physical Review . 169 (5). American Physical Society (APS): 1017–1025. Bibcode :1968PhRv..169.1017N. doi :10.1103/physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Nordtvedt, K. (25 de abril de 1969). "Principio de equivalencia para cuerpos masivos que incluyen energía rotacional y presión de radiación". Physical Review . 180 (5). American Physical Society (APS): 1293–1298. Bibcode :1969PhRv..180.1293N. doi :10.1103/physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• Will, Clifford M. (1971). "Marcos teóricos para probar la gravedad relativista. II. Hidrodinámica post-newtoniana parametrizada y el efecto Nordtvedt". The Astrophysical Journal . 163 . IOP Publishing: 611-628. Bibcode :1971ApJ...163..611W. doi :10.1086/150804. ISSN  0004-637X.
• Will, CM (1976). "Masa activa en gravedad relativista - Interpretación teórica del experimento de Kreuzer". The Astrophysical Journal . 204 . IOP Publishing: 224-234. Bibcode :1976ApJ...204..224W. doi : 10.1086/154164 . ISSN  0004-637X.
• Will, CM (1981, 1993) Teoría y experimentación en física gravitacional, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6 . 
• Will, CM, (2006) La confrontación entre la relatividad general y el experimento, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Will, Clifford M. (11 de junio de 2014). "La confrontación entre la relatividad general y el experimento". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 4. arXiv : 1403.7377 . Bibcode :2014LRR....17....4W. doi : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. PMC  5255900 . PMID  28179848.
• Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth Jr. (1972). "Leyes de conservación y marcos preferidos en gravedad relativista. I. Teorías de marcos preferidos y un formalismo PPN extendido". The Astrophysical Journal . 177 . IOP Publishing: 757. Bibcode :1972ApJ...177..757W. doi : 10.1086/151754 . ISSN  0004-637X.