Forma bilineal

Función bilineal de valor escalar

En matemáticas , una forma bilineal es una función bilineal V × V → K en un espacio vectorial V (cuyos elementos se denominan vectores ) sobre un cuerpo K (cuyos elementos se denominan escalares ). En otras palabras, una forma bilineal es una función B  : V × V → K que es lineal en cada argumento por separado:

• B ( u + v , w ) = B ( u , w ) + B ( v , w )     y B ( λ u , v ) = λB ( u , v )   
• B ( u , v + w ) = B ( u , v ) + B ( u , w )     y B ( u , λ v ) = λB ( u , v )   

El producto escalar de es un ejemplo de una forma bilineal. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La definición de una forma bilineal se puede ampliar para incluir módulos sobre un anillo , con mapas lineales reemplazados por homomorfismos de módulos .

Cuando K es el campo de números complejos C , a menudo uno está más interesado en las formas sesquilíneas , que son similares a las formas bilineales pero son lineales conjugadas en un argumento.

Representación de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de n dimensiones con base { e ₁ , …, e _n } .

La matriz n  ×  n A , definida por A _ij = B ( e _i , e _j ) se denomina matriz de la forma bilineal sobre la base { e ₁ , …, e _n } .

Si la matriz n  × 1 x representa un vector x con respecto a esta base, y de manera similar, la matriz n × 1 y representa otro vector y , entonces: $${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}A_{ij}y_{j}.}$$

Una forma bilineal tiene diferentes matrices en diferentes bases. Sin embargo, las matrices de una forma bilineal en diferentes bases son todas congruentes . Más precisamente, si { f ₁ , …, f _n } es otra base de V , entonces donde la forma es una matriz invertible S . Entonces, la matriz de la forma bilineal en la nueva base es S ^T AS . $${\displaystyle \mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e} _{i},}$$ ${\displaystyle S_{i,j}}$

Propiedades

Formas bilineales no degeneradas

Toda forma bilineal B en V define un par de aplicaciones lineales desde V a su espacio dual V ^∗ . Defina B ₁ , B ₂ : V → V ^∗ por

B1 ( v )( w ) = B ( v _, w )

B2 ( v )( w ) = B ( w _, v )

Esto a menudo se denota como

B1 ( v ) = B ( v _, ⋅)

B2 ( v ) = B (⋅ _, v )

donde el punto ( ⋅ ) indica la ranura en la que se debe colocar el argumento para la función lineal resultante (ver Currying ).

Para un espacio vectorial de dimensión finita V , si B ₁ o B ₂ es un isomorfismo, entonces ambos lo son, y se dice que la forma bilineal B es no degenerada . Más concretamente, para un espacio vectorial de dimensión finita, no degenerado significa que cada elemento distinto de cero se empareja de manera no trivial con algún otro elemento:

${\displaystyle B(x,y)=0}$para todo implica que x = 0 y ${\displaystyle y\in V}$

${\displaystyle B(x,y)=0}$para todo implica que y = 0 . ${\displaystyle x\in V}$

La noción correspondiente para un módulo sobre un anillo conmutativo es que una forma bilineal esunimodular si V → V ^∗ es un isomorfismo. Dado un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo, el emparejamiento puede ser inyectivo (de ahí que sea "no degenerado" en el sentido anterior) pero no unimodular. Por ejemplo, sobre los números enteros, el emparejamiento B ( x , y ) = 2 xy es no degenerado pero no unimodular, ya que la función inducida de V = Z a V ^∗ = Z es la multiplicación por 2.

Si V es de dimensión finita, entonces se puede identificar a V con su doble dual V ^∗∗ . Entonces se puede demostrar que B ₂ es la transpuesta de la función lineal B ₁ (si V es de dimensión infinita, entonces B ₂ es la transpuesta de B ₁ restringida a la imagen de V en V ^∗∗ ). Dado B, se puede definir la transpuesta de B como la forma bilineal dada por

^tB ( v , w ) = B ( w , v ).

El radical izquierdo y el radical derecho de la forma B son los núcleos de B ₁ y B ₂ respectivamente; ^[2] son ​​los vectores ortogonales a todo el espacio a la izquierda y a la derecha. ^[3]

Si V es de dimensión finita, entonces el rango de B ₁ es igual al rango de B ₂ . Si este número es igual a dim( V ) entonces B ₁ y B ₂ son isomorfismos lineales de V a V ^∗ . En este caso, B es no degenerado. Por el teorema de rango-nulidad , esto es equivalente a la condición de que los radicales izquierdo y, equivalentemente, derecho sean triviales. Para espacios de dimensión finita, esto se toma a menudo como la definición de no degeneración:

Definición: B es no degenerado si B ( v , w ) = 0 para todo w implica v = 0 .

Dado cualquier mapa lineal A  : V → V ^∗ se puede obtener una forma bilineal B en V mediante

B ( v , w ) = A ( v ) ( w ).

Esta forma será no degenerada si y sólo si A es un isomorfismo.

Si V es de dimensión finita , entonces, en relación con alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y solo si el determinante de la matriz asociada es cero. Del mismo modo, una forma no degenerada es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada no es cero (la matriz no es singular ). Estas afirmaciones son independientes de la base elegida. Para un módulo sobre un anillo conmutativo, una forma unimodular es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es una unidad (por ejemplo, 1), de ahí el término; nótese que una forma cuyo determinante de matriz no es cero pero no una unidad será no degenerada pero no unimodular, por ejemplo B ( x , y ) = 2 xy sobre los enteros.

Formas simétricas, antisimétricas y alternas

Definimos una forma bilineal como

• simétrico si B ( v , w ) = B ( w , v ) para todos v , w en V ;
• alternando si B ( v , v ) = 0 para todo v en V ;
• asimétrico oantisimétrico si B ( v , w ) = − B ( w , v )para todo v , w enV;

  Proposición

  Toda forma alternada es antisimétrica.

  Prueba

  Esto se puede ver expandiendo B ( v + w , v + w ) .

Si la característica de K no es 2, entonces también es cierto lo inverso: toda forma antisimétrica es alternante. Sin embargo, si char( K ) = 2 , entonces una forma antisimétrica es lo mismo que una forma simétrica y existen formas simétricas/antisimétricas que no son alternantes.

Una forma bilineal es simétrica (respectivamente, antisimétrica) si y solo si su matriz de coordenadas (relativa a cualquier base) es simétrica (respectivamente , antisimétrica ). Una forma bilineal es alterna si y solo si su matriz de coordenadas es antisimétrica y las entradas diagonales son todas cero (lo que se deduce de la antisimetría cuando char( K ) ≠ 2 ).

Una forma bilineal es simétrica si y solo si las funciones B ₁ , B ₂ : V → V ^∗ son iguales, y antisimétrica si y solo si son negativas entre sí. Si char( K ) ≠ 2 entonces se puede descomponer una forma bilineal en una parte simétrica y una antisimétrica de la siguiente manera donde ^t B es la transpuesta de B (definida anteriormente). $${\displaystyle B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),}$$

Formas bilineales reflexivas y vectores ortogonales

Definición: Una forma bilineal B  : V × V → K se llama reflexiva si B ( v , w ) = 0 implica B ( w , v ) = 0 para todo v , w en V .

Definición: Sea B  : V × V → K una forma bilineal reflexiva. v , w en V son ortogonales con respecto a B si B ( v , w ) = 0 .

Una forma bilineal B es reflexiva si y solo si es simétrica o alterna. ^[4] En ausencia de reflexividad tenemos que distinguir entre ortogonalidad izquierda y derecha. En un espacio reflexivo los radicales izquierdo y derecho concuerdan y se denominan núcleo o radical de la forma bilineal: el subespacio de todos los vectores ortogonales con cualquier otro vector. Un vector v , con representación matricial x , está en el radical de una forma bilineal con representación matricial A , si y solo si Ax = 0 ⇔ x ^T A = 0 . El radical es siempre un subespacio de V . Es trivial si y solo si la matriz A no es singular, y por lo tanto si y solo si la forma bilineal no es degenerada.

