Factor de Debye-Waller

Concepto en cristalografía

El factor Debye-Waller (DWF), que lleva el nombre de Peter Debye e Ivar Waller , se utiliza en física de la materia condensada para describir la atenuación de la dispersión de rayos X o la dispersión coherente de neutrones causada por el movimiento térmico. ^{[1] [2]} También se le llama factor B , factor B atómico o factor de temperatura . A menudo, el "factor Debye-Waller" se utiliza como término genérico que comprende el factor Lamb-Mössbauer de dispersión de neutrones incoherente y la espectroscopia de Mössbauer .

El DWF depende del vector de dispersión q . Para un q dado , DWF( q ) da la fracción de dispersión elástica ; 1 – DWF( q ) da correspondientemente la fracción de dispersión inelástica (estrictamente hablando, esta interpretación de probabilidad no es cierta en general ^[3] ). En estudios de difracción , sólo es útil la dispersión elástica; en cristales, da lugar a distintos picos de reflexión de Bragg . Los eventos de dispersión inelástica no son deseables porque causan un fondo difuso, a menos que se analicen las energías de las partículas dispersas, en cuyo caso contienen información valiosa (por ejemplo, en la dispersión inelástica de neutrones o en la espectroscopia de pérdida de energía de electrones ).

La expresión básica para el DWF viene dada por

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}$

donde u es el desplazamiento de un centro de dispersión y denota un promedio térmico o temporal. ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Suponiendo armonía de los centros de dispersión en el material en estudio, la distribución de Boltzmann implica que se distribuye normalmente con media cero. Luego, usando por ejemplo la expresión de la función característica correspondiente , el DWF toma la forma ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-\langle [\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} ]^{2}\rangle \right)}$

Tenga en cuenta que, aunque el razonamiento anterior es clásico, lo mismo se aplica a la mecánica cuántica.

Suponiendo también la isotropía del potencial armónico, se puede escribir

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}$

donde q , u son las magnitudes (o valores absolutos) de los vectores q , u respectivamente, y es el desplazamiento cuadrático medio . En publicaciones cristalográficas, los valores de a menudo se dan donde . Tenga en cuenta que si la onda incidente tiene una longitud de onda y se dispersa elásticamente en un ángulo de , entonces ${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\langle u^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}$

En el contexto de las estructuras de proteínas , se utiliza el término factor B. El factor B se define como

${\displaystyle B={8\pi ^{2}}\langle u^{2}\rangle }$ ^[4]

Se mide en unidades de Å ² . Los factores B pueden considerarse como indicadores del movimiento vibratorio relativo de diferentes partes de la estructura. Los átomos con factores B bajos pertenecen a una parte de la estructura que está bien ordenada. Los átomos con factores B grandes generalmente pertenecen a una parte de la estructura que es muy flexible. Cada registro ATOM ( formato de archivo PDB ) de una estructura cristalina depositada en el Protein Data Bank contiene un factor B para ese átomo.

Derivación

Introducción

Los experimentos de dispersión son un método común para aprender sobre los cristales . Estos experimentos suelen implicar una sonda (por ejemplo, rayos X o neutrones ) y un sólido cristalino. Una sonda bien caracterizada que se propaga hacia el cristal puede interactuar y dispersarse de una manera particular. Las expresiones matemáticas que relacionan el patrón de dispersión, las propiedades de la sonda, las propiedades del aparato experimental y las propiedades del cristal permiten derivar las características deseadas de la muestra cristalina.

