Ecuaciones de Laue

Ecuaciones que describen la difracción en una red cristalina

Ecuación de Laue

En cristalografía y física del estado sólido , las ecuaciones de Laue relacionan las ondas entrantes con las ondas salientes en el proceso de dispersión elástica , donde la energía del fotón o la frecuencia temporal de la luz no cambia al dispersarse por una red cristalina . Reciben su nombre en honor al físico Max von Laue (1879-1960).

Las ecuaciones de Laue se pueden escribir como la condición de dispersión elástica de ondas por una red cristalina, donde es el vector de dispersión , , son vectores de onda entrantes y salientes (al cristal y desde el cristal, por dispersión), y es un vector de red cristalina recíproca . Debido a la dispersión elástica , tres vectores. , , y , forman un rombo si se satisface la ecuación. Si la dispersión satisface esta ecuación, todos los puntos de la red cristalina dispersan la onda entrante hacia la dirección de dispersión (la dirección a lo largo de ). Si la ecuación no se satisface, entonces para cualquier dirección de dispersión, solo algunos puntos de la red dispersan la onda entrante. (Esta interpretación física de la ecuación se basa en el supuesto de que la dispersión en un punto de la red se realiza de manera que la onda dispersante y la onda entrante tienen la misma fase en el punto). También puede verse como la conservación del momento , ya que es el vector de onda para una onda plana asociada con planos de red cristalina paralelos. (Los frentes de onda de la onda plana coinciden con estos planos de red). ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} _{\mathrm {out} }=\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {in} }+\hbar \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Las ecuaciones son equivalentes a la ley de Bragg ; las ecuaciones de Laue son ecuaciones vectoriales mientras que la ley de Bragg está en una forma que es más fácil de resolver, pero ambas dicen el mismo contenido.

Las ecuaciones de Laue

Sean vectores de traslación primitivos (abreviadamente llamados vectores primitivos) de una red cristalina , donde los átomos se encuentran en puntos de la red descritos por con , y como números enteros cualesquiera . (Por lo tanto, indica que cada punto de la red es una combinación lineal entera de los vectores primitivos). ${\displaystyle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \,,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Sea el vector de onda de un haz o una onda entrante (incidente) hacia la red cristalina y sea el vector de onda de un haz o una onda saliente (difractado) desde . Entonces el vector , llamado vector de dispersión o vector de onda transferida , mide la diferencia entre los vectores de onda entrante y saliente. ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k} }$

Las tres condiciones que debe satisfacer el vector de dispersión, llamadas ecuaciones de Laue , son las siguientes: ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} =2\pi h}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} =2\pi k}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} =2\pi l}$

donde los números son números enteros . Cada elección de números enteros , llamados índices de Miller , determina un vector de dispersión . Por lo tanto, hay infinitos vectores de dispersión que satisfacen las ecuaciones de Laue, ya que hay infinitas opciones de índices de Miller . Los vectores de dispersión permitidos forman una red , llamada red recíproca de la red cristalina , ya que cada uno indica un punto de . (Este es el significado de las ecuaciones de Laue como se muestra a continuación). Esta condición permite que un solo haz incidente se difracte en infinitas direcciones. Sin embargo, los haces correspondientes a altos índices de Miller son muy débiles y no se pueden observar. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar una base de la red recíproca (ya que cada observado indica un punto de la red recíproca del cristal bajo la medición), a partir de la cual se puede determinar la red cristalina. Este es el principio de la cristalografía de rayos X. ${\displaystyle h,k,l}$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

Derivación matemática

Para una onda plana incidente a una sola frecuencia (y la frecuencia angular ) en un cristal, las ondas difractadas del cristal pueden considerarse como la suma de las ondas planas salientes del cristal. (De hecho, cualquier onda puede representarse como la suma de ondas planas, consulte Óptica de Fourier ). La onda incidente y una de las ondas planas de la onda difractada se representan como ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }),}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

donde y son vectores de onda para las ondas planas incidentes y salientes, es el vector de posición , y es un escalar que representa el tiempo, y y son fases iniciales para las ondas. Para simplificar, tomamos las ondas como escalares aquí, aunque el caso principal de interés es un campo electromagnético, que es un vector . Podemos pensar en estas ondas escalares como componentes de ondas vectoriales a lo largo de un cierto eje ( eje x , y o z ) del sistema de coordenadas cartesianas . ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {out} }}$

Las ondas incidentes y difractadas se propagan a través del espacio de forma independiente, excepto en puntos de la red del cristal, donde resuenan con los osciladores, por lo que las fases de estas ondas deben coincidir. ^[1] En cada punto de la red , tenemos ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} })=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

o equivalentemente, debemos tener

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }=\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n,}$

Para algún entero , eso depende del punto . Como esta ecuación se cumple en , en algún entero . Por lo tanto ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }=\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n'}$ ${\displaystyle n'}$

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n.}$

(Aún usamos en lugar de ya que ambas notaciones indican esencialmente algún número entero). Al reorganizar los términos, obtenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-n')}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$

