Filtro Chebyshev

Tipo de filtro analógico o digital

Los filtros Chebyshev son filtros analógicos o digitales que tienen una caída más pronunciada que los filtros Butterworth y tienen ondulación de banda de paso (tipo I) o ondulación de banda de parada (tipo II). Los filtros Chebyshev tienen la propiedad de minimizar el error entre la característica idealizada y la real del filtro en el rango de frecuencia operativa del filtro, ^{[1] [2]} pero lo logran con ondulaciones en la banda de paso. Este tipo de filtro lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev porque sus características matemáticas se derivan de los polinomios de Chebyshev . Los filtros Chebyshev de tipo I suelen denominarse "filtros Chebyshev", mientras que los filtros de tipo II suelen denominarse "filtros Chebyshev inversos". ^[3] Debido a la ondulación de la banda de paso inherente a los filtros Chebyshev, para ciertas aplicaciones se prefieren filtros con una respuesta más suave en la banda de paso pero una respuesta más irregular en la banda de parada. ^[4]

Filtros Chebyshev tipo I (filtros Chebyshev)

La respuesta de frecuencia de un filtro de paso bajo Chebyshev tipo I de cuarto orden con ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Los filtros Chebyshev tipo I son los tipos más comunes de filtros Chebyshev. La respuesta de ganancia (o amplitud ) , en función de la frecuencia angular del filtro de paso bajo de orden ésimo, es igual al valor absoluto de la función de transferencia evaluada en : ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega }$

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega /\omega _{0})}}}}$

donde es el factor de ondulación, es la frecuencia de corte y es un polinomio de Chebyshev de orden ésimo. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n}$

La banda de paso exhibe un comportamiento equivalente a la ondulación, donde la ondulación está determinada por el factor de ondulación . En la banda de paso, el polinomio de Chebyshev alterna entre -1 y 1, por lo que la ganancia del filtro alterna entre máximos y mínimos en . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G=1}$ ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

Por tanto, el factor de ondulación ε está relacionado con la ondulación de la banda de paso δ en decibelios mediante:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.}$

En la frecuencia de corte, la ganancia vuelve a tener el valor pero continúa cayendo en la banda de parada a medida que aumenta la frecuencia. Este comportamiento se muestra en el diagrama de la derecha. La práctica común de definir la frecuencia de corte en −3  dB no suele aplicarse a los filtros Chebyshev; en cambio, el límite se toma como el punto en el que la ganancia cae al valor de la ondulación por última vez. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

La frecuencia de 3 dB está relacionada con : ${\displaystyle \omega _{H}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

El orden de un filtro Chebyshev es igual al número de componentes reactivos (por ejemplo, inductores ) necesarios para realizar el filtro utilizando electrónica analógica .

Se puede obtener una caída aún más pronunciada si se permite la ondulación en la banda de parada, permitiendo ceros en el eje - en el plano complejo. Si bien esto produce una supresión casi infinita en y cerca de estos ceros (limitada por el factor de calidad de los componentes, parásitos y factores relacionados), la supresión general en la banda de parada se reduce. El resultado se denomina filtro elíptico , también conocido como filtro de Cauer. ${\displaystyle \omega }$

Polos y ceros

Registro del valor absoluto de la ganancia de un filtro Chebyshev tipo I de octavo orden en un espacio de frecuencia complejo ( s  =  σ  +  jω ) con ε = 0,1 y . Los puntos blancos son polos y están dispuestos en una elipse con un semieje de 0,3836... en σ y 1,071... en ω. Los polos de la función de transferencia son aquellos polos en el semiplano izquierdo. El negro corresponde a una ganancia de 0,05 o menos, el blanco corresponde a una ganancia de 20 o más. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

Por simplicidad, se supone que la frecuencia de corte es igual a la unidad. Los polos de la función de ganancia del filtro de Chebyshev son los ceros del denominador de la función de ganancia. Usando la frecuencia compleja , estos ocurren cuando: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,}$

Definir y utilizar la definición trigonométrica de los polinomios de Chebyshev produce: ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,}$

Resolviendo para ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$

donde los múltiples valores de la función arcocoseno se hacen explícitos utilizando el índice entero . Los polos de la función de ganancia de Chebyshev son entonces: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).}$

Usando las propiedades de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, esto se puede escribir en forma explícitamente compleja:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

dónde  y ${\displaystyle m=1,2,...,n}$

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.}$

Esto puede verse como una ecuación paramétrica y demuestra que los polos se encuentran en una elipse en el espacio centrada en un semieje real de longitud y un semieje imaginario de longitud de ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ ${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).}$

La función de transferencia

La expresión anterior produce los polos de la ganancia . Por cada polo complejo hay otro que es el complejo conjugado, y por cada par de conjugados hay dos más que son los negativos del par. La función de transferencia debe ser estable, de modo que sus polos sean los de la ganancia que tienen partes reales negativas y, por tanto, se encuentran en el semiplano izquierdo del espacio de frecuencias complejo. La función de transferencia entonces viene dada por ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}}$

donde están sólo aquellos polos de la ganancia con signo negativo delante del término real, obtenidos de la ecuación anterior. ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$

El retraso del grupo

Ganancia y retardo de grupo de un filtro Chebyshev tipo I de quinto orden con ε = 0,5.

El retardo de grupo se define como la derivada de la fase con respecto a la frecuencia angular:

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

La ganancia y el retardo de grupo para un filtro Chebyshev tipo I de quinto orden con ε = 0,5 se representan en el gráfico de la izquierda. Su banda de parada no tiene ondulaciones. Pero las ondulaciones del retardo de grupo en su banda de paso indican que diferentes componentes de frecuencia tienen un retardo diferente, lo que junto con las ondulaciones de ganancia en su banda de paso resulta en una distorsión de la forma de onda.

Incluso modificaciones de pedidos

Incluso los filtros Chebyshev de orden implementados con elementos pasivos, típicamente inductores, capacitores y líneas de transmisión, con terminaciones de igual valor en cada lado, no pueden implementarse con la función de transferencia Chebyshev tradicional sin el uso de bobinas acopladas, lo que puede no ser deseable o factible. particularmente en las frecuencias más altas. Esto se debe a la incapacidad física para acomodar los ceros de reflexión de Chebyshev de orden par que resultan en una matriz de dispersión con valores S12 que exceden el valor S12 en . Si no es factible diseñar el filtro con una de las terminaciones aumentada o disminuida para acomodar la banda de paso S12, entonces la función de transferencia de Chebyshev debe modificarse para mover la reflexión de orden par más baja a cero mientras se mantiene la respuesta de ondulación equivalente. de la banda de paso. ^[5] ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$

La modificación necesaria implica mapear cada polo de la función de transferencia de Chebyshev de una manera que mapee la reflexión de frecuencia más baja de cero a cero y los polos restantes según sea necesario para mantener la banda de paso de equi-rizado. El cero de reflexión de frecuencia más baja se puede encontrar en los nodos de Chebyshev . La función completa de mapeo de polos de Chebyshev se muestra a continuación. ^[5] ${\displaystyle cos{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}$

${\displaystyle P'=\left[{\sqrt {\left({\frac {P^{2}+cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}{1-{cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}}}\right)}}\right]_{\text{Left Half Plane }}}$

Dónde:

n es el orden del filtro (debe ser par)

P es un polo de función de transferencia tradicional de Chebyshev

P' es el polo mapeado para la función de transferencia de orden par modificada.