La siguiente derivación se basa en el capítulo 14 de The Oxford Solid State Basics de Simon ^[5] y en el informe Atomic Displacement Parameter Nomenclature de Trueblood et al. ^[6] (disponible en #Enlaces externos). Se recomienda consultar estas fuentes para una discusión más explícita. Los antecedentes sobre la mecánica cuántica involucrada se pueden encontrar en Modern Quantum Mechanics de Sakurai y Napolitano . ^[7]

Los experimentos de dispersión a menudo consisten en una partícula con momento cristalino inicial que incide sobre un sólido. La partícula atraviesa un potencial distribuido en el espacio, y sale con impulso cristalino . Esta situación se describe mediante la regla de oro de Fermi , que da la probabilidad de transición por unidad de tiempo, al estado propio de energía desde el estado propio de energía debido a la perturbación débil causada por nuestro potencial . ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\vec {k}}'}$ ${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})}$ ${\displaystyle E_{{\vec {k}}'}}$ ${\displaystyle E_{\vec {k}}}$ ${\displaystyle V({\vec {r}})}$

${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})={\frac {2\pi }{\hbar }}\left\vert \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle \right\vert ^{2}\delta (E_{{\vec {k}}'}-E_{\vec {k}})}$. (1)

Al insertar un conjunto completo de estados de posición y luego utilizar la expresión de onda plana que relaciona la posición y el momento, encontramos que el elemento de la matriz es simplemente una transformada de Fourier del potencial.

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle ={\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {r}}}}$. (2)

Arriba, la longitud de la muestra se indica con . Ahora suponemos que nuestro sólido es un cristal periódico con cada celda unitaria marcada por un vector de posición de la red . La posición dentro de una celda unitaria viene dada por un vector de modo que la posición general en el cristal puede expresarse como . Debido a la invariancia traslacional de nuestras celdas unitarias, la distribución potencial de cada celda es idéntica y . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\vec {R}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {R}}+{\vec {x}}}$ ${\displaystyle V({\vec {x}})=V({\vec {x}}+{\vec {R}})}$

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle =\left[{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{\vec {R}}e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {R}}}\right]\left[\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {x}}}\right]}$. (3)

ecuación de laue

Según la fórmula de suma de Poisson :

${\displaystyle \sum _{\vec {R}}e^{-i{\vec {\kappa }}\cdot {\vec {R}}}={\frac {(2\pi )^{D}}{v}}\sum _{\vec {q}}\delta ({\vec {\kappa }}-{\vec {q}})}$. (4)

${\displaystyle {\vec {q}}}$es un vector reticular recíproco del potencial periódico y es el volumen de su celda unitaria . Comparando (3) y (4), encontramos que se debe satisfacer la ecuación de Laue para que se produzca dispersión: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\vec {k}}'-{\vec {k}}={\vec {q}}}$. (5)

(5) es una declaración de la conservación del momento cristalino. Las partículas dispersas en un cristal experimentan un cambio en el vector de onda igual al vector reticular recíproco del cristal. Cuando lo hacen, la contribución al elemento de la matriz es simplemente una constante finita. Por tanto, encontramos un vínculo importante entre las partículas dispersas y el cristal en dispersión. La condición de Laue, que establece que se debe conservar el momento del cristal, es equivalente a la condición de Bragg , que exige una interferencia constructiva para las partículas dispersas. Ahora que vemos cómo el primer factor de (3) determina si las partículas incidentes se dispersan o no, consideremos cómo influye el segundo factor en la dispersión. ${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta }$

factor de estructura

El segundo término en el lado derecho de (3) es el factor de estructura .

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$. (6)

Para un vector reticular recíproco dado (correspondiente a una familia de planos reticulares etiquetados por índices de Miller ), la intensidad de las partículas dispersas es proporcional al cuadrado del factor de estructura. ${\displaystyle (hkl)}$

${\displaystyle I_{(hkl)}\propto |F_{(hkl)}|^{2}}$. (7)

En (6) se encuentran ocultos aspectos detallados de la estructura cristalina que vale la pena distinguir y discutir.

Factor de Debye-Waller

La consideración del factor de estructura (y nuestra suposición sobre la invariancia traslacional) se complica por el hecho de que los átomos en el cristal pueden desplazarse de sus respectivos sitios de red. Tomando el potencial de dispersión como proporcional a la densidad de la materia en dispersión, reescribimos el factor de estructura.

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\langle \rho ({\vec {x}})\rangle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$. (8)

A partir de aquí se entiende que la integral se toma sobre la celda unitaria. es la densidad de la materia en dispersión. Los corchetes angulares indican un promedio temporal de cada celda unitaria seguido de un promedio espacial sobre cada celda unitaria. Suponemos además que cada átomo se desplaza independientemente de los demás átomos. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}})}$

${\displaystyle \langle \rho ({\vec {x}})\rangle \simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}\int d^{3}{\vec {x}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$. (9)

El número de átomos en la celda unitaria es y el factor de ocupación del átomo es . representa el punto en la celda unitaria para el cual nos gustaría saber la densidad de la materia en dispersión. es la densidad de la materia que se dispersa desde el átomo en una posición separada de la posición nuclear por un vector . es la función de densidad de probabilidad para el desplazamiento. es el sitio de referencia de la red desde el cual el átomo puede ser desplazado a una nueva posición . Si es suficientemente simétrico (por ejemplo, esféricamente simétrico), es simplemente la posición nuclear media. Cuando se considera la dispersión de rayos X, la densidad de la materia en dispersión consiste en la densidad de electrones alrededor del núcleo. Para la dispersión de neutrones, tenemos funciones ponderadas por una longitud de dispersión para el núcleo respectivo (ver Pseudopotencial de Fermi ). Tenga en cuenta que en la discusión anterior supusimos que los átomos no eran deformables. Teniendo esto en cuenta, (9) puede sustituirse en la expresión (8) para el factor de estructura. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$ ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle F({\vec {q}})\simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}F_{k}({\vec {q}})}$; . (10) ${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\left[\int d^{3}{\vec {r}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$

Ahora vemos que el factor de estructura general se puede representar como una suma ponderada de factores de estructura correspondientes a cada átomo. Establece el desplazamiento entre la ubicación en el espacio de la que nos gustaría conocer la densidad de dispersión y la posición de referencia del núcleo igual a una nueva variable . Hacer lo mismo para el desplazamiento entre las posiciones nucleares desplazadas y de referencia . Sustituir en (10). ${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})}$ ${\displaystyle {\vec {t}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k0}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0}}$

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left\{\int d^{3}{\vec {t}}\left[\int d^{3}{\vec {u}}\rho _{k}({\vec {t}}-{\vec {u}})p_{k}({\vec {u}})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {t}}}\right\}e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$. (11)

Dentro de los corchetes de (11), convolucionamos la densidad de la materia dispersa del átomo con la función de densidad de probabilidad para algún desplazamiento nuclear. Luego, entre llaves, transformamos de Fourier la convolución resultante. El último paso es multiplicar por una fase dependiendo de la posición de referencia (por ejemplo, media) del átomo . Pero, según el teorema de la convolución , la transformación de Fourier de una convolución es lo mismo que multiplicar las dos funciones transformadas de Fourier. Establezca el desplazamiento entre la ubicación en el espacio para la cual nos gustaría conocer la densidad de dispersión y la posición del núcleo igual a una nueva variable . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}={\vec {t}}-{\vec {u}}}$

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$. (12)

Sustituye (12) en (10).

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$. (13)

Eso es:

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}f_{k}({\vec {q}})T_{k}({\vec {q}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$; , . (14) ${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}}$ ${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}}$

${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})}$es el factor de forma atómica del átomo ; Determina cómo la distribución de la materia que se dispersa alrededor de la posición nuclear influye en la dispersión. es el factor atómico de Debye-Waller; Determina cómo la propensión al desplazamiento nuclear desde la posición de la red de referencia influye en la dispersión. La expresión dada al inicio del artículo es diferente debido a 1) la decisión de tomar el promedio térmico o temporal, 2) la elección arbitraria del signo negativo en el exponencial, y 3) la decisión de elevar al cuadrado el factor (que conecta más directamente a la intensidad observada). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})}$ ${\displaystyle {\text{DWF}}}$

Parámetro de desplazamiento anisotrópico, U

Una simplificación común de (14) es la aproximación armónica, en la que la función de densidad de probabilidad se modela como gaussiana . Bajo esta aproximación, se ignora el desorden de desplazamiento estático y se supone que los desplazamientos atómicos están determinados enteramente por el movimiento (en otros lugares se han considerado modelos alternativos en los que la aproximación gaussiana no es válida ^[8] ).

