Los filtros bidimensionales han experimentado un considerable esfuerzo de desarrollo debido a su importancia y su gran aplicabilidad en varios dominios. En el caso 2-D, la situación es bastante diferente del caso 1-D, porque los polinomios multidimensionales no se pueden factorizar en general. Esto significa que una función de transferencia arbitraria no se puede manipular en general para que tenga la forma requerida por una implementación particular. La relación de entrada-salida de un filtro IIR 2-D obedece a una ecuación de diferencias parciales lineales de coeficiente constante a partir de la cual se puede calcular el valor de una muestra de salida utilizando las muestras de entrada y las muestras de salida calculadas previamente. Debido a que los valores de las muestras de salida se retroalimentan, el filtro 2-D, al igual que su contraparte 1-D, puede ser inestable.
Debido al rápido desarrollo de la ciencia de la información y la tecnología informática , la teoría del diseño y la aplicación de filtros digitales ha logrado un desarrollo a pasos agigantados. Nos encontramos con una variedad de señales en la vida real, como señales de radiodifusión , señales de televisión , señales de radar , señales de telefonía móvil , señales de navegación , señales de radioastronomía , señales biomédicas, señales de control, señales meteorológicas, señales sísmicas, señales de vibración mecánica, señales de teledetección y telemetría , etc. La mayoría de estas señales son señales analógicas y solo una pequeña parte de ellas son señales digitales. Las señales analógicas son una función continua de las variables independientes , que pueden ser unidimensionales, bidimensionales o multidimensionales. En la mayoría de los casos, la variable de las señales analógicas unidimensionales es el tiempo. Después del muestreo temporal y la discretización de la magnitud, dicha señal analógica se convertirá en una señal digital unidimensional. La señal digital resultante se puede representar mediante una secuencia discreta. Por ejemplo, una señal común es la señal de voz. Un ejemplo de señal bidimensional es una imagen. Un filtro es un sistema que puede transformar una señal en otra señal. Entre los ejemplos de dicha transformación se incluyen el suavizado de la señal para eliminar el ruido, la eliminación de componentes de frecuencia de una señal y la amplificación de los componentes de frecuencia para mejorar la señal. El diseño y la implementación de filtros es una rama importante en la tecnología de análisis y procesamiento de señales. Los filtros también desempeñan un papel principal en la adquisición, transmisión, procesamiento e intercambio de señales.
El filtrado de señales digitales consiste en implementar un filtro digital. Un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas en una señal muestreada y discreta para reducir o mejorar ciertos aspectos de esa señal. Las señales de entrada y salida son todas señales digitales. Esto contrasta con el otro tipo principal de filtro electrónico, el filtro analógico, que es un circuito electrónico que funciona con una señal analógica de tiempo continuo . En realidad, el concepto básico de los filtros digitales y los filtros analógicos es el mismo. La única diferencia son los tipos de señales y los métodos de filtrado. Los filtros digitales se pueden implementar numéricamente en software y tienen las ventajas de una alta precisión de procesamiento, un sistema estable, poco volumen y peso ligero. No hay coincidencia de impedancia en los filtros digitales y los filtros digitales pueden lograr algunas funciones de filtrado especiales que no se pueden lograr con filtros analógicos. Las señales analógicas también se pueden procesar a través de filtros digitales utilizando convertidores analógicos a digitales .
