filtro digital

Dispositivo para suprimir parte de una señal muestreada discretamente.

Un filtro general de respuesta al impulso finito con n etapas, cada una con un retardo independiente, di _, y una ganancia de amplificación, ai _.

En el procesamiento de señales , un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas en una señal muestreada en tiempo discreto para reducir o mejorar ciertos aspectos de esa señal. Esto contrasta con el otro tipo importante de filtro electrónico , el filtro analógico , que suele ser un circuito electrónico que funciona con señales analógicas de tiempo continuo .

Un sistema de filtro digital generalmente consta de un convertidor analógico a digital (ADC) para muestrear la señal de entrada, seguido de un microprocesador y algunos componentes periféricos como la memoria para almacenar datos y filtrar coeficientes, etc. Instrucciones del programa (software) que se ejecutan en el El microprocesador implementa el filtro digital realizando las operaciones matemáticas necesarias en los números recibidos del ADC. En algunas aplicaciones de alto rendimiento, se utiliza un FPGA o ASIC en lugar de un microprocesador de propósito general, o un procesador de señal digital (DSP) especializado con arquitectura en paralelo específica para acelerar operaciones como el filtrado. ^{[1] [2]}

Los filtros digitales pueden ser más caros que un filtro analógico equivalente debido a su mayor complejidad, pero hacen prácticos muchos diseños que son poco prácticos o imposibles como filtros analógicos. Los filtros digitales a menudo se pueden fabricar con un orden muy alto y, a menudo, son filtros de respuesta de impulso finita, lo que permite una respuesta de fase lineal . Cuando se utilizan en el contexto de sistemas analógicos en tiempo real, los filtros digitales a veces tienen una latencia problemática (la diferencia de tiempo entre la entrada y la respuesta) debido a las conversiones de analógico a digital y de digital a analógico y al antialiasing asociados. filtros , o debido a otros retrasos en su implementación.

Los filtros digitales son comunes y un elemento esencial de los dispositivos electrónicos cotidianos, como radios , teléfonos celulares y receptores AV .

Caracterización

Un filtro digital se caracteriza por su función de transferencia , o equivalentemente, su ecuación en diferencias . El análisis matemático de la función de transferencia puede describir cómo responderá a cualquier entrada. Como tal, diseñar un filtro consiste en desarrollar especificaciones apropiadas para el problema (por ejemplo, un filtro de paso bajo de segundo orden con una frecuencia de corte específica) y luego producir una función de transferencia que cumpla con las especificaciones.

La función de transferencia para un filtro digital lineal invariante en el tiempo se puede expresar como una función de transferencia en el dominio Z ; si es causal, entonces tiene la forma: ^[3]

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}}$

donde el orden del filtro es el mayor de N o M. Consulte la ecuación LCCD de la transformada Z para obtener más información sobre esta función de transferencia .

Esta es la forma de un filtro recursivo , que normalmente conduce a un comportamiento de respuesta de impulso infinita (IIR), pero si el denominador se iguala a la unidad , es decir, sin retroalimentación, entonces se convierte en un filtro de respuesta de impulso finita (FIR).

Técnicas de análisis

Se pueden emplear una variedad de técnicas matemáticas para analizar el comportamiento de un filtro digital determinado. Muchas de estas técnicas de análisis también pueden emplearse en diseños y, a menudo, forman la base de una especificación de filtro.

Normalmente, se caracterizan los filtros calculando cómo responderán a una entrada simple como un impulso. Luego se puede ampliar esta información para calcular la respuesta del filtro a señales más complejas.

Respuesta impulsiva

La respuesta al impulso , a menudo denominada o , es una medida de cómo responderá un filtro a la función delta de Kronecker . ^[4] Por ejemplo, dada una ecuación en diferencias, se establecería y para y se evaluaría. La respuesta al impulso es una caracterización del comportamiento del filtro. Los filtros digitales normalmente se consideran en dos categorías: respuesta de impulso infinito (IIR) y respuesta de impulso finito (FIR). En el caso de filtros FIR lineales invariantes en el tiempo, la respuesta al impulso es exactamente igual a la secuencia de coeficientes del filtro y, por tanto: ${\displaystyle h[k]}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{k}=0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle \ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}}$

Los filtros IIR, por otro lado, son recursivos y la salida depende tanto de las entradas actuales y anteriores como de las salidas anteriores. La forma general de un filtro IIR es así:

${\displaystyle \ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}}$

Trazar la respuesta al impulso revela cómo responde un filtro a una perturbación repentina y momentánea. Un filtro IIR siempre es recursivo. Si bien es posible que un filtro recursivo tenga una respuesta de impulso finita, un filtro no recursivo siempre tiene una respuesta de impulso finita. Un ejemplo es el filtro de media móvil (MA), que se puede implementar de forma recursiva ^{[ cita necesaria ]} y no recursiva.

