Nodos de Chebyshev

Raíces de los polinomios de Chebyshev del primer tipo

Aquí graficamos los nodos de Chebyshev de primera y segunda clase, ambos para n = 8. Para ambos tipos de nodos, primero graficamos los puntos equidistantes en la mitad superior del círculo unitario en azul. Luego, los puntos azules se proyectan hacia abajo hasta el eje x . Los puntos proyectados, en rojo, son los nodos de Chebyshev.

En el análisis numérico , los nodos de Chebyshev son un conjunto de números algebraicos reales específicos , utilizados como nodos para la interpolación polinómica . Son la proyección de puntos equiespaciados en el círculo unitario sobre el intervalo real del diámetro del círculo. ${\displaystyle [-1,1],}$

Los nodos de Chebyshev de primer tipo , también llamados ceros de Chebyshev , son los ceros de los polinomios de Chebyshev de primer tipo. Los nodos de Chebyshev de segundo tipo , también llamados extremos de Chebyshev , son los extremos de los polinomios de Chebyshev de primer tipo, que también son los ceros de los polinomios de Chebyshev de segundo tipo. Ambos conjuntos de números se denominan comúnmente nodos de Chebyshev en la literatura. ^[1] Los interpoladores polinómicos construidos a partir de estos nodos minimizan el efecto del fenómeno de Runge . ^[2]

Definición

Nodos de Chebyshev de ambos tipos desde hasta . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=50}$

Para un entero positivo dado, los nodos de Chebyshev de primer tipo en el intervalo abierto son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Estas son las raíces de los polinomios de Chebyshev de primer tipo con grado . Para nodos sobre un intervalo arbitrario se puede utilizar una transformación afín : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle x_{k}={\frac {(a+b)}{2}}+{\frac {(b-a)}{2}}\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

De manera similar, para un entero positivo dado, los nodos de Chebyshev de segundo tipo en el intervalo cerrado son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n-1}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Estas son las raíces de los polinomios de Chebyshev de segundo tipo con grado . Para nodos sobre un intervalo arbitrario, se puede utilizar una transformación afín como la anterior. Los nodos de Chebyshev de segundo tipo también se conocen como puntos de Chebyshev-Lobatto o puntos extremos de Chebyshev. ^[3] Nótese que los nodos de Chebyshev de segundo tipo incluyen los puntos finales del intervalo, mientras que los nodos de Chebyshev de primer tipo no incluyen los puntos finales. Estas fórmulas generan nodos de Chebyshev que se ordenan de mayor a menor en el intervalo real. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Ambos tipos de nodos son siempre simétricos respecto del punto medio del intervalo. Por lo tanto, para impar , ambos tipos de nodos incluirán el punto medio. Geométricamente, para ambos tipos de nodos, primero colocamos puntos en la mitad superior del círculo unitario con el mismo espaciamiento entre ellos. Luego, los puntos se proyectan hacia abajo hasta el eje . Los puntos proyectados en el eje se denominan nodos de Chebyshev. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Aproximación

Los nodos de Chebyshev son importantes en la teoría de aproximación porque forman un conjunto particularmente bueno de nodos para la interpolación polinómica . Dada una función f en el intervalo y puntos en ese intervalo, el polinomio de interpolación es ese único polinomio de grado como máximo que tiene valor en cada punto . El error de interpolación en es para algún (dependiendo de x ) en [−1, 1] . ^[4] Por lo tanto, es lógico tratar de minimizar ${\displaystyle [-1,+1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle P_{n-1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle f(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.}$$

Este producto es un polinomio mónico de grado n . Se puede demostrar que el valor absoluto máximo (norma máxima) de cualquier polinomio de este tipo está acotado desde abajo por 2 ^{1− n} . Este límite se alcanza mediante los polinomios de Chebyshev escalados 2 ^{1− n} T _n , que también son mónicos. (Recuerde que | T _n ( x )| ≤ 1 para x ∈ [−1, 1] . ^[5] ) Por lo tanto, cuando los nodos de interpolación x _i son las raíces de T _n , el error satisface Para un intervalo arbitrario [ a , b ] un cambio de variable muestra que $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$ $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$

Orden uniforme de nodos Chebyshev modificados

Muchas aplicaciones para los nodos de Chebyshev, como el diseño de filtros Chebyshev pasivos con terminación igual, no pueden utilizar nodos Chebyshev directamente, debido a la falta de una raíz en 0. Sin embargo, los nodos Chebyshev pueden modificarse en una forma utilizable traduciendo las raíces hacia abajo de modo que las raíces más bajas se muevan a cero, creando así dos raíces en cero de los nodos Chebyshev modificados. ^[6]

La traducción de modificación de orden par es:

${\displaystyle X_{k}Even={\sqrt {\frac {X_{k}^{2}-X_{n/2}^{2}}{1-X_{n/2}^{2}}}}{\text{ For }}n>2}$

El signo de la función se elige para que sea el mismo que el signo de . ${\displaystyle {\sqrt {}}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

Por ejemplo, los nodos de Chebyshev para una función de Chebyshev de cuarto orden son {0,92388, 0,382683, -0,382683, -0,92388}, y es , o 0,146446. Al ejecutar todos los nodos a través de la traducción, se obtiene {0,910180, 0, 0, -0,910180}. ${\displaystyle X_{n/2}^{2}}$ ${\displaystyle 0.382683^{2}}$ ${\displaystyle X_{k}Even}$

Los nodos de Chebyshev de orden par modificados ahora contienen dos nodos de cero y son adecuados para su uso en el diseño de filtros de Chebyshev de orden par con redes de elementos pasivos igualmente terminados.

Notas

1. Trefethen 2013, págs. 7
2. Fink y Mathews 1999, págs. 236-238
3. Trefethen 2013, págs. 7
4. Stewart 1996, (20.3)
5. Stewart 1996, Conferencia 20, §14
6. Saal, Rudolf (enero de 1979). Manual de diseño de filtros (en inglés y alemán) (1ª ed.). Múnich, Alemania: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. págs.25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN 3-87087-070-2.

Referencias

• Fink, Kurtis D.; Mathews, John H. (1999). Métodos numéricos con MATLAB (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
• Stewart, Gilbert W. (1996). Notas posteriores sobre análisis numérico . SIAM . ISBN 978-0-89871-362-6.
• Trefethen, Lloyd N. (2013), Teoría de aproximación y práctica de aproximación, SIAM

Lectura adicional

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Análisis numérico , 8.ª ed., páginas 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .