Fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel

En matemáticas, la fórmula de masas de Smith-Minkowski-Siegel (o fórmula de masas de Minkowski-Siegel ) es una fórmula para la suma de los pesos de las redes ( formas cuadráticas ) de un género , ponderadas por los recíprocos de los órdenes de sus grupos de automorfismos. . La fórmula de la masa a menudo se da para formas cuadráticas integrales, aunque se puede generalizar a formas cuadráticas en cualquier campo numérico algebraico.

En 0 y 1 dimensiones la fórmula de masa es trivial, en 2 dimensiones es esencialmente equivalente a las fórmulas de números de clase de Dirichlet para campos cuadráticos imaginarios , y en 3 dimensiones Gotthold Eisenstein dio algunos resultados parciales . La fórmula de la masa en dimensiones superiores fue dada por primera vez por HJS Smith  (1867), aunque sus resultados fueron olvidados durante muchos años. Fue redescubierto por H. Minkowski (1885), y CL Siegel  (1935)  encontró y corrigió un error en el artículo de Minkowski .

Muchas versiones publicadas de la fórmula de masas tienen errores; en particular, las densidades 2-ádicas son difíciles de acertar y a veces se olvida que los casos triviales de las dimensiones 0 y 1 son diferentes de los casos de la dimensión al menos 2. Conway y Sloane (1988) dan una explicación expositiva y precisa. enunciado de la fórmula de masas para formas cuadráticas integrales, que es confiable porque lo verifican en una gran cantidad de casos explícitos.

Para pruebas recientes de la fórmula de masa, consulte (Kitaoka 1999) y (Eskin, Rudnick y Sarnak 1991).

La fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel es esencialmente el término constante de la fórmula de Weil-Siegel .

Declaración de la fórmula de masa.

Si f es una forma cuadrática (o red) integral definida positiva de n dimensiones, entonces la masa de su género se define como

${\displaystyle m(f)=\sum _{\Lambda }{1 \over |{\operatorname {Aut} (\Lambda )}|}}$

donde la suma es sobre todas las formas integralmente no equivalentes en el mismo género que f , y Aut(Λ) es el grupo de automorfismos de Λ. La forma de la fórmula de masa dada por Conway y Sloane (1988) establece que para n  ≥ 2 la masa viene dada por

${\displaystyle m(f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod _{p{\text{ prime}}}2m_{p}(f)}$

donde m _p ( f ) es la p -masa de f , dada por

${\displaystyle m_{p}(f)={p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2} \over N(p^{r})}}$

para r suficientemente grande , donde p ^s es la potencia más alta de p que divide el determinante de f . El número N ( p ^r ) es el número de matrices X de n por n con coeficientes que son números enteros mod  p ^r tales que 

${\displaystyle X^{\text{tr}}AX\equiv A\ {\bmod {\ }}p^{r}}$

donde A es la matriz de Gram de f , o en otras palabras el orden del grupo de automorfismos de la forma reducida mod  p ^r . 

Algunos autores expresan la fórmula de la masa en términos de la densidad p -ádica.

${\displaystyle \alpha _{p}(f)={N(p^{r}) \over p^{rn(n-1)/2}}={p^{s(n+1)/2} \over m_{p}(f)}}$

en lugar de la p -masa. La p -masa es invariante bajo el cambio de escala f pero la p -densidad no lo es.

En los casos (triviales) de dimensión 0 o 1, la fórmula de masa necesita algunas modificaciones. El factor 2 delante representa el número de Tamagawa del grupo ortogonal especial, que es solo 1 en las dimensiones 0 y 1. Además, el factor 2 delante de m _p ( f ) representa el índice del grupo ortogonal especial en el grupo ortogonal. grupo, que es sólo 1 en 0 dimensiones.

Evaluación de la masa.

La fórmula de la masa da la masa como un producto infinito de todos los números primos. Esto se puede reescribir como un producto finito de la siguiente manera. Para todos menos un número finito de primos (aquellos que no dividen 2 det( ƒ )) la p -masa m _p ( ƒ ) es igual a la p-masa estándar std _p ( ƒ ), dada por

${\displaystyle \operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-{(-1)^{n/2}\det(f) \choose p}p^{-n/2})}\quad }$(para n  = tenue ( ƒ ) par)

${\displaystyle \operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}}$(para n  = tenue ( ƒ ) impar)

donde el símbolo de Legendre en la segunda línea se interpreta como 0 si p divide a 2 det( ƒ ).

