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Reglas de diferenciación

Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .

Reglas elementales de diferenciación

A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas [1] [2] —incluido el caso de números complejos ( C ) . [3]

Regla del término constante

Para cualquier valor de , donde , si es la función constante dada por , entonces . [4]

Prueba

Sea y . Por la definición de la derivada,

Esto demuestra que la derivada de cualquier función constante es 0.

Explicación intuitiva (geométrica)

La derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. La pendiente de la función constante es cero, porque la recta tangente a la función constante es horizontal y su ángulo es cero.

En otras palabras, el valor de la función constante, y, no cambiará a medida que el valor de x aumente o disminuya.

En cada punto, la derivada es la pendiente de una línea que es tangente a la curva en ese punto. Nota: la derivada en el punto A es positiva donde el color es verde y tiene rayas y puntos, negativa donde el color es rojo y tiene rayas, y cero donde el color es negro y tiene trazos continuos.

La diferenciación es lineal

Para cualquier función y y cualquier número real y , la derivada de la función con respecto a es:

En la notación de Leibniz esto se escribe así:

Los casos especiales incluyen:

La regla del producto

Para las funciones y , la derivada de la función con respecto a es En la notación de Leibniz esto se escribe

La regla de la cadena

La derivada de la función es

En la notación de Leibniz, esto se escribe como: a menudo abreviado como

Centrándonos en la noción de mapas, y siendo el diferencial un mapa , esto se escribe de una manera más concisa como:

La regla de la función inversa

Si la función f tiene una función inversa g , es decir que y entonces

En notación de Leibniz, esto se escribe como

Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos

La regla de la potencia polinómica o elemental

Si , para cualquier número real entonces

Cuando esto se convierte en el caso especial de que si entonces

La combinación de la regla de potencia con las reglas de suma y múltiplo constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca

La derivada de para cualquier función f (no nula) es:

dondequiera que f sea distinto de cero.

En la notación de Leibniz, esto se escribe

La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de la regla de la potencia y la regla de la cadena.

La regla del cociente

Si f y g son funciones, entonces:

donde g no es cero.

Esto se puede derivar de la regla del producto y de la regla recíproca.

Regla de potencia generalizada

La regla de potencia elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,

donde ambos lados estén bien definidos.

Casos especiales

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

La ecuación anterior es verdadera para todo c , pero la derivada para produce un número complejo.

La ecuación anterior también es verdadera para todos los c , pero produce un número complejo si .

¿Dónde está la función W de Lambert?

Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra forma de enunciar la regla para diferenciar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):

dondequiera que f sea positivo.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar realmente la derivada. [ cita requerida ]

Los logaritmos se pueden utilizar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir divisiones en restas, cada uno de los cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.

Derivadas de funciones trigonométricas

Las derivadas en la tabla anterior son para cuando el rango de la secante inversa es y cuando el rango de la cosecante inversa es

Es común definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos . Su valor se encuentra en el rango y refleja el cuadrante del punto. Para el primer y cuarto cuadrante (es decir, ) uno tiene Sus derivadas parciales son

Derivadas de funciones hiperbólicas

Consulte Funciones hiperbólicas para conocer las restricciones sobre estas derivadas.

Derivadas de funciones especiales

Función gamma
siendo la función digamma , expresada por la expresión entre paréntesis a la derecha de en la línea anterior.
Función zeta de Riemann

Derivadas de integrales

Supongamos que se requiere diferenciar con respecto a x la función

donde las funciones y son ambas continuas en ambos y en alguna región del plano, incluyendo , y las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces para :

Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y puede derivarse utilizando el teorema fundamental del cálculo .

Derivados denorteel orden

Existen algunas reglas para calcular la derivada n -ésima de funciones, donde n es un entero positivo. Entre ellas se incluyen:

La fórmula de Faà di Bruno

Si f y g son n veces diferenciables, entonces donde y el conjunto consiste en todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica .

Regla general de Leibniz

Si f y g son n veces diferenciables, entonces

Véase también

Referencias

  1. ^ Cálculo (quinta edición) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-150861-2 .
  2. ^ Cálculo avanzado (3.ª edición) , R. Wrede, MR Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7
  3. ^ Variables complejas , MR Spiegel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 
  4. ^ "Reglas de diferenciación". Universidad de Waterloo – CEMC Open Courseware . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

Fuentes y lecturas adicionales

Estas reglas se dan en muchos libros, tanto de cálculo elemental como avanzado, de matemáticas puras y aplicadas. Las que aparecen en este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:

Enlaces externos