"Medio plano izquierdo" indica que se utiliza la raíz cuadrada que contiene un valor real negativo.

Cuando se completa, se crea una función de transferencia de ondulación equivalente de reemplazo con valores de matriz de dispersión de reflexión cero para S12 de uno y S11 de cero cuando se implementa con redes pasivas igualmente terminadas. La siguiente ilustración muestra un filtro Chebyshev de octavo orden modificado para admitir redes pasivas de orden par igualmente terminadas al reubicar el cero de reflexión de frecuencia más baja de una frecuencia finita a 0 mientras se mantiene una respuesta de frecuencia de banda de paso de ondulación equivalente.

Incluso ordene la ilustración de Chebyshev modificada

Las fórmulas de valor del elemento LC en la topología de Cauer no son aplicables a la función de transferencia de Chebyshev modificada en orden par y no se pueden utilizar. Por lo tanto, es necesario calcular los valores LC a partir de fracciones continuas tradicionales de la función de impedancia, que pueden derivarse del coeficiente de reflexión , que a su vez puede derivarse de la función de transferencia.

Pedido mínimo

Para diseñar un filtro Chebyshev utilizando el número mínimo requerido de elementos, el orden mínimo del filtro Chebyshev se puede calcular de la siguiente manera. ^[6] Las ecuaciones tienen en cuenta únicamente los filtros Chebyshev de paso bajo estándar. Incluso las modificaciones de orden y los ceros de transmisión de banda de parada finita introducirán errores que las ecuaciones no tienen en cuenta.

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

dónde:

${\displaystyle \omega _{p}}$y son la frecuencia de ondulación de la banda de paso y la atenuación máxima de ondulación en dB ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$y son la frecuencia de la banda de parada y la atenuación a esa frecuencia en dB ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$es el número mínimo de polos, el orden del filtro.

ceil [] es una función de redondeo al siguiente entero.

Configuración de la atenuación de corte

La atenuación de corte de la banda de paso para los filtros Chebyshev suele ser la misma que la atenuación de ondulación de la banda de paso, establecida mediante el cálculo anterior. Sin embargo, muchas aplicaciones, como diplexores y triplexores, ^[5] requieren una atenuación de corte de -3,0103 dB para obtener las reflexiones necesarias. Otras aplicaciones especializadas pueden requerir otros valores específicos para la atenuación de corte por diversos motivos. Por lo tanto, es útil tener un medio disponible para configurar la atenuación de corte de la banda de paso de Chebyshev independientemente de la atenuación de ondulación de la banda de paso, tal como -1 dB, -10 dB, etc. La atenuación de corte se puede configurar escalando la frecuencia de los polos de la función de transferencia.

El factor de escala se puede determinar mediante manipulación algebraica directa de la función de filtro de Chebyshev definitoria, incluyendo y . Se requiere la definición general de la función de Chebyshev , que puede derivarse de las ecuaciones de los polinomios de Chebyshev y de la función de Chebyshev inversa . Para mantener los números reales para los valores de , se pueden usar identidades hiperbólicas complejas para reescribir las ecuaciones como, y . ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})}$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cos(n\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$ ${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cos(\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{0}\geq 1}$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cosh(n\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$ ${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cosh(\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$

Usando álgebra simple sobre las ecuaciones y referencias anteriores, la expresión para escalar cada polo de Chebyshev es:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}/T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\alpha }/10}-1}{10^{\delta /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*sech{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Dónde:

${\displaystyle p_{A}}$¿Está el polo reubicado posicionado para establecer la atenuación de corte deseada?

${\displaystyle p_{1}}$es un poste de corte ondulado que se encuentra en el óvalo.

${\displaystyle \delta }$es la ondulación de atenuación de la banda de paso en dB (0,05 dB, 1 dB, etc.)).

${\displaystyle \alpha }$es la atenuación de banda de paso deseada en la frecuencia de corte en dB (1 dB, 3 dB, 10 dB, etc.)

${\displaystyle n}$es el número de polos (el orden del filtro).

Una rápida comprobación de la cordura de la ecuación anterior utilizando la atenuación de ondulación de la banda de paso para la atenuación de corte de la banda de paso revela que el ajuste del polo será 1,0 para este caso, que es lo que se espera. ${\displaystyle (\alpha =\delta )}$

Ajuste de atenuación de corte modificado de orden uniforme

Para los filtros Chebyshev que se diseñan con ondulación de banda de paso de orden par modificado para filtros pasivos con terminaciones iguales, el cálculo de la frecuencia de atenuación debe incluir el ajuste de orden par realizando la operación de ajuste de orden par en la frecuencia de atenuación calculada. Esto hace que la aritmética de ajuste de orden par sea un poco más simple, ya que la frecuencia puede tratarse como una variable real, en este caso . ${\displaystyle ((J\omega )^{2}{\text{ becomes }}-\omega ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}{cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Dónde:

${\displaystyle p_{A}}$¿Está el polo reubicado posicionado para establecer la atenuación de corte deseada?

${\displaystyle p_{1}}$es un poste de corte ondulado que ha sido modificado para bandas de paso de orden uniforme.

${\displaystyle \delta }$es la ondulación de atenuación de la banda de paso en dB (0,05 dB, 1 dB, etc.)).

${\displaystyle \alpha }$es la atenuación de banda de paso deseada en la frecuencia de corte en dB (1 dB, 3 dB, 10 dB, etc.)

${\displaystyle n}$es el número de polos (el orden del filtro).