Ecuación diferencial

En sistemas de tiempo discreto , el filtro digital a menudo se implementa convirtiendo la función de transferencia en una ecuación lineal en diferencias de coeficientes constantes (LCCD) mediante la transformada Z. La función de transferencia discreta en el dominio de la frecuencia se escribe como la relación de dos polinomios. Por ejemplo:

${\displaystyle H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}}$

Esto se amplía:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}}$

y para hacer causal el filtro correspondiente , se divide el numerador y denominador por el orden más alto de : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

Los coeficientes del denominador, son los coeficientes de 'retroalimentación' y los coeficientes del numerador son los coeficientes de 'retroalimentación' ,. La ecuación en diferencias lineales resultante es: ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]}$

o, para el ejemplo anterior:

${\displaystyle {\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}}$

reordenando términos:

${\displaystyle \Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)}$

luego tomando la transformada z inversa :

${\displaystyle \Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

y finalmente resolviendo para : ${\displaystyle y[n]}$

${\displaystyle y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

Esta ecuación muestra cómo calcular la siguiente muestra de salida, , en términos de las salidas pasadas, , las entradas presentes, y las entradas pasadas, . Aplicar el filtro a una entrada en este formulario equivale a una realización del Formulario Directo I o II (ver más abajo), dependiendo del orden exacto de evaluación. ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n-p]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n-p]}$

En términos sencillos, por ejemplo, tal como lo usa un programador de computadoras que implementa la ecuación anterior en código, se puede describir de la siguiente manera:

${\displaystyle y}$= la salida o valor filtrado = la entrada o valor bruto entrante = el número de muestra, el número de iteración o el número de período de tiempo
${\displaystyle x}$
${\displaystyle n}$

y por lo tanto:

${\displaystyle y[n]}$= el valor filtrado (salida) actual = el último valor filtrado (salida) = el penúltimo valor filtrado (salida) = el valor de entrada sin procesar actual = el último valor de entrada sin procesar = el penúltimo valor de entrada sin procesar
${\displaystyle y[n-1]}$
${\displaystyle y[n-2]}$
${\displaystyle x[n]}$
${\displaystyle x[n-1]}$
${\displaystyle x[n-2]}$

Diseño de filtro

Aunque los filtros se entienden y calculan fácilmente, los desafíos prácticos de su diseño e implementación son importantes y son objeto de mucha investigación avanzada.

Hay dos categorías de filtros digitales: el filtro recursivo y el filtro no recursivo . A menudo se los denomina filtros de respuesta al impulso infinito (IIR) y filtros de respuesta al impulso finito (FIR), respectivamente. ^[5]

Realización de filtros

Una vez diseñado un filtro, se debe realizar desarrollando un diagrama de flujo de señal que describa el filtro en términos de operaciones en secuencias de muestra.

Una función de transferencia determinada se puede realizar de muchas maneras. Considere cómo se podría evaluar una expresión simple como : también se podría calcular el equivalente . De la misma manera, todas las realizaciones pueden verse como "factorizaciones" de la misma función de transferencia, pero diferentes realizaciones tendrán diferentes propiedades numéricas. En concreto, algunas realizaciones son más eficientes en términos del número de operaciones o elementos de almacenamiento necesarios para su implementación, y otras proporcionan ventajas como una estabilidad numérica mejorada y un error de redondeo reducido. Algunas estructuras son mejores para la aritmética de punto fijo y otras pueden ser mejores para la aritmética de punto flotante . ${\displaystyle ax+bx+c}$ ${\displaystyle x(a+b)+c}$

forma directa I

Un enfoque sencillo para la realización del filtro IIR es la forma directa I , donde la ecuación en diferencias se evalúa directamente. Esta forma es práctica para filtros pequeños, pero puede resultar ineficiente y poco práctica (numéricamente inestable) para diseños complejos. ^[6] En general, esta forma requiere 2N elementos de retardo (tanto para señales de entrada como de salida) para un filtro de orden N.