Ahora, basta con comprobar que esta condición se cumple en los vectores primitivos (que es exactamente lo que dicen las ecuaciones de Laue), porque, en cualquier punto de la red , tenemos ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=p\,(2\pi h)+q\,(2\pi k)+r\,(2\pi l)=2\pi (ph+qk+rl)=2\pi n,}$

donde es el entero . La afirmación de que cada paréntesis, p. ej ., debe ser un múltiplo de (es decir, cada ecuación de Laue) está justificada ya que, de lo contrario, no se cumple para ningún entero arbitrario . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ph+qk+rl}$ ${\displaystyle (\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=2\pi n}$ ${\displaystyle p,q,r}$

Esto garantiza que si se satisfacen las ecuaciones de Laue, entonces la onda entrante y saliente (difractada) tienen la misma fase en cada punto de la red cristalina, por lo que las oscilaciones de los átomos del cristal, que siguen a la onda entrante, pueden al mismo tiempo generar la onda saliente en la misma fase de la onda entrante.

Relación con las redes recíprocas y la ley de Bragg

Si con , , como números enteros representa la red recíproca para una red cristalina (definida por ) en el espacio real, sabemos que con un número entero debido a la ortogonalidad conocida entre los vectores primitivos para la red recíproca y aquellos para la red cristalina. (Usamos la definición física, no la del cristalógrafo, para los vectores recíprocos de la red que da el factor de .) Pero note que esto no es nada más que las ecuaciones de Laue. Por lo tanto, identificamos , significa que los vectores de dispersión permitidos son aquellos iguales a los vectores recíprocos de la red para un cristal en difracción, y este es el significado de las ecuaciones de Laue. Este hecho a veces se llama la condición de Laue . En este sentido, los patrones de difracción son una forma de medir experimentalmente la red recíproca para una red cristalina. ${\displaystyle \mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q\mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

La condición de Laue se puede reescribir de la siguiente manera: ^[2]

 ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Aplicando la condición de dispersión elástica (En otras palabras, las ondas entrantes y difractadas están en la misma frecuencia (temporal). También podemos decir que la energía por fotón no cambia). ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$

A la ecuación anterior, obtenemos

${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2},}$

${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}.}$

La segunda ecuación se obtiene a partir de la primera ecuación utilizando . ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$

El resultado (también ) es una ecuación para un plano (como el conjunto de todos los puntos indicados al satisfacer esta ecuación) ya que su ecuación equivalente es una ecuación plana en geometría. Otra ecuación equivalente, que puede ser más fácil de entender, es (también ). Esto indica el plano que es perpendicular a la línea recta entre el origen reticular recíproco y y ubicado en el medio de la línea. Tal plano se llama plano de Bragg. ^[3] Este plano puede entenderse ya que para que ocurra la dispersión. (Es la condición de Laue, equivalente a las ecuaciones de Laue). Y, la dispersión elástica se ha asumido de modo que , , y forman un rombo . Cada uno es por definición el vector de onda de una onda plana en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad sigue la red cristalina (por ejemplo, la función que representa la densidad electrónica del cristal), los frentes de onda de cada onda plana en la serie de Fourier son perpendiculares al vector de onda de la onda plana , y estos frentes de onda coinciden con planos de red cristalina paralelos. Esto significa que los rayos X son aparentemente "reflejados" en planos reticulares cristalinos paralelos perpendiculares en el mismo ángulo que su ángulo de aproximación al cristal con respecto a los planos reticulares; en la dispersión elástica de luz ( normalmente rayos X ) -cristal, los planos reticulares cristalinos paralelos perpendiculares a un vector reticular recíproco para la red cristalina actúan como espejos paralelos para la luz que, junto con los vectores de onda entrantes (al cristal) y salientes (del cristal por dispersión) forman un rombo. ${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$ ${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot (2{{\mathbf {k} }_{\text{out}}}-\mathbf {G} )=0}$ ${\displaystyle {{\mathbf {k} }_{\text{out}}}\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle (-{{\mathbf {k} }_{\text{in}}})\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Dado que el ángulo entre y es , (debido a la dispersión tipo espejo, el ángulo entre y es también .) . Recordemos, con como la longitud de onda de la luz (normalmente rayos X), y con como la distancia entre planos de red cristalina paralelos adyacentes y como un número entero. Con estos, ahora derivamos la ley de Bragg que es equivalente a las ecuaciones de Laue (también llamada condición de Laue): ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\mathbf {G} |={\frac {2\pi }{d}}n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}}$

Referencias

• Kittel, C. (1976). Introducción a la física del estado sólido , Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Notas

1. De manera más realista, los osciladores de la red deberían estar retrasados ​​con respecto a la onda entrante, y la onda saliente debería estar retrasada con respecto al oscilador. Pero como el retraso es el mismo en todos los puntos de la red, el único efecto de esta corrección sería un cambio global de fase de la onda saliente, que no estamos tomando en consideración.
2. Chaikin, PM; Lubensky, TC Principios de la física de la materia condensada . p. 47. ISBN 0521794501.
3. Ashcroft, Neil; Mermin, Nathaniel (1976). Física del estado sólido . Saunders College Publishing. pág. 99. ISBN 0030839939.