${\displaystyle cos({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}$es el nodo de Chebyshev de orden par más pequeño

Filtros Chebyshev tipo II (filtros Chebyshev inversos)

La respuesta de frecuencia de un filtro de paso bajo Chebyshev tipo II de quinto orden con ${\displaystyle \varepsilon =0.01}$

También conocido como filtro Chebyshev inverso, el tipo de filtro Chebyshev Tipo II es menos común porque no se desliza tan rápido como el Tipo I y requiere más componentes. No tiene ondulación en la banda de paso, pero sí tiene ondulación en la banda de parada. La ganancia es:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}.}$

En la banda de parada, el polinomio de Chebyshev oscila entre -1 y 1 por lo que la ganancia oscilará entre cero y

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

y la frecuencia más pequeña a la que se alcanza este máximo es la frecuencia de corte . Por tanto, el parámetro ε está relacionado con la atenuación de la banda de parada γ en decibelios mediante: ${\displaystyle \omega _{o}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.}$

Para una atenuación de banda suprimida de 5 dB, ε = 0,6801; para una atenuación de 10 dB, ε = 0,3333. La frecuencia f ₀ = ω ₀ /2 π es la frecuencia de corte. La frecuencia de 3 dB f _H está relacionada con f ₀ por:

${\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.}$

Polos y ceros

Registro del valor absoluto de la ganancia de un filtro Chebyshev tipo II de octavo orden en un espacio de frecuencia complejo (s=σ+jω) con ε = 0,1 y . Los puntos blancos son polos y los puntos negros son ceros. Se muestran los 16 polos. Cada cero tiene multiplicidad de dos, y se muestran 12 ceros y cuatro están ubicados fuera de la imagen, dos en el eje ω positivo y dos en el negativo. Los polos de la función de transferencia son polos en el semiplano izquierdo y los ceros de la función de transferencia son los ceros, pero con multiplicidad 1. El negro corresponde a una ganancia de 0,05 o menos, el blanco corresponde a una ganancia de 20 o más. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

Suponiendo que la frecuencia de corte es igual a la unidad, los polos de la ganancia del filtro Chebyshev son los ceros del denominador de la ganancia: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

Los polos de ganancia del filtro Chebyshev tipo II son inversos a los polos del filtro tipo I:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

dónde . Los ceros del filtro Chebyshev tipo II son los ceros del numerador de la ganancia: ${\displaystyle m=1,2,...n}$ ${\displaystyle (\omega _{zm})}$

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,}$

Los ceros del filtro de Chebyshev tipo II son, por tanto, la inversa de los ceros del polinomio de Chebyshev.

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$

para . ${\displaystyle m=1,2,...n}$

La función de transferencia

La función de transferencia está dada por los polos en el semiplano izquierdo de la función de ganancia y tiene los mismos ceros, pero estos ceros son ceros simples en lugar de dobles.

El retraso del grupo

Ganancia y retardo de grupo de un filtro Chebyshev tipo II de quinto orden con ε = 0,1.

La ganancia y el retardo de grupo para un filtro Chebyshev tipo II de quinto orden con ε = 0,1 se representan en el gráfico de la izquierda. Se puede observar que hay ondulaciones en la ganancia en la banda de parada pero no en la banda de paso.

Incluso modificaciones de pedidos

Al igual que los filtros de orden par Chebyshev, el filtro de orden par Chebyshev II estándar no se puede implementar con elementos pasivos igualmente terminados sin el uso de bobinas acopladas, lo que puede no ser deseable o factible. En el caso de Chebyshev Ii, esto se debe a la atenuación finita de S12 en la banda de parada. ^[5] Sin embargo, incluso los filtros de orden Chebyshev II pueden modificarse traduciendo la transmisión finita de frecuencia más alta de cero a infinito, manteniendo al mismo tiempo las funciones de ondulación equivalente de la banda de parada de Chebyshev II. Para realizar esta traducción, se utiliza una función de Chebyshev modificada de orden par en lugar de la función de Chebyshev estándar para definir los polos de Chebyshev II necesarios para crear la función de transferencia de Chebyshev II modificada de orden par. Los ceros se crean utilizando las raíces del polinomio de Chebyshev modificado de orden par , que son los nodos de Chebyshev modificados de orden par .

La siguiente ilustración muestra un filtro Chebyshev inverso de octavo orden modificado para admitir redes pasivas de orden par igualmente terminadas al reubicar el cero de transmisión de frecuencia más alta desde una frecuencia finita mientras se mantiene una respuesta de frecuencia de banda de parada de ondulación equivalente. ${\displaystyle \infty }$

Ilustración de Chebyshev inversa modificada en orden uniforme

Pedido mínimo

Para diseñar un filtro de Chebyshev inverso utilizando el número mínimo requerido de elementos, el orden mínimo del filtro de Chebyshev inverso se puede calcular de la siguiente manera. ^[7] Las ecuaciones tienen en cuenta únicamente los filtros Chebyshev inversos de paso bajo estándar. Incluso las modificaciones de orden introducirán errores que las ecuaciones no tienen en cuenta. Las ecuaciones son idénticas a las utilizadas para el orden mínimo del filtro de Chebyshev, con definiciones de variables ligeramente diferentes.

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

dónde:

${\displaystyle \omega _{p}}$y son la frecuencia de la banda de paso y la atenuación a esa frecuencia en dB ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$y son la frecuencia de la banda suprimida y la atenuación mínima de la banda suprimida en dB ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$es el número mínimo de polos, el orden del filtro.

ceil [] es una función de redondeo al siguiente entero.

Configuración de la atenuación de corte

La atenuación de corte estándar descrita es la misma que la atenuación de ondulación de la banda de paso. Sin embargo, al igual que en los filtros de Chebyshev, resulta útil establecer la atenuación de corte en un valor deseado, y por las mismas razones. La configuración de la atenuación de corte de Chebyshev II es la misma que para la atenuación de corte de Chebyshev, excepto que la atenuación aritmética y las entradas de ondulación se invierten en la ecuación y los polos y ceros se multiplican por el resultado, en lugar de dividirse por en el caso de Chebyshev.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}*T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\delta }/10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}0\leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*cosh{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Ajuste de atenuación de corte modificado de orden uniforme

El mismo ajuste de orden par de polos y ceros que se utilizó para la atenuación de corte modificada de orden par de Chebyshev también se puede utilizar para el caso de Chebyshev II, excepto que los polos se multiplican por el resultado.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}{1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Implementación

topología de cauer

Se puede realizar un filtro de paso bajo LC Chebyshev pasivo utilizando una topología de Cauer . Los valores del inductor o condensador de un filtro prototipo Chebyshev de orden th se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones: ^[8] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}}{\gamma }}}$

${\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}}},\qquad k=2,3,4,\dots ,n}$

${\displaystyle G_{n+1}={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ odd}}\\\coth ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even}}\end{cases}}}$

G ₁ , G _k son los valores del elemento condensador o inductor. f _H , la frecuencia de 3 dB se calcula con: ${\displaystyle f_{H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$

Los coeficientes A , γ , β , A _k y B _k se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \gamma =\sinh \left({\frac {\beta }{2n}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]}$

${\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}},\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

¿Dónde está la ondulación de la banda de paso en decibelios? El número se redondea desde el valor exacto . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 17.37}$ ${\displaystyle 40/\ln(10)}$

Filtro de paso bajo usando topología Cauer

_{Los valores de} Gk calculados pueden luego convertirse en capacitores en derivación e inductores en serie como se muestra a la derecha, o pueden convertirse en capacitores en serie e inductores en derivación. Por ejemplo,

• _Derivación C 1 = G ₁ , _serie L 2 = G ₂ , ...

o

• L _{1 derivación} = G ₁ , C _{1 serie} = G ₂ , ...