Forma directa II

La forma directa alternativa II solo necesita N unidades de retardo, donde N es el orden del filtro, potencialmente la mitad que la forma directa I. Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden de las secciones del numerador y denominador de la forma directa I, ya que De hecho, son dos sistemas lineales y se aplica la propiedad de conmutatividad. Luego, uno notará que hay dos columnas de demoras ( ) que se derivan de la red central, y estas se pueden combinar ya que son redundantes, lo que produce la implementación como se muestra a continuación. ${\displaystyle z^{-1}}$

La desventaja es que la forma directa II aumenta la posibilidad de desbordamiento aritmético para filtros de alta Q o resonancia. ^[7] Se ha demostrado que a medida que Q aumenta, el ruido de redondeo de ambas topologías de forma directa aumenta sin límites. ^[8] Esto se debe a que, conceptualmente, la señal pasa primero a través de un filtro de todos los polos (que normalmente aumenta la ganancia en las frecuencias resonantes) antes de que el resultado se sature, luego pasa a través de un filtro de todos los ceros (que a menudo atenúa mucho de lo que amplifica la mitad omnipolar).

Secciones de segundo orden en cascada

Una estrategia común es realizar un filtro digital de orden superior (mayor que 2) como una serie en cascada de secciones "bicuadrátricas" (o "biquad") de segundo orden ^[9] (ver filtro biquad digital ). La ventaja de esta estrategia es que el rango de coeficientes es limitado. La conexión en cascada de secciones directas de forma II da como resultado N elementos de retardo para filtros de orden N. La conexión en cascada de secciones directas de forma I da como resultado N + 2 elementos de retardo, ya que los elementos de retardo de la entrada de cualquier sección (excepto la primera sección) son redundantes con los elementos de retardo de la salida de la sección anterior.

Otras formas

Otras formas incluyen:

• Transposición directa de forma I y II
• Subsecciones de orden inferior (típico de segundo) en serie/cascada
• Subsecciones paralelas de orden inferior (típicas de segundo orden)
  • Expansión de fracción continua
• Celosía y escalera
  • Formas reticulares de una, dos y tres multiplicaciones
  • Formas de escalera normalizadas de tres y cuatro multiplicaciones
  • estructuras ARMA
• Estructuras del espacio de estados:
  • Óptimo (en el sentido de mínimo ruido): parámetros ${\displaystyle (N+1)^{2}}$
  • Óptimo de bloque y óptimo de sección: parámetros ${\displaystyle 4N-1}$
  • entrada balanceada con rotación de Givens: parámetros ^[10] ${\displaystyle 4N-1}$
• Formas acopladas: Gold Rader (normal), Variable de estado (Chamberlin), Kingsbury, Variable de estado modificada, Zölzer, Zölzer modificado
• Filtros digitales de onda (WDF) ^[11]
• Agarwal – Burrus (1AB y 2AB)
• Harris-Brooking
• ND-TDL
• retroalimentación múltiple
• Formas de inspiración analógica, como filtros de clave Sallen y de variables de estado.
• matrices sistólicas

Comparación de filtros analógicos y digitales.

Los filtros digitales no están sujetos a las no linealidades de los componentes que complican enormemente el diseño de los filtros analógicos. Los filtros analógicos constan de componentes electrónicos imperfectos, cuyos valores se especifican con una tolerancia límite (por ejemplo, los valores de resistencia a menudo tienen una tolerancia de ±5%) y que también pueden cambiar con la temperatura y variar con el tiempo. A medida que aumenta el orden de un filtro analógico y, por tanto, su número de componentes, el efecto de los errores de componentes variables se magnifica enormemente. En los filtros digitales, los valores de los coeficientes se almacenan en la memoria de la computadora, lo que los hace mucho más estables y predecibles. ^[12]

Debido a que los coeficientes de los filtros digitales son definidos, se pueden utilizar para lograr diseños mucho más complejos y selectivos; específicamente con filtros digitales, se puede lograr una ondulación de banda de paso más baja, una transición más rápida y una atenuación de banda de parada más alta que lo que es práctico con filtros analógicos. Incluso si el diseño pudiera lograrse utilizando filtros analógicos, el costo de ingeniería de diseñar un filtro digital equivalente probablemente sería mucho menor. Además, se pueden modificar fácilmente los coeficientes de un filtro digital para crear un filtro adaptativo o un filtro paramétrico controlable por el usuario. Si bien estas técnicas son posibles en un filtro analógico, nuevamente son considerablemente más difíciles.

Los filtros digitales se pueden utilizar en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito. Los filtros analógicos equivalentes suelen ser más complicados, ya que requieren elementos de retardo.

