factor gamow

Posibilidad de superar la barrera de Coulomb

El factor Gamow , factor Sommerfeld o factor Gamow-Sommerfeld , ^[1] llamado así en honor a su descubridor George Gamow o en honor a Arnold Sommerfeld , es un factor de probabilidad de que dos partículas nucleares superen la barrera de Coulomb para sufrir reacciones nucleares, por ejemplo. en la fusión nuclear . Según la física clásica , casi no hay posibilidad de que los protones se fusionen al cruzar la barrera de Coulomb de cada uno a temperaturas que comúnmente se observan que causan fusión, como las que se encuentran en el Sol . Cuando George Gamow aplicó la mecánica cuántica al problema, descubrió que había una posibilidad significativa de que se produjera la fusión debido a la formación de túneles .

La probabilidad de que dos partículas nucleares superen sus barreras electrostáticas viene dada por la siguiente ecuación: ^[2]

${\displaystyle P_{\text{G}}(E)=e^{-{\sqrt {{E_{\text{G}}}/{E}}}}}$

¿Dónde está la energía Gamow? ${\displaystyle E_{\text{G}}}$

${\displaystyle E_{\text{G}}\equiv 2m_{\text{r}}c^{2}(\pi \alpha Z_{\text{a}}Z_{\text{b}})^{2}}$

Aquí está la masa reducida de las dos partículas. La constante es la constante de estructura fina , es la velocidad de la luz y son los respectivos números atómicos de cada partícula. ${\displaystyle m_{\text{r}}={\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Z_{\text{a}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{b}}}$

Si bien la probabilidad de superar la barrera de Coulomb aumenta rápidamente al aumentar la energía de las partículas, para una temperatura determinada, la probabilidad de que una partícula tenga dicha energía disminuye muy rápidamente, como lo describe la distribución de Maxwell-Boltzmann . Gamow descubrió que, en conjunto, estos efectos significan que para cualquier temperatura dada, las partículas que se fusionan se encuentran en su mayoría en un estrecho rango de energías dependiente de la temperatura conocido como ventana de Gamow .

Derivación

Gamow ^[3] resolvió por primera vez el caso unidimensional de túneles cuánticos utilizando la aproximación WKB . Considerando una función de onda de una partícula de masa m , tomamos el área 1 como donde se emite una onda, el área 2 como la barrera de potencial que tiene altura V y ancho l (en ), y el área 3 como su otro lado, donde se encuentra la onda. llegando, en parte transmitida y en parte reflejada. Para un número de onda k y energía E obtenemos: ${\displaystyle 0<x<l}$

${\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )}e^{-i{Et}/{\hbar }}}$

${\displaystyle \Psi _{2}=B_{1}e^{-k'x}+B_{2}e^{k'x}}$

${\displaystyle \Psi _{3}=(C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')})e^{-i{Et}/{\hbar }}}$

dónde y . Esto se resuelve para A y α dados tomando las condiciones de contorno en ambos bordes de la barrera, en y , donde ambos y su derivada deben ser iguales en ambos lados. Para , esto se resuelve fácilmente ignorando el tiempo exponencial y considerando solo la parte real (la parte imaginaria tiene el mismo comportamiento). Obtenemos, hasta factores que dependen de las fases que normalmente son de orden 1, y hasta factores del orden de (se supone que no son muy grandes, ya que V es mayor que E no marginalmente): ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}}$ ${\textstyle k'={\sqrt {2m(V-E)}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=l}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle k'l\gg 1}$ ${\textstyle {k}/{k'}={\sqrt {{E}/{(V-E)}}}}$

${\displaystyle B_{1},B_{2}\approx A}$

${\displaystyle C_{1},C_{2}\approx {\frac {1}{2}}A\cdot {\frac {k'}{k}}\cdot e^{k'l}}$

A continuación, Gamow modeló la desintegración alfa como un problema unidimensional simétrico, con una onda estacionaria entre dos barreras potenciales simétricas en y y emitiendo ondas en ambos lados exteriores de las barreras. En principio, resolver esto se puede hacer tomando la solución del primer problema, traduciéndola y pegándola a una solución idéntica reflejada alrededor . ${\displaystyle q_{0}<x<q_{0}+l}$ ${\displaystyle -(q_{0}+l)<x<-q_{0}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle x=0}$

Debido a la simetría del problema, las ondas emisoras en ambos lados deben tener amplitudes iguales ( A ), pero sus fases ( α ) pueden ser diferentes. Esto proporciona un único parámetro adicional; sin embargo, unir las dos soluciones requiere dos condiciones de contorno (tanto para la función de onda como para su derivada), por lo que en general no hay solución. En particular, reescribiendo (después de la traducción por ) como la suma de un coseno y un seno de , cada uno con un factor diferente que depende de k y α , el factor del seno debe desaparecer, para que la solución se pueda unir simétricamente. a su reflejo. Dado que el factor es en general complejo (por lo tanto, su desaparición impone dos restricciones, que representan las dos condiciones de contorno), esto en general se puede resolver agregando una parte imaginaria de k , lo que proporciona el parámetro adicional necesario. Por tanto, E también tendrá una parte imaginaria. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \Psi _{3}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle kx}$

El significado físico de esto es que la onda estacionaria en el medio decae; las ondas emitidas recién emitidas tienen, por tanto, amplitudes más pequeñas, de modo que su amplitud decae con el tiempo pero crece con la distancia. La constante de desintegración, denotada λ , se supone pequeña en comparación con . ${\displaystyle E/\hbar }$

λ se puede estimar sin resolver explícitamente, observando su efecto sobre la probabilidad de la ley de conservación actual . Como la probabilidad fluye desde el centro hacia los lados, tenemos:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-(q_{0}+l)}^{(q_{0}+l)}\Psi ^{*}\Psi \ dx=2\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{1}^{*}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}-\Psi _{1}{\frac {\partial \Psi _{1}^{*}}{\partial x}}\right),}$

Tenga en cuenta que el factor 2 se debe a que se emiten dos ondas.