${\displaystyle p({\vec {u}})\equiv {\sqrt {\frac {\mathrm {det} ({\mathsf {U^{-1}}})}{(2\pi )^{3}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}^{-1}{\vec {u}}}}$; ; . (15) ${\displaystyle {\vec {u}}\equiv \sum _{j=1}^{3}\Delta \xi ^{j}a^{j}{\vec {a}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}^{jl}\equiv \langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle }$

Hemos eliminado el índice atómico. pertenece a la red directa mientras que pertenecería a la red recíproca. Al elegir la base adimensional conveniente , garantizamos que tendrá unidades de longitud y describirá el desplazamiento. El tensor en (15) es el parámetro de desplazamiento anisotrópico. Con dimensión (longitud) , está asociada con desplazamientos cuadráticos medios. Para el desplazamiento cuadrático medio a lo largo del vector unitario , simplemente tome . Los esquemas relacionados utilizan los parámetros o B en lugar de (ver Trueblood et al. ^[6] para una discusión más completa). Finalmente, podemos encontrar la relación entre el factor de Debye-Waller y el parámetro de desplazamiento anisotrópico. ${\displaystyle {\vec {a}}_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}^{j}}$ ${\displaystyle a^{j}{\vec {a}}_{j}}$ ${\displaystyle \Delta \xi ^{j}}$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ ${\displaystyle ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\hat {n}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$

${\displaystyle T({\vec {q}})=\langle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}\langle ({\vec {q}}\cdot {\vec {u}})^{2}\rangle }=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}\langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle a^{l}q_{l}}=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}{\mathsf {U}}^{jl}a^{l}q_{l}}}$. (dieciséis)

A partir de las ecuaciones (7) y (14), el factor de Debye-Waller contribuye a la intensidad observada de un experimento de difracción. Y con base en (16), vemos que nuestro factor de desplazamiento anisotrópico es responsable de determinar . Además, (15) muestra que puede estar directamente relacionado con la función de densidad de probabilidad para un desplazamiento nuclear desde la posición media. Como resultado, es posible realizar un experimento de dispersión en un cristal, ajustar el espectro resultante para los distintos valores atómicos y derivar la tendencia de cada átomo al desplazamiento nuclear . ${\displaystyle T({\vec {q}})}$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ ${\displaystyle T({\vec {q}})}$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ ${\displaystyle p}$

Aplicaciones

Un modelo de elipsoide térmico con una probabilidad del 50 % de H ₈ Si ₈ O ₁₂ construido con ORTEP-3 ^[9] a partir de un archivo .cif en ICSD. ^[10] El análisis posterior a un experimento de difracción consiste en ajustar al espectro observado las partículas dispersas. U puede refinarse para cada átomo distinto durante el proceso. Para el modelo de probabilidad del 50% anterior, en la ecuación (15). Esto define una superficie de desplazamientos nucleares para cada U. Por lo tanto, esperamos que cada elipsoide varíe dependiendo del tipo y entorno de su átomo. Tenga en cuenta que las superficies representan desplazamientos nucleares; Los modelos de elipsoides térmicos no deben confundirse con otros modelos (por ejemplo, densidad de electrones, radios de Van der Waals). Se muestran menos de 28 átomos debido a la redundancia por consideraciones de simetría. ${\displaystyle p({\vec {u}})=0.5}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Los parámetros de desplazamiento anisotrópico suelen ser útiles para visualizar la materia. A partir de (15), podemos definir elipsoides de probabilidad constante para los cuales , donde es alguna constante. Estos " elipsoides de vibración " se han utilizado para ilustrar estructuras cristalinas. ^[9] Alternativamente, las superficies de desplazamiento cuadrático medio a lo largo pueden definirse mediante . Consulte los enlaces externos "Galería de ORTEP con trazado de rayos", "artículo de 2005 de Rowsell et al ." y "artículo de 2009 de Korostelev y Noller" para obtener más imágenes. Los parámetros de desplazamiento anisotrópico también se refinan en programas (por ejemplo, GSAS-II ^[11] ) para resolver los espectros de dispersión durante el refinamiento de Rietveld . ${\displaystyle \gamma ={\vec {u}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\vec {u}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \langle {\vec {u}}^{2}\rangle _{\hat {n}}={\hat {n}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\hat {n}}}$