Tenga en cuenta que cuando G ₁ es un condensador en derivación o un inductor en serie, G ₀ corresponde a la resistencia o conductancia de entrada, respectivamente. La misma relación se cumple para G _n+1 y G _n . El circuito resultante es un filtro de paso bajo normalizado. Utilizando transformaciones de frecuencia y escalado de impedancia , el filtro de paso bajo normalizado se puede transformar en filtros de paso alto , paso de banda y supresión de banda de cualquier frecuencia de corte o ancho de banda deseado .

Digital

Como ocurre con la mayoría de los filtros analógicos, el Chebyshev se puede convertir a una forma recursiva digital (en tiempo discreto) mediante la transformada bilineal . Sin embargo, como los filtros digitales tienen un ancho de banda finito, la forma de respuesta del Chebyshev transformado está deformada . Alternativamente, se puede utilizar el método de transformación Z coincidente , que no deforma la respuesta.

Comparación con otros filtros lineales

La siguiente ilustración muestra los filtros de Chebyshev junto a otros tipos de filtros comunes obtenidos con el mismo número de coeficientes (quinto orden):

Los filtros Chebyshev son más nítidos que el filtro Butterworth ; No son tan nítidos como el elíptico , pero muestran menos ondulaciones en el ancho de banda.

Temas avanzados en filtros Chebyshev

La flexibilidad del diseño del filtro Chebyshev puede aumentarse mediante métodos de diseño más avanzados documentados en esta sección. Se pueden insertar ceros de transmisión en la banda de parada para neutralizar frecuencias específicas no deseadas o aumentar la atenuación de corte, o se pueden insertar fuera del eje para obtener un retardo de grupo más deseable . Se pueden crear filtros de paso de banda Chebyshev asimétricos que contengan diferentes números de polos en cada lado de la banda de paso para cumplir con los requisitos de diseño asimétrico de frecuencia de manera más eficiente. Las bandas de paso de ondulación equivalente y por las que son conocidos los filtros Chebyshev pueden restringirse a un porcentaje de la banda de paso para cumplir con los requisitos de diseño de manera más eficiente que solo requieren que una parte de la banda de paso sea de ondulación equivalente ^[9] .

Ceros de transmisión de Chebyshev

Los filtros Chebyshev pueden diseñarse con ceros de transmisión finitos colocados arbitrariamente en la banda de parada, conservando al mismo tiempo una banda de paso de ondulación equivalente. Los ceros de banda de parada a lo largo del eje se utilizan generalmente para eliminar frecuencias no deseadas. Se pueden utilizar ceros de banda de parada a lo largo del eje real o ceros de banda de parada cuádruple en el plano complejo para modificar el retardo de grupo a una forma más deseable. El diseño de ceros de transmisión utiliza polinomios característicos, K (S), para colocar los ceros de transmisión y reflexión, que a su vez se utilizan para crear la función de transferencia, [ ^10] ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle G(s)={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{left half plane (LHP) poles}}}$

El cálculo de K(S) se basa en la siguiente igualdad observada. ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{lcr}&{\bigg |}\prod _{i=1}^{N}{\frac {j\omega {\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}+{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}{(1-j\omega /z_{i})}}{\bigg |}=1.&&{\text{ for }}0\leq \omega \leq 1\end{array}}\\\end{aligned}}}$

para todos , pares conjugados imaginarios , pares conjugados cuádruples o pares reales opuestos con signo. ${\displaystyle z_{i}=\infty }$

Dado que la magnitud es siempre uno en la banda de pase ( ), los términos racionales e irracionales deben variar entre 0 y 1. Por lo tanto, si solo se usa el término racional para crear la función característica, se espera una respuesta equivalente en la banda de pase. , y se esperan polos característicos (ceros de transmisión) . ${\displaystyle 0\leq \omega \leq 1}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle s=z_{i}}$

El proceso de diseño para K (S) usando la expresión anterior se muestra a continuación.

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{\prod _{i=1}^{N}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}>1\\&={\frac {\sqrt {\omega _{i}^{2}-1}}{\omega _{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{i}>1\\&=1{\text{ for }}\omega _{i}=\infty \\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\end{aligned}}}$

Utilice la solución positiva para pares reales e imaginarios . Utilice la solución real positiva y la imaginaria conjugada para pares complejos cuádruples. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle K(s)}$debe normalizarse de modo que , si es necesario. ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

El "sólo términos racionales" indica mantener la parte racional del producto y descartar la parte irracional. El término racional se puede obtener realizando manualmente la aritmética polinómica, o con el atajo que se muestra a continuación, que es una solución derivada de la aritmética polinómica y utiliza coeficientes binomiales . El algoritmo es extremadamente eficiente si los coeficientes binomiales se implementan a partir de una tabla de consulta de valores precalculados.

${\displaystyle {\begin{aligned}&B=\prod _{i=1}^{N}(M_{i}s+1)\\&K(s)_{num}=\sum _{i=N}^{i\geq 0{\text{, step }}=-2}{\bigg [}\sum _{j=i}^{j\geq 0{\text{, step }}=-2}B_{j}{\binom {(N-j)/2}{(N-i)/2}}{\bigg ]}s^{i}\\&N={\text{ order of the Chebyshev filter}}\\&B={\text{a polynomial created by the product of the specified factors}}\\&B_{j}={\text{ the }}j_{th}{\text{ order coefficent of polynomial }}B\\&{\binom {n}{k}}{\text{ is the binomial coefficient function}}\\\end{aligned}}}$

Cuando todos los valores de M se establecen en uno, entonces será la ecuación estándar de Chebyshev, que se espera ya que todos los ceros de transmisión lo son . Incluso los filtros Chebyshev de orden finito de transmisión cero tienen la misma limitación que el caso de todos los polos en el sentido de que no pueden construirse utilizando redes pasivas igualmente terminadas. Se puede realizar la misma modificación de orden par a los polinomios característicos de orden par, para hacer posibles implementaciones de redes pasivas igualmente terminadas. Sin embargo, la modificación del orden par también moverá ligeramente los ceros finitos de la transmisión. Este movimiento puede mitigarse significativamente proponiendo los ceros de transmisión con la inversa de la modificación de orden par utilizando el nodo de Chebyshev más bajo . ${\displaystyle K(s)_{num}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle cos(\pi (N-1)/(2N))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{i}'={\sqrt {z_{i}^{2}(1.-C_{0}^{2})-C_{0}^{2}}}\\&C_{0}^{2}=cos^{2}({\frac {\pi (N-1)}{2N}})\\&z_{i}={\text{desired finite transmission zero}}\\&z_{i}'={\text{prepositioned finite transmission zero}}\\\end{aligned}}}$

