En geometría , el icosaedro truncado es un poliedro que se puede construir truncando todos los vértices del icosaedro regular . Intuitivamente, se lo puede considerar como balones de fútbol que suelen tener un patrón de hexágonos blancos y pentágonos negros. Se lo puede encontrar en la aplicación de estructuras de domo geodésico, como aquellas cuya arquitectura fue pionera en Buckminster Fuller , que a menudo se basan en esta estructura. Es un ejemplo de sólido arquimediano , así como de poliedro de Goldberg .
El icosaedro truncado se puede construir a partir de un icosaedro regular cortando todos sus vértices, conocido como truncamiento . Cada uno de los 12 vértices en la marca de un tercio de cada arista crea 12 caras pentagonales y transforma las 20 caras originales del triángulo en hexágonos regulares. [1] Por lo tanto, el poliedro resultante tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices. [2] Un poliedro de Goldberg es uno cuyas caras son 12 pentágonos y algún múltiplo de 10 hexágonos. Hay tres clases de poliedro de Goldberg, una de ellas se construye truncando todos los vértices repetidamente, y el icosaedro truncado es una de ellas, denotada como . [3]
El área de la superficie y el volumen del icosaedro truncado de longitud de arista son: [2] La esfericidad de un poliedro describe en qué medida un poliedro se parece a una esfera . Se puede definir como la relación entre el área de la superficie de una esfera con el mismo volumen y el área de la superficie del poliedro, cuyo valor está entre 0 y 1. En el caso de un icosaedro truncado, es: [2]
El ángulo diedro de un icosaedro truncado entre caras hexagonales adyacentes es de aproximadamente 138,18°, y el de pentágono a hexágono es de aproximadamente 142,6°. [4]
El icosaedro truncado es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. [5] Tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica , y también tiene la propiedad de transitividad de vértice . [6] [7] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un pentágono y dos hexágonos, y la figura del vértice de un icosaedro truncado es . El dual del icosaedro truncado es pentakis dodecaedro , un sólido de Catalan , [8] comparte la misma simetría que el icosaedro truncado. [9]
Según el teorema de Steinitz , el esqueleto de un icosaedro truncado, como el de cualquier poliedro convexo , puede representarse como un grafo poliédrico , es decir, un grafo plano (uno que puede dibujarse sin cruzar aristas) y un grafo conexo de 3 vértices (que permanece conexo siempre que se eliminen dos de sus vértices). [10] El grafo se conoce como grafo icosaédrico truncado , y tiene 60 vértices y 90 aristas. Es un grafo arquimediano porque se asemeja a uno de los sólidos arquimedianos. Es un grafo cúbico , lo que significa que cada vértice incide exactamente en tres aristas. [11] [12] [13]
Los balones que se utilizan en el fútbol y el balonmano son quizás el ejemplo más conocido de un poliedro esférico análogo al icosaedro truncado que se encuentra en la vida cotidiana. [14] El balón está formado por el mismo patrón de pentágonos y hexágonos regulares, cada uno de los cuales está pintado en blanco y negro respectivamente; aun así, su forma es más esférica. Fue diseñado por Adidas Telstar durante la Copa del Mundo de 1970. [ 15] Sin embargo, fue reemplazado en 2006. [16 ]
Las cúpulas geodésicas se basan típicamente en facetas triangulares de esta geometría con estructuras de ejemplo encontradas en todo el mundo, popularizadas por Buckminster Fuller . Un ejemplo se puede encontrar en el modelo de un buckminsterfullereno , un alótropo de cúpula geodésica con forma de icosaedro truncado del carbono elemental descubierto en 1985. [17] En otras aplicaciones de ingeniería y ciencia, su forma también fue la configuración de las lentes utilizadas para enfocar las ondas de choque explosivas de los detonadores tanto en el gadget como en las bombas atómicas Fat Man . [18] Su estructura también se puede encontrar en la proteína de la clatrina . [13]
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El icosaedro truncado era conocido por Arquímedes , quien clasificó los 13 sólidos arquimedianos en una obra perdida. Todo lo que ahora se sabe de su trabajo sobre estas formas proviene de Pappus de Alejandría , quien simplemente enumera el número de caras para cada una: 12 pentágonos y 20 hexágonos, en el caso del icosaedro truncado. La primera imagen conocida y la descripción completa de un icosaedro truncado provienen de un redescubrimiento de Piero della Francesca , en su libro del siglo XV De quinque corporibus regularibus , que incluía cinco de los sólidos arquimedianos (los cinco truncamientos de los poliedros regulares). [19] La misma forma fue representada por Leonardo da Vinci , en sus ilustraciones para el plagio de Luca Pacioli del libro de della Francesca en 1509. Aunque Alberto Durero omitió esta forma de los otros sólidos arquimedianos enumerados en su libro de 1525 sobre poliedros, Underweysung der Messung , se encontró una descripción de ella en sus documentos póstumos, publicados en 1538. Johannes Kepler más tarde redescubrió la lista completa de los 13 sólidos arquimedianos, incluido el icosaedro truncado, y los incluyó en su libro de 1609, Harmonices Mundi . [20]