Si todas las p -masas tienen su valor estándar, entonces la masa total es la masa estándar

${\displaystyle \operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\right)\zeta (2)\zeta (4)\dots \zeta (n-1)}$(Para n  impar)

${\displaystyle \operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\right)\zeta (2)\zeta (4)\dots \zeta (n-2)\zeta _{D}(n/2)}$(Para n  pares)

dónde

${\displaystyle \zeta _{D}(s)=\prod _{p}{1 \over 1-{{\big (}{\frac {D}{p}}{\big )}}p^{-s}}}$

D = (−1) ^{n /2}  det( ƒ )

Los valores de la función zeta de Riemann para números enteros pares s están dados en términos de números de Bernoulli por

${\displaystyle \zeta (s)={(2\pi )^{s} \over 2\times s!}|B_{s}|.}$

Entonces la masa de ƒ está dada como un producto finito de números racionales como

${\displaystyle m(f)=\operatorname {std} (f)\prod _{p|2\det(f)}{m_{p}(f) \over \operatorname {std} _{p}(f)}.}$

Evaluación de la p -masa

Si la forma f tiene una descomposición de Jordan p-ádica

${\displaystyle f=\sum qf_{q}}$

donde q pasa por potencias de p y f _q tiene determinante primo para p y dimensión n ( q ), entonces la p -masa viene dada por

${\displaystyle m_{p}(f)=\prod _{q}M_{p}(f_{q})\times \prod _{q<q'}(q'/q)^{n(q)n(q')/2}\times 2^{n(I,I)-n(II)}}$

Aquí n (II) es la suma de las dimensiones de todos los componentes de Jordan de tipo 2 y p  = 2, y n (I,I) es el número total de pares de constituyentes adyacentes f _q , f _{2 q} que son ambos de tipo I.

El factor Mp ( f _q ) se llama factor diagonal y es una potencia de p multiplicado _por el orden de un determinado grupo ortogonal sobre el campo con p elementos. Para p impar su valor está dado por

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}}$

cuando n es impar, o

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-p^{-n/2})}}$

cuando n es par y (−1) ^{n /2} d _q es un residuo cuadrático, o

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1+p^{-n/2})}}$

cuando n es par y (−1) ^{n /2} d _q es un no residuo cuadrático.

Para p  = 2, el factor diagonal M _p ( f _q ) es notoriamente complicado de calcular. (La notación es engañosa ya que depende no sólo de f _q sino también de f _{2 q} y f _{q /2} ).

• Decimos que f _q es impar si representa un entero impar de 2 ádicos, e incluso en caso contrario.
• El valor de octanaje de f _q es un número entero mod 8; si f _q es par su octanaje es 0 si el determinante es +1 o −1 mod 8, y es 4 si el determinante es +3 o −3 mod 8, mientras que si f _q es impar se puede diagonalizar y su octanaje El valor es entonces el número de entradas diagonales que son 1 mod 4 menos el número que son 3 mod 4.
• Decimos que f _q está ligada si al menos uno de f _{2 q} y f _{q /2} es impar, y decimos que es libre en caso contrario.
• El número entero t se define de modo que la dimensión de f _q es 2 t si f _q es par, y 2 t  + 1 o 2 t  + 2 si f _q es impar.

Entonces el factor diagonal M _p ( f _q ) viene dado de la siguiente manera.

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{-2t})}}$

cuando la forma está ligada o tiene valor de octanaje +2 o −2 mod 8 o

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1-p^{-t})}}$

cuando la forma es libre y tiene valor de octanaje −1 o 0 o 1 mod 8 o

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1+p^{-t})}}$

cuando la forma es libre y tiene valor de octanaje −3 o 3 o 4 mod 8.

Evaluación de ζ D ( s )

Los valores requeridos de la serie de Dirichlet ζ _D ( s ) se pueden evaluar de la siguiente manera. Escribimos χ para el carácter de Dirichlet con χ( m ) dado por 0 si m es par y el símbolo de Jacobi si m es impar. Escribimos k para el módulo de este carácter y k ₁ para su conductor, y ponemos χ = χ ₁ ψ donde χ ₁ es el carácter principal mod k y ψ ​​es un carácter primitivo mod k ₁ . Entonces ${\displaystyle {\left({\frac {D}{m}}\right)}}$

${\displaystyle \zeta _{D}(s)=L(s,\chi )=L(s,\psi )\prod _{p|k}\left(1-{\psi (p) \over p^{s}}\right)}$

La ecuación funcional para la serie L es

${\displaystyle L(1-s,\psi )={k_{1}^{s-1}\Gamma (s) \over (2\pi )^{s}}(i^{-s}+\psi (-1)i^{s})G(\psi )L(s,\psi )}$

donde G es la suma de Gauss

${\displaystyle G(\psi )=\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)e^{2\pi ir/k_{1}}.}$

Si s es un entero positivo entonces

${\displaystyle L(1-s,\psi )=-{k_{1}^{s-1} \over s}\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)B_{s}(r/k_{1})}$

donde B _s ( x ) es un polinomio de Bernoulli .