Ejemplo de ceros de transmisión simple

Diseñe un filtro Chebyshev de 3 polos con una banda de paso de 1 dB, una transmisión cero a 2 rad/seg y una transmisión cero a : ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{1}=M_{2}={\sqrt {(j2)^{2}+1}}/j2={\sqrt {1-4}}/j2={\sqrt {3}}/2=0.866025{\text{, }}M_{3}={\sqrt {\infty ^{2}+1}}/\infty =1\\&\\&{\text{Full polynomial derivation:}}\\&K(s)_{num}={\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s+{\sqrt {\dots }}\\&{\text{discarding the irrational }}{\sqrt {\dots }}{\text{ and keeping only the rational part:}}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&K(s)_{num}{\text{ shortcut derivation:}}\\&B=(0.86602540s+1)(0.86602540s+1)(s+1)=.75s^{3}+2.4820508s^{2}+2.7320508s+1\\&K(s)_{num}={\bigg (}0.75{\binom {0}{0}}+2.4820508{\binom {1}{0}}{\bigg )}s^{3}+{\bigg (}2.7320508{\binom {1}{1}}{\bigg )}s\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&k(s)_{den}=({\frac {s}{j2}}+1)({\frac {s}{-j2}}+1)=0.25s^{2}+1\\&{\text{Check }}|K(s)|{\text{ at }}s=j{\text{ to insure it is unity, and adjust with a constant, if necessary:}}\\&{\bigg |}{\frac {K(s)_{num}(s=j)}{K(s)_{den}(s=j)}}{\bigg |}=1{\text{ Check!}}\\&K(s)={\frac {3.4820508s^{3}+2.7320508s}{0.25s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Para encontrar la función de transferencia, haga lo siguiente. ^{[10] [11]} ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon ^{2}=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\&G(s)={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\sqrt {\frac {\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}}{\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}+.25892541\{3.4820508(s)^{3}+2.7320508(s)\}\{3.4820508(-s)^{3}+2.7320508(-s)\}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.25(s)^{2}+1}{{\sqrt {-3.1393872s^{6}-4.8638872s^{4}-1.4326456s^{2}+1}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Para obtener desde el semiplano izquierdo, factoriza el numerador y el denominador para obtener las raíces. Descarta todas las raíces del semiplano derecho del denominador, la mitad de las raíces repetidas en el numerador y reconstruye con las raíces restantes. Generalmente, normalice a 1 en . ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.25s^{2}+1}{1.7718316s^{3}+1.7200107s^{2}+2.2074118s+1}}\\\end{aligned}}}$

Para confirmar que el ejemplo es correcto, a continuación se muestra el gráfico de longitud con una ondulación de la banda de paso de 1 dB, una frecuencia de corte de 1 rad/s y una banda de parada cero de 2 rad/s. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$

Transmisión de Chebyshev cero a 2 rad/seg.

Filtro de paso de banda asimétrico

Los filtros de paso de banda de Chebyshev se pueden diseñar con una respuesta de frecuencia geométricamente asimétrica colocando el número deseado de ceros de transmisión en cero e infinito con el uso de la forma más generalizada de la ecuación de ceros de transmisión de Chebyshev anterior, ^[10] y que se muestra a continuación. Las ecuaciones siguientes consideran una banda de paso normalizada en frecuencia de 1 a . Si el número de ceros de transmisión en 0 no es el mismo que el número de ceros de transmisión en , el filtro será geométricamente asimétrico. El filtro también será asimétrico si los ceros de transmisión finitos no se colocan simétricamente con respecto a la frecuencia central geométrica, que en este caso es . Existe una restricción en el sentido de que el filtro debe ser de orden neto par, es decir, la suma de todos los polos debe ser par, para que la ecuación asimétrica produzca resultados utilizables. También se pueden crear ceros de transmisión cuádruple reales y complejos usando esta técnica y son útiles para modificar la respuesta de retardo de grupo , al igual que en el caso de paso bajo. A continuación se muestra la derivación de la ecuación característica, para crear un filtro de paso de banda de Chebyshev asimétrico. ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{2}}}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}{\sqrt {s^{2}+\omega _{2}^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{N_{z}}\prod _{i=1}^{N_{f}}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\sqrt {\frac {z_{i}^{2}+1}{z_{i}^{2}+\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}<1{\text{ or }}\omega _{i}>\omega _{2}\\&={\sqrt {\frac {1-\omega _{i}^{2}}{\omega _{2}^{2}-\omega _{i}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}0<\omega _{i}<1\\&={\sqrt {\frac {\omega _{i}^{2}-1}{\omega _{i}^{2}-\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{2}<\omega _{i}<\infty \\&={\frac {1}{\omega _{2}}}{\text{ for }}z_{i}=0\\&=1{\text{ for }}z_{i}=\infty \\N_{z}&={\text{ number of transmission zeros at zero}}\\N_{f}&={\text{ number of finite transmission zeros (imaginary, real, and complex)}}\\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\omega _{2}&={\text{ upper passband corner frequency (lower corner is normalized to 1)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K(s)}$debe normalizarse de modo que , si es necesario. ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

Ejemplo asimétrico simple

Diseñe un filtro Chebyshev asimétrico con ondulación de banda de paso de 1 dB de 1 a 2 rad/seg, un cero de transmisión en y tres ceros de transmisión en 0. Al aplicar los valores numéricos a las ecuaciones anteriores, los polinomios característicos, se pueden calcular de la siguiente manera . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=2\\M_{1}&=M_{2}=M_{3}=.5\\M_{4}&=1\\K(s)&={\frac {{\bigg \{}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{3}}}\\K(s)&=C{\frac {3.375s^{4}+14.25s^{2}+12+{\sqrt {\dots }}}{s^{3}}}{\text{ where C is a constant used to normalize the magnitude to 1 at }}s=j\\\end{aligned}}}$

Descartando la parte irracional y normalizando a 1 en s=j: ${\displaystyle |K(s)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {3s^{4}+12.666667s^{2}+10.666667}{s^{3}}}\\\end{aligned}}}$

Utilice el mismo proceso que en el caso de paso bajo para encontrar desde , utilizando una constante para escalar la magnitud. ^{[10] [11]} ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&=C{\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {(s)^{3}(-s)^{3}+.25892541\{3(s)^{4}+12.666667(s)^{2}+10.666667\}\{3(-s)^{4}+12.666667(-s)^{2}+10.666667\}}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {2.3303287s^{8}+18.678331s^{6}+58.11437s^{4}+69.9674s^{2}+29.459958}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Al reconstruir el denominador a partir de los polos del semiplano izquierdo, será necesario establecer la magnitud de manera que los ceros de reflexión se produzcan en 0 dB. Para hacer esto, se debe escalar de modo que = -1 dB en las frecuencias de esquina de la banda de paso, y . Una vez realizada, la función de transferencia final para el filtro Chebyshev asimétrico diseñado se muestra a continuación. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=j}$ ${\displaystyle s=j2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {0.18424001s^{3}}{0.28125000s^{4}+0.34089984s^{3}+1.3337548s^{2}+0.54084155s+1}}\\\end{aligned}}}$

La evaluación en s=j y en s=2j produce un valor de -1dB en ambos casos, lo que garantiza que el ejemplo se ha sintetizado correctamente. La respuesta de frecuencia se muestra a continuación, mostrando una respuesta de banda de paso de ondulación equivalente de 1 dB de Chebyshev para , atenuación de corte de -1 dB en los bordes de la banda de paso, atenuación de -60 dB/década hacia , atenuación de -20 dB/década hacia , y pendientes pronunciadas estilo Chebyshev cerca del pasar los bordes de la banda. ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle 1<\omega <2}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

Simulación que muestra a Chebyshev asimétrico.