Los filtros digitales dependen menos de circuitos analógicos, lo que potencialmente permite una mejor relación señal-ruido . Un filtro digital introducirá ruido en una señal durante el filtrado analógico de paso bajo, la conversión de analógico a digital, la conversión de digital a analógico y puede introducir ruido digital debido a la cuantificación. Con los filtros analógicos, cada componente es una fuente de ruido térmico (como el ruido de Johnson ), por lo que a medida que crece la complejidad del filtro, también aumenta el ruido.

Sin embargo, los filtros digitales introducen una latencia fundamental más alta en el sistema. En un filtro analógico, la latencia suele ser insignificante; estrictamente hablando es el momento en que una señal eléctrica se propaga a través del circuito del filtro. En los sistemas digitales, la latencia la introducen elementos de retardo en la ruta de la señal digital y convertidores de analógico a digital y de digital a analógico que permiten que el sistema procese señales analógicas.

En casos muy sencillos, resulta más rentable utilizar un filtro analógico. La introducción de un filtro digital requiere una considerable cantidad de circuitos adicionales, como se analizó anteriormente, incluidos dos filtros analógicos de paso bajo.

Otro argumento a favor de los filtros analógicos es el bajo consumo de energía. Los filtros analógicos requieren sustancialmente menos energía y, por lo tanto, son la única solución cuando los requisitos de energía son estrictos.

Al realizar un circuito eléctrico en una PCB, generalmente es más fácil utilizar una solución digital, porque las unidades de procesamiento están altamente optimizadas a lo largo de los años. Hacer el mismo circuito con componentes analógicos ocuparía mucho más espacio al utilizar componentes discretos . Dos alternativas son los FPAA ^[13] y los ASIC , pero son caros para cantidades pequeñas.

Tipos de filtros digitales

Hay varias formas de caracterizar los filtros; Por ejemplo:

• Un filtro lineal es una transformación lineal de muestras de entrada; otros filtros son no lineales . Los filtros lineales satisfacen el principio de superposición , es decir, si una entrada es una combinación lineal ponderada de diferentes señales, la salida es una combinación lineal igualmente ponderada de las señales de salida correspondientes.
• Un filtro causal utiliza sólo muestras previas de las señales de entrada o salida; mientras que un filtro no causal utiliza muestras de entrada futuras. Un filtro no causal generalmente se puede convertir en un filtro causal agregándole un retraso.
• Un filtro invariante en el tiempo tiene propiedades constantes a lo largo del tiempo; otros filtros, como los filtros adaptativos, cambian con el tiempo.
• Un filtro estable produce una salida que converge a un valor constante con el tiempo o permanece limitada dentro de un intervalo finito. Un filtro inestable puede producir una salida que crece sin límites, con entradas limitadas o incluso nulas.
• Un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) utiliza solo las señales de entrada, mientras que un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) utiliza tanto la señal de entrada como las muestras anteriores de la señal de salida. Los filtros FIR siempre son estables, mientras que los filtros IIR pueden ser inestables.

Un filtro se puede representar mediante un diagrama de bloques , que luego se puede utilizar para derivar un algoritmo de procesamiento de muestra para implementar el filtro con instrucciones de hardware. Un filtro también puede describirse como una ecuación en diferencias , una colección de ceros y polos o una respuesta de impulso o respuesta escalonada .

Algunos filtros digitales se basan en la transformada rápida de Fourier , un algoritmo matemático que extrae rápidamente el espectro de frecuencia de una señal, lo que permite manipular el espectro (por ejemplo, para crear filtros de paso de banda de muy alto orden) antes de convertir el espectro modificado nuevamente en una señal de serie temporal con una operación FFT inversa. Estos filtros dan costos computacionales O(n log n), mientras que los filtros digitales convencionales tienden a ser O(n ² ).

Otra forma de filtro digital es la de un modelo de espacio de estados . Un filtro de espacio de estados muy utilizado es el filtro de Kalman publicado por Rudolf Kálmán en 1960.

Los filtros lineales tradicionales suelen basarse en la atenuación. Alternativamente, se pueden diseñar filtros no lineales, incluidos filtros de transferencia de energía, ^[14] que permiten al usuario mover la energía de una manera diseñada para que el ruido o los efectos no deseados se puedan mover a nuevas bandas de frecuencia, ya sea de frecuencia más baja o más alta, distribuidas en un rango. de frecuencias, divididas o enfocadas. Los filtros de transferencia de energía complementan los diseños de filtros tradicionales e introducen muchos más grados de libertad en el diseño de filtros. Los filtros de transferencia de energía digitales son relativamente fáciles de diseñar e implementar y explotar dinámicas no lineales.