Referencias

1. Adiós, Peter (1913). "Interferencia de Röntgenstrahlen und Wärmebewegung". Annalen der Physik (en alemán). 348 (1): 49–92. Código bibliográfico : 1913AnP...348...49D. doi : 10.1002/andp.19133480105.
2. Waller, Ivar (1923). "Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen". Zeitschrift für Physik A (en alemán). 17 (1): 398–408. Código Bib : 1923ZPhy...17..398W. doi :10.1007/BF01328696. S2CID  121962265.
3. Lipkin, Harry (2004). "Física de los factores de Debye-Waller". arXiv : cond-mat/0405023v1 .
4. Bahar, Ivet; Atilgan, Ali Rana; Erman, Burak (1997). "Evaluación directa de fluctuaciones térmicas en proteínas mediante un potencial armónico de un solo parámetro". Plegado y Diseño . 2 (3): 173–181. doi :10.1016/S1359-0278(97)00024-2. PMID  9218955.
5. Simón, Steven H. (20 de junio de 2013). Conceptos básicos del estado sólido de Oxford . OUP Oxford. ISBN 9780199680771. OCLC  1038069097.
6. Trueblood, KN; Bürgi, HB; Burzlaff, H.; Dunitz, JD; Gramaccioli, CM; Schulz, HH; Shmueli, U.; Abrahams, Carolina del Sur (1 de septiembre de 1996). "Nomenclatura de parámetros de desplazamiento atómico. Informe de un Subcomité de Nomenclatura de parámetros de desplazamiento atómico". Acta Crystallographica Sección A. 52 (5): 770–781. doi : 10.1107/s0108767396005697 . ISSN  0108-7673.
7. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (21 de septiembre de 2017). Mecánica cuántica moderna . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/9781108499996. ISBN 9781108499996.
8. "3. Más allá de la aproximación gaussiana". ww1.iucr.org . Consultado el 15 de mayo de 2019 .^{[ enlace muerto permanente ]}
9. Burnett, MN; Johnson, CK (1 de julio de 1996). ORTEP-III: Programa de trazado de elipsoides térmicos de Oak Ridge para ilustraciones de estructuras cristalinas (Reporte). doi :10.2172/369685. OSTI  369685.
10. Törnroos, KW (15 de noviembre de 1994). "Octahidridosilasesquioxano determinado por difracción de neutrones". Acta Crystallographica Sección C. 50 (11): 1646-1648. doi :10.1107/S0108270194005342.
11. "Ayuda para GSAS-II". subversion.xray.aps.anl.gov . Consultado el 30 de abril de 2019 .

enlaces externos

• Artículo de 2019 de Cristiano Malica y Dal Corso. Introducción al factor de Debye-Waller y sus aplicaciones dentro de la teoría del funcional de densidad - Factor B atómico dependiente de la temperatura: un cálculo ab initio
• Galería de ORTEP con trazado de rayos - Universidad de Glasgow
• Artículo de 2005 de Rowsell et al . que representa elipsoides térmicos de estructura metal-orgánica - [1]
• Artículo de 2009 de Korostelev y Noller que describe elipsoides térmicos de ARNt: Análisis de la dinámica estructural en el ribosoma mediante refinamiento cristalográfico TLS
• Acta Crystallogr de 1956 de Cruickshank . artículo - El análisis del movimiento térmico anisotrópico de moléculas en cristales.
• Informe de 1996 de Trueblood et al. - Nomenclatura de parámetros de desplazamiento atómico Archivado el 30 de abril de 2016 en Wayback Machine.