Supongamos que W es un subespacio. Definamos el complemento ortogonal ^[5] $${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ for all }}\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Para una forma no degenerada en un espacio de dimensión finita, la función V/W → W ^⊥ es biyectiva , y la dimensión de W ^⊥ es dim( V ) − dim( W ) .

Formas bilineales acotadas y elípticas

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado ( V , ‖⋅‖) está acotada , si existe una constante C tal que para todo u , v ∈ V , $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado ( V , ‖⋅‖) es elíptica o coercitiva si existe una constante c > 0 tal que para todo u ∈ V , $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.}$$

Forma cuadrática asociada

Para cualquier forma bilineal B  : V × V → K , existe una forma cuadrática asociada Q  : V → K definida por Q  : V → K  : v ↦ B ( v , v ) .

Cuando char( K ) ≠ 2 , la forma cuadrática Q está determinada por la parte simétrica de la forma bilineal B y es independiente de la parte antisimétrica. En este caso hay una correspondencia biunívoca entre la parte simétrica de la forma bilineal y la forma cuadrática, y tiene sentido hablar de la forma bilineal simétrica asociada a una forma cuadrática.

Cuando char( K ) = 2 y dim V > 1 , esta correspondencia entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas se rompe.

Relación con los productos tensoriales

Por la propiedad universal del producto tensorial , existe una correspondencia canónica entre formas bilineales en V y aplicaciones lineales V ⊗ V → K . Si B es una forma bilineal en V la aplicación lineal correspondiente está dada por

v ⊗ w ↦ B ( v , w )

En la otra dirección, si F  : V ⊗ V → K es una función lineal, la forma bilineal correspondiente se da componiendo F con la función bilineal V × V → V ⊗ V que envía ( v , w ) a v ⊗ w .

El conjunto de todas las aplicaciones lineales V ⊗ V → K es el espacio dual de V ⊗ V , por lo que las formas bilineales pueden considerarse como elementos de ( V ⊗ V ) ^∗ que (cuando V es de dimensión finita) es canónicamente isomorfo a V ^∗ ⊗ V ^∗ .

De la misma manera, las formas bilineales simétricas pueden considerarse como elementos de (Sym ² V ) ^* (dual de la segunda potencia simétrica de V ) y las formas bilineales alternas como elementos de (Λ ² V ) ^∗ ≃ Λ ² V ^∗ (la segunda potencia exterior de V ^∗ ). Si char K ≠ 2 , (Sym ² V ) ^* ≃ Sym ² ( V ^∗ ) .

Generalizaciones

Pares de espacios vectoriales distintos

Gran parte de la teoría está disponible para un mapeo bilineal de dos espacios vectoriales sobre el mismo campo base a ese campo.

B  : V × W → K .

Aquí todavía tenemos aplicaciones lineales inducidas de V a W ^∗ , y de W a V ^∗ . Puede suceder que estas aplicaciones sean isomorfismos; suponiendo dimensiones finitas, si uno es un isomorfismo, el otro debe serlo. Cuando esto ocurre, se dice que B es un emparejamiento perfecto .

En dimensiones finitas, esto es equivalente a que el emparejamiento sea no degenerado (los espacios necesariamente tienen las mismas dimensiones). Para los módulos (en lugar de los espacios vectoriales), así como una forma no degenerada es más débil que una forma unimodular, un emparejamiento no degenerado es una noción más débil que un emparejamiento perfecto. Un emparejamiento puede ser no degenerado sin ser un emparejamiento perfecto, por ejemplo, Z × Z → Z mediante ( x , y ) ↦ 2 xy es no degenerado, pero induce la multiplicación por 2 en la función Z → Z ^∗ .