Ejemplos

Para el caso de redes unimodulares pares Λ de dimensión n  > 0 divisible por 8, la fórmula de masa es

${\displaystyle \sum _{\Lambda }{1 \over |\operatorname {Aut} (\Lambda )|}={|B_{n/2}| \over n}\prod _{1\leq j<n/2}{|B_{2j}| \over 4j}}$

donde B _k es un número de Bernoulli .

Dimensión n = 0

La fórmula anterior falla para n = 0 y, en general, la fórmula de la masa debe modificarse en los casos triviales cuando la dimensión es como máximo 1. Para n = 0 solo hay una red, la red cero, de peso 1, por lo que la masa total es 1.

Dimensión n = 8

La fórmula de masa da la masa total como

${\displaystyle {|B_{4}| \over 8}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}={1/30 \over 8}\;{1/6 \over 4}\;{1/30 \over 8}\;{1/42 \over 12}={1 \over 696729600}.}$

Hay exactamente una red unimodular par de dimensión 8, la red E8 , cuyo grupo de automorfismo es el grupo Weyl de E ₈ de orden 696729600, por lo que esto verifica la fórmula de masa en este caso. Smith originalmente dio una prueba no constructiva de la existencia de una red unimodular par de dimensión 8 utilizando el hecho de que la masa no es cero.

Dimensión n = 16

La fórmula de masa da la masa total como

${\displaystyle {|B_{8}| \over 16}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}{|B_{8}| \over 16}{|B_{10}| \over 20}{|B_{12}| \over 24}{|B_{14}| \over 28}={691 \over 277667181515243520000}.}$

Hay dos redes unimodulares pares de dimensión 16, una con sistema de raíces E ₈ ² y grupo de automorfismos de orden 2×696729600 ² = 970864271032320000, y otra con sistema de raíces D ₁₆ y grupo de automorfismos de orden 2 ¹⁵ 16. = 685597979049984000.

Entonces la fórmula de la masa es

${\displaystyle {1 \over 970864271032320000}+{1 \over 685597979049984000}={691 \over 277667181515243520000}.}$

Dimensión n = 24

Hay 24 redes pares unimodulares de dimensión 24, llamadas redes de Niemeier . La fórmula de masa para ellos está registrada (Conway y Sloane 1998, págs. 410–413).

Dimensión n = 32

La masa en este caso es grande, más de 40 millones. Esto implica que hay más de 80 millones de redes unimodulares pares de dimensión 32, ya que cada una tiene un grupo de automorfismo de orden al menos 2, por lo que contribuye como máximo con la mitad de la masa. Al refinar este argumento, King (2003) demostró que existen más de mil millones de redes de este tipo. En dimensiones superiores, la masa y, por tanto, el número de redes, aumenta muy rápidamente.

Generalizaciones

Siegel dio una fórmula más general que cuenta el número ponderado de representaciones de una forma cuadrática por formas de algún género; La fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel es el caso especial en el que una forma es la forma cero.

Tamagawa demostró que la fórmula de la masa era equivalente a la afirmación de que el número de Tamagawa del grupo ortogonal es 2, lo que equivale a decir que el número de Tamagawa de su grupo de espín simplemente conectado es 1. André Weil conjeturó de manera más general que el Tamagawa El número de cualquier grupo semisimple simplemente conexo es 1 , y Kottwitz demostró esta conjetura en 1988.

King (2003) dio una fórmula de masa para redes unimodulares sin raíces (o con un sistema de raíces determinado).

Ver también

• Identidad de Siegel

Referencias

• Conway, JH ; Sloane, NJA (1998), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5
• Conway, JH; Sloane, NJA (1988), "Enrejados de baja dimensión. IV. La fórmula de masa", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 419 (1988): 259–286, Bibcode :1988RSPSA.419..259C, CiteSeerX  10.1.1.24.2955 , doi :10.1098/rspa.1988.0107, JSTOR  2398465
• Eskin, Alex; Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1991), "Una prueba de la fórmula del peso de Siegel", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 1991 (5): 65–69, doi : 10.1155/S1073792891000090 , MR  1131433
• King, Oliver (2003), "Una fórmula de masa para redes unimodulares sin raíces", Matemáticas de la Computación , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT/0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72..839K, doi :10.1090/S0025-5718-02-01455-2.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1999), Aritmética de formas cuadráticas , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, ISBN 978-0-521-64996-4
• Minkowski, Hermann (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält", Acta Mathematica , 7 (1): 201–258, doi : 10.1007/BF02402203
• Siegel, Carl Ludwig (1935), "Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 36 (3): 527–606, doi :10.2307/1968644, JSTOR  1968644
• Smith, HJ Stephen (1867), "Sobre los órdenes y géneros de formas cuadráticas que contienen más de tres indeterminados", Actas de la Royal Society of London , 16 : 197–208, doi : 10.1098/rspl.1867.0036 , JSTOR  112491