Ver también

• filtro de bessel
• transformada bilineal
• filtro de mantequilla
• Filtro Chebyshev
• filtro electrónico
• Filtro elíptico (filtro Cauer)
• Diseño de filtro
• Filtro de paso alto , filtro de paso bajo
• Respuesta de impulso infinita , respuesta de impulso finita
• Filtro Linkwitz-Riley
• Filtro coincidente
• Muestra (señal)
• Filtro Savitzky-Golay
• Filtro bidimensional

Referencias

1. Lyakhov, Pavel; Valueva, María; Valuev, Georgii; Nagornov, Nikolai (2020). "Filtrado digital de alto rendimiento en unidades de acumulación múltiple truncadas en el sistema de número de residuos". Acceso IEEE . 8 : 209181–209190. Código Bib : 2020IEEEA...8t9181L. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3038496 . ISSN  2169-3536.
2. Priya, P; Ashok, S (abril de 2018). "Diseño de filtro digital IIR utilizando el generador del sistema Xilinx para la implementación de FPGA". 2018 Conferencia Internacional sobre Comunicaciones y Procesamiento de Señales (ICCSP) . págs. 0054–0057. doi :10.1109/ICCSP.2018.8524520. ISBN 978-1-5386-3521-6. S2CID  53284942.
3. Smith, Julius O. "Introducción a los filtros digitales". DSPRelated.com . El grupo de medios relacionados . Consultado el 13 de julio de 2020 .
4. "Lab.4 y 5. Introducción a los filtros FIR" (PDF) . Universidad de Ciencia y Tecnología de Jordania-Facultad de Ingeniería. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 13 de julio de 2020 .
5. A. Antoniou, Filtros digitales: análisis, diseño y aplicaciones , Nueva York, NY: McGraw-Hill, 1993, capítulo 1
6. JO Smith III, formulario directo I
7. JO Smith III, Forma directa II
8. LB Jackson, "Sobre la interacción del ruido de redondeo y el rango dinámico en filtros digitales", Bell Sys. Tecnología. J. , vol. 49 (febrero de 1970), reimpreso en Digital Signal Process , LR Rabiner y CM Rader, Eds. (IEEE Press, Nueva York, 1972).
9. JO Smith III, Serie Secciones de segundo orden
10. Li, pandilla; Limin Meng; Zhijiang Xu; Jingyu Hua (julio de 2010). "Una novedosa estructura de filtro digital con mínimo ruido de redondeo". Procesamiento de señales digitales . 20 (4): 1000–1009. doi :10.1016/j.dsp.2009.10.018.
11. Fettweis, Alfred (febrero de 1986). "Filtros digitales de ondas: teoría y práctica". Actas del IEEE . 74 (2): 270–327. doi :10.1109/proc.1986.13458. S2CID  46094699.
12. "Partido n.º 1: filtros analógicos frente a digitales".
13. Bains, Sunny (julio de 2008). "La respuesta analógica a FPGA abre el campo a las masas". EETimes .
14. Billings SA "Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal". wiley, 2013

Otras lecturas

• JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio, Centro de Investigación Informática en Música y Acústica (CCRMA), Universidad de Stanford, edición de septiembre de 2007.
• Mitra, SK (1998). Procesamiento de señales digitales: un enfoque basado en computadora . Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill.
• Oppenheim, AV ; Schafer, RW (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 9780137549207.
• Kaiser, J.F. (1974). "Diseño de filtro digital no recursivo utilizando la función de ventana Io-sinh" . Proc. 1974 IEEE Internacional. Síntoma. Teoría de circuitos. págs. 20-23.
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). "Diseño de filtros digitales no recursivos utilizando la función de ventana ultraesférica". Revista EURASIP sobre procesamiento de señales aplicado . 2005 (12): 1910-1922. Código Bib : 2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Parques, TW ; McClellan, JH (marzo de 1972). "Aproximación de Chebyshev para filtros digitales no recursivos con fase lineal". Traducción IEEE. Teoría de circuitos . CT-19 (2): 189–194. doi :10.1109/TCT.1972.1083419.
• Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Parks, TW (abril de 1975). "Técnicas de diseño de filtros digitales FIR utilizando la aproximación ponderada de Chebyshev". Proc. IEEE . 63 (4): 595–610. Código Bib : 1975IEEEP..63..595R. doi :10.1109/PROC.1975.9794. S2CID  12579115.
• Deczky, AG (octubre de 1972). "Síntesis de filtros digitales recursivos utilizando el criterio de error p mínimo". Traducción IEEE. Audioelectroacústica . AU-20 (4): 257–263. doi :10.1109/TAU.1972.1162392.