Restringir la ondulación de la banda de paso

El diseño del filtro Chebyshev de paso bajo estándar crea una banda de paso de ondulación equivalente que comienza desde 0 rad/seg hasta un valor de frecuencia normalizada de 1 rad/seg. Sin embargo, algunos requisitos de diseño no necesitan una banda de paso con ondulación equivalente en las frecuencias bajas. Un filtro Chebyshev estándar de ondulación equivalente completa para esta aplicación daría como resultado un filtro sobrediseñado. Restringir la equi-ondulación a un porcentaje definido de la banda de paso crea un diseño más eficiente, reduciendo el tamaño del filtro y eliminando potencialmente uno o dos componentes, lo cual es útil para maximizar la eficiencia del espacio de la placa y minimizar los costos de producción para artículos producidos en masa. ^[9]

Se puede lograr una ondulación de banda de paso restringida diseñando un filtro de paso de banda Chebyshev asimétrico usando las técnicas descritas anteriormente en este artículo con un lado de paso alto asimétrico de orden 0 (sin ceros de transmisión en 0) y un ajuste a la frecuencia de ondulación restringida. El orden del lado de paso bajo es N-1 para filtros de orden impar, N-2 para filtros modificados de orden par y N para filtros de orden par estándar. Esto da como resultado un S12 inferior a la unidad en , que es típico del diseño Chebyshev estándar de orden par, por lo que para diseños Chebyshev de orden par estándar, el proceso se completa en este paso. Será necesario insertar un único cero de reflexión en para diseños de orden impar y dos ceros de reflexión en para diseños modificados de orden par. La adición de ceros de reflexión introduce un error notable en la banda de paso que probablemente sea objetable. Este error se puede eliminar de forma rápida y precisa reposicionando los ceros de reflexión finitos con el uso del método de Newton para sistemas de ecuaciones . ${\displaystyle \omega 2}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Aplicación del método de Newton

Posicionar los ceros de reflexión con el método de Newton requiere tres datos:

1. La ubicación de cada mínimo de ondulación de la banda de paso que existe en frecuencias superiores a la frecuencia de ondulación restringida.
2. El valor de la magnitud normalizada , es decir , a la frecuencia de constricción y en cada mínimo por encima de la frecuencia de constricción. Las referencias futuras a esta función se anotarán como o ${\displaystyle |K(j\omega )|}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$
3. La matriz jacobiana de la derivada parcial de para la frecuencia de constricción y en cada mínimo por encima de la frecuencia de constricción. con respecto a cada reflexión cero. ${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$

Dado que las ecuaciones características de Chebyshev, tienen todos los ceros de reflexión ubicados en el eje, y todos los ceros de transmisión ya sea en el eje o simétricos con respecto al eje (requeridos para la implementación del elemento pasivo), las ubicaciones de los mínimos de ondulación de la banda de paso se pueden obtener mediante factorizar el numerador de la derivada de , , con el uso de un algoritmo de búsqueda de raíces . Las raíces de este polinomio serán las frecuencias mínimas de la banda de paso. se puede obtener a partir de definiciones estándar de derivadas polinómicas , y es . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)num=K(s)_{den}(d(K(s)_{num})/ds)-K(s)_{num}(d(K(s)_{den})/ds)}$

Las derivadas parciales se pueden calcular digitalmente con , sin embargo, la derivada parcial continua generalmente proporciona mayor precisión y menos tiempo de convergencia, y se recomienda. Para obtener las derivadas parciales continuas de respecto a los ceros de reflexiones es necesario obtener una expresión continua de que fuerce en todo momento. Esto se puede lograr expresando en función de sus pares de raíces conjugadas, como se muestra a continuación. ${\displaystyle \partial |K(R_{k},j\omega )_{K(j)=1}|/\partial R_{k}=|K(R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|-|K(R_{k}+\vartriangle R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|)/\vartriangle R_{k}}$ ${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|K(s)_{|K(j)|=1}|&={\begin{cases}K_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\sK_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\\end{cases}}\\&\\K{finite}(s)&={\frac {\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}+s^{2})}{\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}+s^{2})}}{\frac {\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}-1)}{\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}-1)}}\\\end{aligned}}}$

Donde incluye ceros finitos de reflexión y transmisión, únicamente, y se refiere al número de pares conjugados de ceros de reflexión y transmisión, y y son los pares conjugados de ceros de reflexión y transmisión. El término impar representa la reflexión única cero en 0 que ocurre en los filtros de Chebyshev de orden impar. Tenga en cuenta que si se emplean ceros de transmisión cuatrillizos, la expresión debe modificarse para dar cabida a los términos cuatrillizos. Se ve por inspección que siempre en la expresión anterior. ${\displaystyle K{finite}(s)}$ ${\displaystyle N_{Rz}}$ ${\displaystyle N_{Tz}}$ ${\displaystyle Rz_{i}}$ ${\displaystyle Tz_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |K(s)|=1}$ ${\displaystyle s=j}$

Dado que sólo se necesita el movimiento de los ceros de reflexión para dar forma a la banda de paso de Chebyshev, la expresión de la derivada parcial sólo necesita hacerse en los términos, y los términos se tratan como una constante. Para ayudar en la determinación de la expresión de la derivada parcial para cada , la expresión anterior se puede reescribir, como se muestra a continuación. ${\displaystyle Rz_{i}}$ ${\displaystyle Tz_{i}}$ ${\displaystyle Rz_{i}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}_{{\text{less the }}Rz_{k}^{2}{\text{ terms}}}}$

Donde designa un par conjugado cero de reflexión específico. ${\displaystyle Rz_{k}^{2}}$

