Una forma (geometría diferencial)

Forma diferencial de grado uno o sección de un fibrado cotangente

En geometría diferencial , una forma unitaria (o campo covectorial ) en una variedad diferenciable es una forma diferencial de grado uno, es decir, una sección suave del fibrado cotangente . ^[1] De manera equivalente, una forma unitaria en una variedad es una aplicación suave del espacio total del fibrado tangente de a cuya restricción a cada fibra es un funcional lineal en el espacio tangente. ^[2] Simbólicamente, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$$donde es lineal. ${\displaystyle \alpha _{x}}$

A menudo, las uniformas se describen localmente , en particular en coordenadas locales . En un sistema de coordenadas local, una uniforma es una combinación lineal de las diferenciales de las coordenadas: donde son funciones suaves. Desde esta perspectiva, una uniforma tiene una ley de transformación covariante al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por lo tanto, una uniforma es un campo tensorial covariante de orden 1 . $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$ ${\displaystyle f_{i}}$

Ejemplos

La forma diferencial unidimensional no trivial más básica es la forma de "cambio de ángulo". Esta se define como la derivada de la "función" del ángulo (que solo se define hasta una constante aditiva), que se puede definir explícitamente en términos de la función atan2 . Tomando la derivada se obtiene la siguiente fórmula para la derivada total : Si bien la "función" del ángulo no se puede definir de forma continua (la función atan2 es discontinua a lo largo del eje negativo), lo que refleja el hecho de que el ángulo no se puede definir de forma continua, esta derivada se define de forma continua excepto en el origen, lo que refleja el hecho de que los cambios infinitesimales (y de hecho locales) en el ángulo se pueden definir en todas partes excepto en el origen. Integrar esta derivada a lo largo de una trayectoria da el cambio total en el ángulo a lo largo de la trayectoria, y la integración sobre un bucle cerrado da el número de veces que se devanó el ángulo. ${\displaystyle d\theta .}$ ${\displaystyle \theta (x,y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2\pi .}$

En el lenguaje de la geometría diferencial , esta derivada es una forma unidimensional en el plano perforado . Es cerrada (su derivada exterior es cero) pero no exacta , lo que significa que no es la derivada de una forma unidimensional (es decir, una función): el ángulo no es una función suave definida globalmente en todo el plano perforado. De hecho, esta forma genera la primera cohomología de De Rham del plano perforado. Este es el ejemplo más básico de una forma de este tipo, y es fundamental en la geometría diferencial. ${\displaystyle \theta }$

Diferencial de una función

Sea abierta (por ejemplo, un intervalo ), y considérese una función diferenciable con derivada La diferencial asigna a cada punto una función lineal desde el espacio tangente a los números reales. En este caso, cada espacio tangente es naturalmente identificable con la recta de números reales, y la función lineal en cuestión se da escalando por Este es el ejemplo más simple de una (uno-)forma diferencial. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f'.}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x_{0}).}$

Véase también

• Forma diferencial  : Expresión que puede integrarse sobre una región.
• Producto interno  – Generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
• Red recíproca  : transformada de Fourier de una red en el espacio real, importante en la física del estado sólido
• Tensor  – Objeto algebraico con aplicaciones geométricas

Referencias

1. "2 Introducción a la geometría diferencial ‣ Relatividad general por David Tong". www.damtp.cam.ac.uk . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
2. McInerney, Andrew (9 de julio de 2013). Primeros pasos en geometría diferencial: riemanniana, de contacto, simpléctica. Springer Science & Business Media. pp. 136–155. ISBN 978-1-4614-7732-7.