Teorema de factores

Ceros polinómicos relacionados con factores lineales

En álgebra , el teorema del factor conecta los factores de polinomios con las raíces de polinomios . Específicamente, si es un polinomio, entonces es un factor de si y solo si (es decir, es una raíz del polinomio). El teorema es un caso especial del teorema del resto del polinomio . ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a}$

El teorema se deriva de las propiedades básicas de la suma y la multiplicación. De ello se deduce que el teorema se cumple también cuando los coeficientes y el elemento pertenecen a cualquier anillo conmutativo y no sólo a un cuerpo . ${\displaystyle a}$

En particular, dado que los polinomios multivariados pueden considerarse univariados en una de sus variables, se cumple la siguiente generalización: si y son polinomios multivariados y es independiente de , entonces es un factor de si y solo si es el polinomio cero. ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle g(X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}$

Factorización de polinomios

Dos problemas en los que se aplica comúnmente el teorema del factor son los de factorizar un polinomio y encontrar las raíces de una ecuación polinómica; una consecuencia directa del teorema es que estos problemas son esencialmente equivalentes.

El teorema del factor también se utiliza para eliminar los ceros conocidos de un polinomio y dejar intactos todos los ceros desconocidos, lo que produce un polinomio de grado inferior cuyos ceros pueden ser más fáciles de encontrar. En resumen, el método es el siguiente: ^[3]

1. Deducir el candidato a cero del polinomio a partir de su coeficiente principal y su término constante . (Véase Teorema de la raíz racional ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
2. Utilice el teorema del factor para concluir que es un factor de . ${\displaystyle (x-a)}$ ${\displaystyle f(x)}$
3. Calcular el polinomio , por ejemplo, utilizando la división larga de polinomios o la división sintética . ${\textstyle g(x)={\dfrac {f(x)}{(x-a)}}}$
4. Concluya que cualquier raíz de es una raíz de . Como el grado del polinomio de es uno menos que el de , es "más sencillo" encontrar los ceros restantes estudiando . ${\displaystyle x\neq a}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Continuando el proceso hasta que el polinomio esté completamente factorizado, es decir todos sus factores son irreducibles en o . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$

Ejemplo

Encuentra los factores de ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}$

Solución : Sea el polinomio anterior ${\displaystyle p(x)}$

Término constante = 2

Coeficiente de ${\displaystyle x^{3}=1}$

Todos los factores posibles de 2 son y . Sustituyendo , obtenemos: ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0}$

Entonces, , es decir, es un factor de . Al dividir por , obtenemos ${\displaystyle (x-(-1))}$ ${\displaystyle (x+1)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle (x+1)}$

Cociente = ${\displaystyle x^{2}+6x+2}$

Por eso, ${\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}$

De estos, el factor cuadrático se puede factorizar aún más utilizando la fórmula cuadrática , que da como raíces del cuadrático Por lo tanto, los tres factores irreducibles del polinomio original son y ${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.}$ ${\displaystyle x+1,}$ ${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),}$ ${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}$

Pruebas

Se presentan aquí varias pruebas del teorema.

Si es factor de es inmediato que Entonces, en lo sucesivo solo se demostrará lo inverso. ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(a)=0.}$

Prueba 1

Esta prueba comienza verificando el enunciado para . Es decir, mostrará que para cualquier polinomio para el cual , existe un polinomio tal que . Para ello, escriba explícitamente como . Ahora observe que , por lo que . Por lo tanto, . Este caso ahora está probado. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle 0=f(0)=c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}=0}$ ${\displaystyle f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)}$

Lo que queda es demostrar el teorema para general mediante la reducción al caso. Para ello, observe que es un polinomio con raíz en . Por lo que se ha demostrado anteriormente, se sigue que para algún polinomio . Finalmente, . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x+a)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)=f((x-a)+a)=(x-a)\cdot g(x-a)}$

Prueba 2

En primer lugar, observe que siempre que y pertenezcan a cualquier anillo conmutativo (el mismo), la identidad es verdadera. Esto se demuestra multiplicando los corchetes. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2}y^{1}+x^{n-1})}$

Sea donde es cualquier anillo conmutativo. Escriba para una secuencia de coeficientes . Suponga para algún . Observe entonces que . Observe que cada sumando tiene como factor por la factorización de expresiones de la forma que se discutió anteriormente. Por lo tanto, concluya que es un factor de . ${\displaystyle f(X)\in R\left[X\right]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{i}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})}$ ${\displaystyle X-a}$ ${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle X-a}$ ${\displaystyle f(X)}$

Prueba 3

El teorema se puede demostrar mediante la división euclidiana de polinomios : Realice una división euclidiana de por para obtener donde . Como , se deduce que es constante. Finalmente, observe que . Por lo tanto . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (x-a)}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)Q(x)+R(x)}$ ${\displaystyle \deg(R)<\deg(x-a)}$ ${\displaystyle \deg(R)<\deg(x-a)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0=f(a)=R}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)Q(x)}$

La división euclidiana anterior es posible en cualquier anillo conmutativo ya que es un polinomio mónico y, por lo tanto, el algoritmo de división larga de polinomios no implica ninguna división de coeficientes. ${\displaystyle (x-a)}$

Corolario de otros teoremas

También es un corolario del teorema del resto polinomial , pero a la inversa puede usarse para demostrarlo.

Cuando los polinomios son multivariados pero los coeficientes forman un campo algebraicamente cerrado , el Nullstellensatz es una generalización significativa y profunda.

Referencias

1. Sullivan, Michael (1996), Álgebra y trigonometría , Prentice Hall, pág. 381, ISBN 0-13-370149-2
2. Sehgal, VK; Gupta, Sonal, Longman ICSE Matemáticas Clase 10 , Dorling Kindersley (India), pág. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
3. Bansal, RK, Matemáticas integrales IX , Laxmi Publications, pág. 142, ISBN 81-7008-629-9.