Los filtros bidimensionales se utilizan para procesar señales digitales bidimensionales. Existe una diferencia importante entre el diseño de problemas de filtros digitales 1-D y 2-D. En el caso 1-D, el diseño y la implementación de filtros se pueden considerar más fácilmente por separado. Primero se puede diseñar el filtro y luego, a través de las manipulaciones apropiadas de la función de transferencia, se pueden determinar los coeficientes requeridos por una estructura de red particular. Mientras que en el caso 2-D, el diseño y la implementación están más estrechamente relacionados. Dado que los polinomios multidimensionales no se pueden factorizar en general. Esto significa que una función de transferencia multidimensional arbitraria generalmente no se puede manipular en una forma requerida por una implementación particular. Si nuestra implementación solo puede realizar funciones de transferencia factorizables, nuestro algoritmo de diseño debe adaptarse para diseñar solo filtros de esta clase. Esto tiene el efecto de complicar el problema de diseño y también limitar el número de implementaciones prácticas. Los filtros digitales se pueden clasificar en dos tipos principales, a saber, respuesta de impulso finito ( FIR ) y respuesta de impulso infinito ( IIR ). El filtro digital FIR 2-D se logra mediante una estructura de algoritmo no recursivo, mientras que el filtro digital IIR 2-D se logra mediante una estructura de algoritmo de retroalimentación recursiva. [1]
Un filtro IIR se puede implementar en forma directa reorganizando su ecuación diferencial para expresar una muestra de salida en términos de las muestras de entrada y las muestras de salida calculadas previamente. [2] Para un filtro de primer cuadrante, la señal de entrada y la señal de salida están relacionadas por
Dado que la respuesta del filtro a un impulso es por definición la respuesta al impulso , podemos derivar la relación
Tomando la transformada z 2-D de ambos lados, podemos resolver la función del sistema , que viene dada por
Esta relación puede considerarse como el resultado de la cascada de dos filtros, un filtro FIR con una función de sistema igual a y un filtro IIR con una función de sistema igual a , como se muestra en la figura siguiente. [3]
Otro método para construir filtros IIR 2-D complejos es mediante la interconexión paralela de subfiltros. En este caso, la función de transferencia general se convierte en
Usando ecuación
y poniendo la suma en función de transferencia sobre un denominador común, obtenemos la forma desarrollada
La forma paralela no se puede utilizar para implementar una función arbitraria de sistema racional 2-D. [4] Sin embargo, podemos sintetizar filtros IIR 2-D interesantes que se pueden implementar mediante una arquitectura paralela. Por ejemplo, la forma paralela puede ser ventajosa al diseñar un filtro con múltiples bandas de paso . La implementación paralela también puede ser útil para implementar un filtro IIR 2-D cuya respuesta al impulso no esté confinada a un solo cuadrante, como un filtro simétrico.
Se han publicado en la literatura muchas técnicas de diseño para filtros digitales IIR 2-D. [1] [2] [3] [4] En 2013, el algoritmo genético se había utilizado con éxito para el diseño de filtros digitales durante aproximadamente una década. [ cita requerida ] Aquí presentamos un método para diseñar filtros IIR 2-D llamado método de diseño basado en GA.
La figura siguiente muestra el flujo de diseño basado en AG propuesto. Los coeficientes de filtro están codificados en su representación numérica CSD. En la inicialización de la población, los cromosomas se generan aleatoriamente. Cada coeficiente tiene la longitud de palabra preestablecida y la cantidad máxima de dígitos distintos de cero, que se pueden configurar en cualquier valor deseado. [5]
La selección de la ruleta se utiliza como operador de reproducción. Después de cada operación de cruce, se comprobará el coeficiente en el que se encuentra el punto de cruce en formato CSD. La operación de mutación es un simple cambio de un solo bit. Después de la mutación, se comprueba cada coeficiente de la descendencia en formato CSD.
La evaluación de la aptitud es un proceso de dos pasos. El primer paso es comprobar la estabilidad de cada sección de segundo orden utilizando el triángulo de estabilidad. A los cromosomas que no superan la comprobación se les asigna un valor de aptitud 0. Se aplica una estrategia elitista para el reemplazo de la generación anterior. Después de la reproducción, se descubren el mejor cromosoma y el peor cromosoma de la descendencia. El filtro diseñado tiene una función de transferencia de numerador no separable y denominador separable . [6] La técnica de restauración de números se utiliza para garantizar que los coeficientes del filtro se representen en el formato CSD preespecificado.
