Fórmula de Feynman-Kac

Fórmula que relaciona los procesos estocásticos con las ecuaciones diferenciales parciales

La fórmula de Feynman-Kac , llamada así por Richard Feynman y Mark Kac , establece un vínculo entre las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y los procesos estocásticos . En 1947, cuando Kac y Feynman eran ambos miembros de la facultad de la Universidad de Cornell , Kac asistió a una presentación de Feynman y comentó que los dos estaban trabajando en lo mismo desde diferentes direcciones. ^{[1] La fórmula de Feynman-Kac resultó, que prueba rigurosamente el caso de valor real de} las integrales de trayectoria de Feynman . El caso complejo, que ocurre cuando se incluye el espín de una partícula, sigue siendo una cuestión abierta. ^[2]

Ofrece un método para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales mediante la simulación de trayectorias aleatorias de un proceso estocástico. A la inversa, una clase importante de expectativas de procesos aleatorios se pueden calcular mediante métodos deterministas.

Teorema

Considere la ecuación diferencial parcial definida para todos y , sujeta a la condición terminal donde son funciones conocidas, es un parámetro y es la incógnita. Entonces la fórmula de Feynman-Kac se expresa como una esperanza condicional bajo la medida de probabilidad $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$ $${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$$ ${\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,\mathrm {d} \tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{\tau }V(X_{s},s)\,\mathrm {d} s}f(X_{\tau },\tau )\,\mathrm {d} \tau \,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

donde es un proceso de Itô satisfactorio y un proceso de Wiener (también llamado movimiento browniano ) bajo . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q},}$$ ${\displaystyle W_{t}^{Q}}$ ${\displaystyle Q}$

Interpretación intuitiva

Supongamos que la posición de una partícula evoluciona según el proceso de difusión. Supongamos que la partícula incurre en un "costo" a una tasa de en una ubicación en un tiempo . Supongamos que incurre en un costo final en . ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q}.}$$ ${\displaystyle f(X_{s},s)}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi (X_{T})}$

Además, permita que la partícula se descomponga. Si la partícula está en una ubicación en el momento , entonces se desintegra a una velocidad . Una vez que la partícula se ha desintegrado, todos los costos futuros son cero. ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle V(X_{s},s)}$

Entonces, ¿cuál es el costo esperado para viajar, si la partícula comienza en ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle (t,X_{t}=x).}$

Prueba parcial

La demostración de que la fórmula anterior es una solución de la ecuación diferencial es larga y difícil y no se presenta aquí. Sin embargo, es razonablemente sencillo demostrar que, si existe una solución , debe tener la forma anterior. La demostración de ese resultado menor es la siguiente:

Sea la solución de la ecuación diferencial parcial anterior. Aplicando la regla del producto para procesos de Itô al proceso se obtiene: ${\displaystyle u(x,t)}$ $${\displaystyle Y(s)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{s}={}&d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)u(X_{s},s)+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}$$

Dado que el tercer término es y se puede omitir, también tenemos que $${\displaystyle d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)=-V(X_{s},s)\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,ds,}$$ ${\displaystyle O(dt\,du)}$ $${\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)dr\right)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{s},s)ds.}$$

Aplicando el lema de Itô a , se deduce que ${\displaystyle du(X_{s},s)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{s}={}&\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}$$

El primer término contiene, entre paréntesis, la ecuación diferencial parcial anterior y, por lo tanto, es cero. Lo que queda es: $${\displaystyle dY_{s}=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$$

Integrando esta ecuación de a , se concluye que: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$$

Al tomar expectativas, condicionadas a , y observar que el lado derecho es una integral de Itô , que tiene expectativa cero, ^[3] se deduce que: ${\displaystyle X_{t}=x}$ $${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).}$$

El resultado deseado se obtiene observando que: y finalmente $${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$$ $${\displaystyle u(x,t)=E\left[\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$$

Observaciones

• La prueba anterior de que una solución debe tener la forma dada es esencialmente la de ^[4] con modificaciones para tener en cuenta . ${\displaystyle f(x,t)}$
• La fórmula de expectativa anterior también es válida para difusiones de Itô N -dimensionales. La ecuación diferencial parcial correspondiente para se convierte en: ^[5] donde, es decir , donde denota la transpuesta de . ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$ $${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$$ ${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \sigma }$
• Más sucintamente, siendo el generador infinitesimal del proceso de difusión, ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+Au-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$
• Esta expectativa puede luego aproximarse utilizando métodos de Monte Carlo o cuasi-Monte Carlo .
• Cuando Kac publicó originalmente la fórmula de Feynman-Kac en 1949, ^[6] se presentó como una fórmula para determinar la distribución de ciertos funcionales de Wiener. Supongamos que deseamos encontrar el valor esperado de la función en el caso en que x (τ) es alguna realización de un proceso de difusión que comienza en x (0) = 0 . La fórmula de Feynman-Kac dice que esta expectativa es equivalente a la integral de una solución a una ecuación de difusión. Específicamente, bajo las condiciones en que , donde w ( x , 0) = δ ( x ) y $${\displaystyle \exp \left(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)}$$ ${\displaystyle uV(x)\geq 0}$ $${\displaystyle E\left[\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}$$