Esta derivada de esta expresión con respecto a se puede calcular fácilmente siguiendo reglas estándar de derivadas . La constante requiere la división de los términos para mantener la integridad de la función. La forma más sencilla de hacer esto es multiplicar por el inverso de los términos que se movieron al frente. La expresión diferenciable se puede reescribir de la siguiente manera. ${\displaystyle Rz_{k}}$ ${\displaystyle R_{k}^{2}}$ ${\displaystyle |K(j\omega )|}$ ${\displaystyle R_{k}^{2}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg \{}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}{\bigg |}{\frac {Rz_{k}^{2}-1}{Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}}{\bigg |}{\bigg \}}_{\text{constant}}}$

La derivada parcial puede entonces determinarse aplicando procedimientos de derivada estándar y luego simplificando. El resultado está a continuación. ${\displaystyle Rz_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega ^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega ^{2})}}|K(j\omega )|}$

Dado que las únicas frecuencias relevantes son las frecuencias en el punto de constricción y las raíces de , la matriz jacobiana puede construirse de la siguiente manera. ${\displaystyle i=2{\text{ to }}N_{Rz}}$ ${\displaystyle |(dK(s)/ds)_{num}|}$

${\displaystyle J(Rz_{k},\omega _{i})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|)}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\end{bmatrix}}}$

Donde es la frecuencia límite de constricción, y son la magnitud de las raíces de los mínimos de banda de paso restantes, y son los ceros de reflexión. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{(i>1)}}$ ${\displaystyle |dK(s)/ds)_{num}|}$ ${\displaystyle Rz_{k}}$

Suponiendo que la atenuación de corte del filtro es la misma que la magnitud de la ondulación, el valor de es 1 en absoluto , por lo que las entradas del vector de solución son todas 1 y las ecuaciones iterativas para resolver el método de Newton son ${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&[B_{k}]={\begin{bmatrix}|K(j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|-1\\|K(j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|-1\\\vdots \\|K(j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|-1\\\end{bmatrix}}\\&\\&[J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]\\&\\&[Rz_{k+1}]=[Rz_{k}]+[\Delta _{k}]\\\end{aligned}}}$

La convergencia se logra cuando la suma de todos y es suficientemente pequeña para la aplicación, típicamente entre 1.e-05 y 1.e-16. Para filtros más grandes, puede ser necesario restringir el tamaño de cada uno para evitar oscilaciones excesivas al principio de la convergencia, y restringir el tamaño de cada uno para mantener sus valores dentro del rango de ondulación restringido durante la convergencia. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle Rz_{k+1}}$

Ejemplo de banda de paso restringida

Diseñe un filtro Chebyshev de 7 polos con una banda de paso de ondulación equivalente de 1 dB restringida al 55% de la banda de paso.

Paso 1: Diseñe los polinomios característicos para una respuesta de frecuencia asimétrica de 0,45 a 1 con 6 polos de paso bajo en y 0 polos de paso alto utilizando el proceso de síntesis asimétrico anterior (use la frecuencia de esquina = 0,45). ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{6}+113.7979s^{4}+60.897476s^{2}+9.1891952}{1}}}$

Paso 2: Inserte un único cero de reflexión en el paso 1. (Se requerirían dos adiciones de cero de reflexión para filtros modificados en orden par) ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{7}+113.7979s^{5}+60.897476s^{3}+9.1891952s}{1}}}$

Paso 3: Determine a partir de la banda de paso frecuencias derivadas cero calculando los valores reales o imaginarios positivos de las raíces de y sustituya la raíz más baja por la frecuencia de constricción de 0,45 . ${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$ ${\displaystyle |(d{K(s)}/ds)_{num}|}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Paso 4 : Determine el valor de en cada punto cero restringido y derivado. ${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$

Paso 5 : cree el vector B para las ecuaciones lineales restando los valores objetivo en cada frecuencia, que en este caso son todos 1 debido a que la atenuación de corte es igual a la atenuación de ondulación de la banda de paso en este ejemplo específico. a la frecuencia de corte de . ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle j}$

Paso 6: Determine la matriz jacobiana de la derivada parcial de para cada uno con respecto a cada reflexión cero , ${\displaystyle |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$ ${\displaystyle Rz_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega _{i}^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega _{i}^{2})}}|K(j\omega _{i})_{K(j)=1}|}$

Paso 7 : Obtenga los movimientos de los ceros de reflexión resolviendo el conjunto lineal de ecuaciones utilizando el vector B del paso 5. ${\displaystyle [\Delta _{k}]}$ ${\displaystyle [J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]}$

Paso 8: Calcule nuevas ubicaciones de cero de reflexión restando lo calculado anteriormente de la iteración anterior de las posiciones de cero de reflexión. ${\displaystyle [\Delta ]}$

${\displaystyle [Rz_{k}]_{\text{next}}=[Rz_{k}]-[\Delta z_{k}]}$

Repita los pasos del 3 al 8 hasta que se cumpla el criterio de convergencia de la aplicación , que para este ejemplo se elige como 1.e-12. Cuando esté completo, el final se puede construir a partir de las posiciones de los ceros de reflexión final, +/-j0.5278143, +/-J0.80460874, +/-J0.97721056 y 0. Cuando la amplitud se normaliza de manera que , el resultado final se muestra a continuación. . ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta _{min}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {87.245248s^{7}+164.10165s^{5}+92.882626s^{3}+15.026225s}{1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541}$

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{44.394495s^{7}+30.711417s^{6}+94.125494s^{5}+46.949428s^{4}+58.490258s^{3}+17.844618S^{2}+9.7031614s+1}}}$

El proceso de síntesis se puede validar haciendo una verificación rápida de cada uno del paso 3 para asegurar una atenuación de 1 dB en esas frecuencias, y que la atenuación de corte también sea de 1 dB. El resumen del cálculo a continuación valida el proceso de síntesis del ejemplo. ${\displaystyle |G(j\omega _{k})|}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle \omega =1}$

La respuesta de frecuencia de magnitud final de la función de transferencia directa, se muestra a continuación. ${\displaystyle |G(jw)|}$

Chebyshev II detiene la constricción de la ondulación de la banda

El diseño del filtro Chebyshev inverso de paso bajo estándar crea una banda de parada de ondulación equivalente que comienza desde un valor normalizado de 1 rad/seg a . Sin embargo, algunos requisitos de diseño no necesitan una banda de paso con ondulación equivalente en las frecuencias altas. Un filtro Chebyshev inverso de ondulación equivalente completa estándar para esta aplicación daría como resultado un filtro sobrediseñado. Restringir la equi-ondulación a un porcentaje definido de la banda de tope crea un diseño más eficiente, reduciendo el tamaño del filtro y eliminando potencialmente uno o dos componentes, lo cual es útil para maximizar la eficiencia del espacio de la placa y minimizar los costos de producción para artículos producidos en masa. ^[9] ${\displaystyle \infty }$

Los filtros Chebyshev inversos con ondulación de banda de parada restringida se sintetizan exactamente en el mismo proceso que un Chebyshev inverso estándar. Un Chebyshev de ondulación restringida está diseñado con un filtro Chebyshev de ondulación restringida invertido , donde está la atenuación de la banda de parada en dB, los polos y ceros del filtro Chebyshev de ondulación restringida diseñado se invierten y se establece la atenuación de corte. Dado que las ecuaciones estándar de Chebyshev no funcionan con un diseño de ondulación restringida, la atenuación de corte debe establecerse mediante el proceso descrito en el diseño de reloj de arena elíptico . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1/(10^{(\gamma /10)}-1)}$ ${\displaystyle \gamma }$

A continuación se muestran los |S11| y |S12| Parámetros de dispersión para un filtro Chebyshev inverso de ondulación restringida de 7 polos con atenuación de corte de 3 dB.