Tomando , esto da: ${\displaystyle \Psi \sim e^{-\lambda t}}$

${\displaystyle \lambda \cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2(q_{0}+l)A^{2}{\frac {k'^{2}}{k^{2}}}\cdot e^{2k'l}\approx 2{\frac {\hbar }{m}}A^{2}k,}$

Dado que la dependencia cuadrática en es despreciable en relación con su dependencia exponencial, podemos escribir: ${\displaystyle k'l}$

${\displaystyle \lambda \approx {\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}{\frac {k^{2}}{k'^{2}}}\cdot e^{-2k'l}}$

Recordando que la parte imaginaria sumada a k es mucho más pequeña que la parte real, ahora podemos ignorarla y obtener:

${\displaystyle \lambda \approx {\frac {\hbar k}{m2(q_{0}+l)}}\cdot 8{\frac {E}{V-E}}\cdot e^{-2{\sqrt {2m(V-E)}}l/\hbar }}$

Tenga en cuenta que es la velocidad de la partícula, por lo que el primer factor es la velocidad clásica a la que la partícula atrapada entre las barreras las golpea. ${\displaystyle {\frac {\hbar k}{m}}}$

Finalmente, pasando al problema tridimensional, la ecuación de Schrödinger esféricamente simétrica dice (expandiendo la función de onda en armónicos esféricos y mirando el n-ésimo término): ${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\chi (r)u(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}\right)=\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}-E\right)\chi }$

Dado que equivale a aumentar el potencial y, por lo tanto, reducir sustancialmente la tasa de caída (dada su dependencia exponencial de ), nos centramos en , y obtenemos un problema muy similar al anterior con , excepto que ahora el potencial como función de r no es una función escalonada. ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {V-E}}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle \chi (r)=\Psi (r)/r}$

El efecto principal de esto sobre las amplitudes es que debemos reemplazar el argumento en el exponente, tomando una integral de sobre la distancia donde en lugar de multiplicar por l . Tomamos el potencial de Coulomb : ${\textstyle 2{\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar }$ ${\displaystyle V(r)>E}$

${\displaystyle V(r)={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$

donde es la permitividad eléctrica del vacío , e la carga del electrón , z = 2 es el número de carga de la partícula alfa y Z el número de carga del núcleo ( Z - z después de emitir la partícula). Los límites de integración son entonces donde asumimos que la energía potencial nuclear es todavía relativamente pequeña, y donde la energía potencial nuclear negativa es lo suficientemente grande como para que el potencial general sea menor que E. Así, el argumento del exponente en λ es: ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle r_{2}={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle 2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {V(r)}{E}}-1}}\,dr=2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {r_{2}}{r}}-1}}\,dr}$

Esto se puede resolver sustituyendo y luego resolviendo para θ, dando: ${\displaystyle t={\sqrt {r/r_{2}}}}$ ${\displaystyle t=cos(\theta )}$

${\displaystyle 2\cdot r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\cdot (\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar {\sqrt {E}}}}\cdot (\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})}$

dónde . Como x es pequeño, el factor dependiente de x es de orden 1. ${\displaystyle x=r_{1}/r_{2}}$

Gamow asumió , reemplazando así el factor dependiente de x por , dando: con: ${\displaystyle x\ll 1}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \lambda \sim e^{-{\sqrt {{E_{g}}/{E}}}}}$

${\displaystyle E_{g}={\frac {2\pi ^{2}m\left[z(Z-z)e^{2}\right]^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}}$

que es la misma que la fórmula dada al principio del artículo con y la constante de estructura fina . ${\displaystyle Z_{\text{a}}=z}$ ${\displaystyle Z_{\text{b}}=Z-z}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$

Para una desintegración alfa del radio , Z = 88, z = 2 y m = 4 m p , EG es aproximadamente 50  _GeV . Gamow calculó que la pendiente de con respecto a E a una energía de 5  MeV es ~ 10 ¹⁴  J ⁻¹ , en comparación con el valor experimental de ${\displaystyle \log(\lambda )}$0,7 × 10 ¹⁴  J ⁻¹ .

Referencias

1. Yoon, Jin Hee; Wong, Cheuk-Yin (9 de febrero de 2008). "Modificación relativista del factor Gamow". Revisión Física C. 61 . arXiv : nucl-th/9908079 . Código Bib : 2000PhRvC..61d4905Y. doi : 10.1103/PhysRevC.61.044905.
2. "Reacciones nucleares en las estrellas" (PDF) . Departamento de Física y Astronomía University College de Londres. Archivado desde el original (PDF) el 15 de enero de 2017 . Consultado el 12 de noviembre de 2014 .
3. Teoría cuántica del núcleo atómico, G. Gamow. Traducido al inglés de: G. Gamow, ZP, 51, 204

enlaces externos

• Modelado de la vida media alfa (Universidad Estatal de Georgia)