La terminología varía en la cobertura de las formas bilineales. Por ejemplo, F. Reese Harvey analiza "ocho tipos de producto interno". ^[6] Para definirlos, utiliza matrices diagonales A _ij que tienen solo +1 o −1 para elementos distintos de cero. Algunos de los "productos internos" son formas simplécticas y otros son formas sesquilineales o formas hermíticas . En lugar de un cuerpo general K , se deletrean las instancias con números reales R , números complejos C y cuaterniones H . La forma bilineal se denomina caso simétrico real y se etiqueta como R ( p , q ) , donde p + q = n . Luego articula la conexión con la terminología tradicional: ^[7] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$$

Algunos de los casos simétricos reales son muy importantes. El caso definido positivo R ( n , 0) se llama espacio euclidiano , mientras que el caso de un solo menos, R ( n −1, 1 ) se llama espacio lorentziano . Si n = 4 , entonces el espacio lorentziano también se llama espacio de Minkowski o espacio-tiempo de Minkowski . El caso especial R ( p , p ) se denominará caso dividido .

Módulos generales

Dado un anillo R y un R -módulo recto M y su módulo dual M ^∗ , una aplicación B  : M ^∗ × M → R se llama forma bilineal si

B ( u + v , x ) = B ( u , x ) + B ( v , x )

B ( u , x + y ) = B ( u , x ) + B ( u , y )

B ( αu , x β ) = αB ( u , x ) β

para todos u , v ∈ M ^∗ , todos x , y ∈ M y todos α , β ∈ R .

La aplicación ⟨⋅,⋅⟩ : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ u ( x ) se conoce como emparejamiento natural , también llamado forma bilineal canónica en M ^∗ × M . ^[8]

Una función lineal S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ S ( u ) induce la forma bilineal B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ S ( u ), x ⟩ , y una función lineal T  : M → M  : x ↦ T ( x ) induce la forma bilineal B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ u , T ( x )⟩ .

Por el contrario, una forma bilineal B  : M ^∗ × M → R induce las funciones R -lineales S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ ( x ↦ B ( u , x )) y T ′ : M → M ^∗∗  : x ↦ ( u ↦ B ( u , x )) . Aquí, M ^∗∗ denota el doble dual de M .

Véase también

• Mapa bilineal
• Categoría:Mapas bilineales
• Espacio interior del producto
• Forma lineal
• Forma multilineal
• Espacio polar
• Forma cuadrática
• Forma sesquilineal
• Sistema de ecuaciones bilineales
• Tensor métrico

Citas

1. "Capítulo 3. Formas bilineales — Apuntes de clase para MA1212" (PDF) . 2021-01-16.
2. Jacobson 2009, pág. 346.
3. Zhelobenko 2006, pág. 11.
4. Grove 1997.
5. Adkins y Weintraub 1992, pág. 359.
6. Harvey 1990, pág. 22.
7. Harvey 1990, pág. 23.
8. Bourbaki 1970, pág. 233.

Referencias

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Álgebra: un enfoque a través de la teoría de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl  0768.00003
• Bourbaki, N. (1970), Álgebra , Springer
• Cooperstein, Bruce (2010), "Cap. 8: Formas y mapas bilineales", Álgebra lineal avanzada , CRC Press , págs. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
• Grove, Larry C. (1997), Grupos y personajes , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
• Halmos, Paul R. (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Textos de pregrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl0288.15002 ​
• Harvey, F. Reese (1990), "Capítulo 2: Los ocho tipos de espacios de productos internos", Espinores y calibraciones , Academic Press , págs. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
• Popov, VL (1987), "Forma bilineal", en Hazewinkel, M. (ed.), Enciclopedia de matemáticas , vol. 1, Kluwer Academic Publishers , págs. 390–392. También: Forma bilineal , pág. 390, en Google Books
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. I (2.ª ed.), Courier Corporation, ISBN 978-0-486-47189-1
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl  0292.10016
• Porteous, Ian R. (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
• Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012), Álgebra lineal y geometría, Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Álgebra lineal , Dover, ISBN 0-486-63518-X
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principales estructuras y métodos de la teoría de la representación , Traducciones de monografías matemáticas, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3731-1

Enlaces externos

• "Forma bilineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Forma bilineal". PlanetMath .

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