Onda de banda de parada constreñida de Chebyshev inversa de 7 polos

Atenuación de corte no estándar y ceros de transmisión

El ejemplo de ondulación restringida anterior se mantiene intencionalmente simple al mantener la atenuación de corte igual a la atenuación de ondulación de la banda de paso, omitiendo ceros de transmisión opcionales y usando un orden impar que potencialmente no requiere una modificación del orden par. Sin embargo, las atenuaciones de corte no estándar se pueden acomodar calculando los valores objetivo en el paso 5 para compensarlos del 1 requerido que existe en la frecuencia de corte de , incluyendo un denominador como parte de la constante derivada que incluye ceros de transmisión, y insertando dos ceros de reflexión en lugar de uno en el original en el paso 2. ${\displaystyle \omega =j}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

Al incluir ceros de transmisión de banda de parada, es importante recordar que las raíces de incluirán máximos de banda de parada con . Estas raíces no deben incluirse en los mínimos de banda de paso utilizados en los cálculos. ${\displaystyle dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle \omega >1}$

Dado que se puede usar para establecer la atenuación de corte en , los valores objetivo del paso 5 se pueden hacer con respecto a 1. Los valores objetivo en el paso 5 se pueden calcular usando la expresión para que se puede obtener a partir de las ecuaciones anteriores. ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j\omega )|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|K(j\omega )|={\sqrt {\frac {10^{Aripple_{dB}/10}-1.}{10^{Acut_{dB}/10}-1.}}}=0.01010101...{\text{ at the pass band minima frequencies}}\\&|K(j\omega )|=1{\text{ at the pass band cut-off frequency}}\\&\varepsilon ^{2}=10^{(Acut_{dB}/10)}-1=99.0\\\end{aligned}}}$

Considere un diseño de filtro de % de constricción = 55, orden = 8, transmisión única cero en 1,1, atenuación de ondulación de banda de paso = 0,043648054 (equivalente a S12 = atenuación de 20 dB según la relación para redes sin pérdidas ^[12] ) y corte de banda de paso. atenuación apagada = 20 dB. ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$

El valor objetivo en el paso 5 es 0,01010101 y el valor a calcular es 99. Cuando esté completo, los polinomios característicos, y la función de transferencia directa, se encuentran a continuación. ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {2.3081085s^{8}+3.7315386s^{6}+1.8867298s^{4}+0.28974597s^{2}}{0.82644628s^{2}+1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(20_{dB}/10)}-1=99.0}$

${\displaystyle G(s)={\frac {0.82644628s^{2}+1}{22.96539s^{8}+39.774072s^{7}+71.570971s^{6}+73.962937s^{5}+65.358572s^{4}+40.848153s^{3}+19.393829S^{2}+6.0938301s+1}}}$

La validación consiste en calcular los parámetros de dispersión ( y respectivamente) para la frecuencia de constricción, la frecuencia de corte, las frecuencias mínimas restantes de la banda de paso intermedias y la frecuencia cero de transmisión, como se muestra a continuación. ${\displaystyle |S12|{\text{ and }}|S11|}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-|G(s)|^{2}}}}$

La respuesta de frecuencia de magnitud final se muestra a continuación. ${\displaystyle |S_{12}|{\text{ and }}|S_{11}|}$

Ver también

• filtro de bessel
• filtro de mantequilla
• Nodos de Chebyshev
• polinomio de Chebyshev
• Filtro de peine
• Filtro elíptico
• Diseño de filtro

Referencias

1. Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
2. Lutovac, Miroslav D.; Lutovac, D.; Tošić, Dejan V.; Evans, Brian Lawrence (2001). Diseño de filtros para procesamiento de señales utilizando MATLAB y Mathematica. Prentice Hall. ISBN 9780201361308.
3. Weinberg, Luis; Slepian, Paul (junio de 1960). "Resultados de Takahasi en Tchebycheff y Butterworth Ladder Networks". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . 7 (2): 88-101. doi :10.1109/TCT.1960.1086643.
4. Williams, Arthur B.; Taylors, Fred J. (1988). Manual de diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-070434-1.
5. Saal, Rudolf (enero de 1979). Manual de diseño de filtros (en inglés y alemán) (1ª ed.). Múnich, Alemania: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. págs.25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN 3-87087-070-2.
6. Paarmann, Larry D. (2001). Diseño y análisis de filtros analógicos, una perspectiva del procesamiento de señales. Norwell, Massachusetts, EE. UU.: Kluwer Academic Publishers. págs.137, 138. ISBN 0-7923-7373-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
7. Paarmann, Larry D. (2001). Diseño y análisis de filtros analógicos, una perspectiva del procesamiento de señales. Norwell, Massachusetts, EE. UU.: Kluwer Academic Publishers. págs.161, 162. ISBN 0-7923-7373-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
8. Matthaei, George L.; Joven, Leo; Jones, paramédico (1980). Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento . Norwood, MA: Casa Artech. ISBN 0-89-006099-1.
9. Pelz, Dieter (2005). "Filtros de paso bajo de microondas con una banda de paso de ondulación equivalente restringida" (PDF) . AMW . 13 (7): 28 a 34 – vía MICROONDAS APLICADAS E INALÁMBRICO.
10. Notas de la conferencia sobre diseño de filtros del Dr. Byron Bennett, 1985, Universidad Estatal de Montana, Departamento de EE, Bozeman , Montana, EE. UU.
11. Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Teoría y diseño de filtros: activos y pasivos. Beaverton, Oegon, EE. UU.: Matrix Publishers, Inc. págs. ISBN 978-0916460143.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
12. Matthaei, George L.; Joven, Leo; Jones, paramédico (1984). Filtros de microondas, redes de adaptación de impudencia y estructuras de acoplamiento. 610 Washington Street, Dedham, Massachusetts, EE. UU.: Artech House, Inc. (publicado en 1985). pag. 44.ISBN​ 0-89006-099-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link) CS1 maint: location (link)

enlaces externos

• Medios relacionados con los filtros de Chebyshev en Wikimedia Commons