La fórmula de Feynman–Kac también puede interpretarse como un método para evaluar integrales funcionales de una determinada forma. Si donde la integral se toma sobre todos los recorridos aleatorios , entonces donde w ( x , t ) es una solución de la ecuación diferencial parcial parabólica con condición inicial w ( x , 0) = f ( x ) . $${\displaystyle I=\int f(x(0))\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt\right)g(x(t))\,Dx}$$ $${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$$

Aplicaciones

Finanzas

En finanzas cuantitativas , la fórmula de Feynman-Kac se utiliza para calcular de manera eficiente soluciones a la ecuación de Black-Scholes para fijar el precio de las opciones sobre acciones ^[7] y los precios de los bonos cupón cero en modelos de estructura temporal afín .

Por ejemplo, considere el precio de una acción que experimenta un movimiento browniano geométrico donde es la tasa de interés libre de riesgo y es la volatilidad. Equivalentemente, por el lema de Itô, Ahora considere una opción de compra europea sobre una que vence en el tiempo con strike . Al vencimiento, vale Entonces, el precio neutral al riesgo de la opción, en el tiempo y el precio de la acción , es Introduciendo en la fórmula de Feynman-Kac, obtenemos la ecuación de Black-Scholes: donde De manera más general, considere una opción que vence en el tiempo con un pago . El mismo cálculo muestra que su precio satisface Algunas otras opciones como la opción americana no tienen un vencimiento fijo. Algunas opciones tienen un valor al vencimiento determinado por los precios pasados ​​de las acciones . Por ejemplo, una opción promedio tiene un pago que no está determinado por el precio subyacente al vencimiento sino por el precio subyacente promedio durante un período de tiempo predeterminado. Para estos, la fórmula de Feynman-Kac no se aplica directamente. ${\displaystyle S_{t}}$ $${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t})S_{t}}$$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ $${\displaystyle d\ln S_{t}=\left(r_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\sigma _{t}\,dW_{t}.}$$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (X_{T}-K)^{+}.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}r_{s}ds}(S_{T}-K)^{+}|\ln S_{t}=\ln x\right].}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=(x-K)^{+}\end{cases}}}$$ ${\textstyle A=(r_{t}-\sigma _{t}^{2}/2)\partial _{\ln x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\partial _{\ln x}^{2}=r_{t}x\partial _{x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}x^{2}\partial _{x}^{2}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g(S_{T})}$ ${\displaystyle u(x,t)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=g(x).\end{cases}}}$$

Mecánica cuántica

En química cuántica , se utiliza para resolver la ecuación de Schrödinger con el método de Monte Carlo de difusión pura . ^[8]

Véase también

• Lema de Itô
• Desigualdad de Kunita-Watanabe
• Teorema de Girsanov
• Ecuación inversa de Kolmogorov
• Ecuación directa de Kolmogorov (también conocida como ecuación de Fokker-Planck)
• Mecánica estocástica

Referencias

1. Kac, Mark (1987). Enigmas del azar: una autobiografía. University of California Press. págs. 115-16. ISBN 0-520-05986-7.
2. Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Física cuántica: un punto de vista funcional integral (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. págs. 43-44. doi :10.1007/978-1-4612-4728-9. ISBN 978-0-387-96476-8. Recuperado el 13 de abril de 2021 .
3. Øksendal, Bernt (2003). "Teorema 3.2.1.(iii)". Ecuaciones diferenciales estocásticas. Introducción con aplicaciones (6.ª ed.). Springer-Verlag. pág. 30. ISBN 3540047581.
4. "PDE para Finanzas".
5. Véase Pham, Huyên (2009). Control y optimización estocástica en tiempo continuo con aplicaciones financieras . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-10044-4.
6. Kac, Mark (1949). "Sobre distribuciones de ciertas funciones de Wiener". Transactions of the American Mathematical Society . 65 (1): 1–13. doi : 10.2307/1990512 . JSTOR  1990512.Este artículo se reimprimió en Baclawski, K.; Donsker, MD, eds. (1979). Mark Kac: Probability, Number Theory, and Statistical Physics, Selected Papers . Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. págs. 268–280. ISBN 0-262-11067-9.
7. Paolo Brandimarte (6 de junio de 2013). "Capítulo 1. Motivación". Métodos numéricos en finanzas y economía: una introducción basada en MATLAB. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62557-6.
8. Caffarel, Michel; Claverie, Pierre (15 de enero de 1988). "Desarrollo de un método de Monte Carlo cuántico de difusión pura utilizando una fórmula de Feynman–Kac totalmente generalizada. I. Formalismo". The Journal of Chemical Physics . 88 (2): 1088–1099. Bibcode :1988JChPh..88.1088C. doi :10.1063/1.454227.

Lectura adicional

• Simon, Barry (1979). Integración funcional y física cuántica . Academic Press.
• Hall, BC (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Springer.