El proceso Galton-Watson es un proceso estocástico ramificado que surge de la investigación estadística de Francis Galton sobre la extinción de apellidos . El proceso modela los apellidos como patrilineales (transmitidos de padre a hijo), mientras que la descendencia es aleatoriamente masculina o femenina, y los nombres se extinguen si la línea del apellido desaparece (los titulares del apellido mueren sin descendientes masculinos). Esta es una descripción precisa de la transmisión del cromosoma Y en genética y, por lo tanto, el modelo es útil para comprender los haplogrupos de ADN del cromosoma Y humano . Asimismo, dado que las mitocondrias se heredan sólo por línea materna, la misma formulación matemática describe la transmisión de las mitocondrias. La fórmula tiene una utilidad limitada para comprender las distribuciones reales de los apellidos, ya que en la práctica los apellidos cambian por muchas otras razones, y la desaparición de la línea del nombre es sólo un factor.
Entre los victorianos existía la preocupación de que los apellidos aristocráticos [ se necesita ejemplo ] se estuvieran extinguiendo.
En 1869, Galton publicó Hereditary Genius , en el que trataba la extinción de distintos grupos sociales.
Galton originalmente planteó una pregunta matemática sobre la distribución de apellidos en una población idealizada en una edición de 1873 de The Educational Times: [1]
Una nación grande, de la que sólo nos ocuparemos de los varones adultos, en número N , y cada uno de los cuales lleva apellidos distintos, coloniza un distrito. Su ley de población es tal que, en cada generación, el 0 por ciento de los varones adultos no tienen hijos varones que lleguen a la vida adulta; a1 tener uno de esos hijos varones; a2 tiene dos; y así hasta a5 que tiene cinco. Encuentre qué proporción de sus apellidos se habrán extinguido después de r generaciones; y cuántos casos habrá en que el apellido esté en manos de m personas.
El reverendo Henry William Watson respondió con una solución. [2] Juntos, escribieron un artículo de 1874 titulado "Sobre la probabilidad de la extinción de las familias" en el Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland (ahora el Journal of the Royal Anthropological Institute ). [3] Galton y Watson parecen haber derivado su proceso independientemente del trabajo anterior de IJ Bienaymé ; ver. [4] Su solución es incompleta, según la cual todos los apellidos se extinguen con probabilidad 1.
Bienaymé publicó la respuesta al problema en 1845, [5] con la promesa de publicar la derivación más tarde, sin embargo no se conoce ninguna publicación de su solución. (Sin embargo, Bru (1991) [6] pretende reconstruir la prueba). Se inspiró en Émile Littré [7] y Louis-François Benoiston de Châteauneuf (amigo de Bienaymé). [8] [9]
Cournot publicó una solución en 1847, en el capítulo 36 de De l'origine et des limites de la correspondencia entre l'algèbre et la géométrie. [10] El problema en su formulación es
Ronald A. Fisher en 1922 estudió el mismo problema formulado en términos de genética. En lugar de la extinción de los apellidos, estudió la probabilidad de que un gen mutante desapareciera finalmente en una población grande. [11] Haldane resolvió el problema en 1927. [12]
Agner Krarup Erlang era miembro de la prominente familia Krarup, que se estaba extinguiendo. En 1929 publicó póstumamente el mismo problema (su obituario aparece al lado del problema). Erlang murió sin hijos. Steffensen lo resolvió en 1930.
Para una historia detallada, ver Kendall (1966 [13] y 1975 [9] ) y [14] y también la Sección 17 de. [15]
Supongamos, por el bien del modelo, que el padre transmite los apellidos a todos los hijos varones. Supongamos que el número de hijos de un hombre es una variable aleatoria distribuida en el conjunto {0, 1, 2, 3, ...}. Supongamos además que el número de hijos de diferentes hombres son variables aleatorias independientes y que todos tienen la misma distribución.
Entonces, la conclusión matemática sustancial más simple es que si el número promedio de hijos de un hombre es 1 o menos, entonces es casi seguro que su apellido desaparecerá, y si es más de 1, entonces hay más de cero probabilidades de que sobreviva durante cualquier número dado de generaciones.
Las aplicaciones modernas incluyen las probabilidades de supervivencia de un nuevo gen mutante , o el inicio de una reacción nuclear en cadena , o la dinámica de los brotes de enfermedades en sus primeras generaciones de propagación, o las posibilidades de extinción de pequeñas poblaciones de organismos ; además de explicar (quizás lo más cercano al interés original de Galton) por qué sólo un puñado de hombres en el pasado profundo de la humanidad ahora tienen descendientes sobrevivientes de línea masculina, lo que se refleja en un número bastante pequeño de haplogrupos distintivos de ADN del cromosoma Y humano .
Un corolario de las altas probabilidades de extinción es que si un linaje ha sobrevivido, es probable que haya experimentado, puramente por casualidad, una tasa de crecimiento inusualmente alta en sus primeras generaciones, al menos en comparación con el resto de la población.
Un proceso de Galton-Watson es un proceso estocástico { X n } que evoluciona según la fórmula de recurrencia X 0 = 1 y
donde es un conjunto de variables aleatorias valoradas en números naturales, independientes y distribuidas de forma idéntica .
En analogía con los apellidos, X n puede considerarse como el número de descendientes (a lo largo de la línea masculina) en la enésima generación, y puede considerarse como el número de hijos (varones) de la jésima de estos descendientes. . La relación de recurrencia establece que el número de descendientes en la n + 1.ª generación es la suma, sobre todos los descendientes de la n.ª generación, del número de hijos de ese descendiente.
La probabilidad de extinción (es decir, la probabilidad de extinción final) está dada por
Esto es claramente igual a cero si cada miembro de la población tiene exactamente un descendiente. Excluyendo este caso (generalmente llamado caso trivial), existe una condición necesaria y suficiente simple, que se presenta en la siguiente sección.
En el caso no trivial, la probabilidad de extinción final es igual a 1 si E { ξ 1 } ≤ 1 y estrictamente menor que 1 si E { ξ 1 } > 1.
El proceso puede tratarse analíticamente utilizando el método de funciones generadoras de probabilidad .
Si el número de hijos ξ j en cada nodo sigue una distribución de Poisson con parámetro λ, se puede encontrar una recurrencia particularmente simple para la probabilidad de extinción total x n para un proceso que comienza con un solo individuo en el tiempo n = 0:
dando las curvas anteriores.
En el proceso clásico del apellido familiar Galton-Watson descrito anteriormente, solo es necesario considerar a los hombres, ya que solo los hombres transmiten su apellido a los descendientes. Esto significa efectivamente que la reproducción puede modelarse como asexual. (Asimismo, si se analiza la transmisión mitocondrial, sólo hay que considerar a las mujeres, ya que sólo las mujeres transmiten sus mitocondrias a la descendencia).
Un modelo que sigue más de cerca la reproducción sexual real es el llamado "proceso bisexual de Galton-Watson", donde sólo se reproducen parejas. [ cita necesaria ] ( Bisexual en este contexto se refiere a la cantidad de sexos involucrados, no a la orientación sexual ). En este proceso, se supone que cada niño es hombre o mujer, independientemente uno del otro, con una probabilidad específica, y un llamado La "función de apareamiento" determina cuántas parejas se formarán en una generación determinada. Como antes, la reproducción de diferentes parejas se considera independiente entre sí. Ahora bien, el análogo del caso trivial corresponde al caso de que cada macho y hembra se reproducen exactamente en una pareja, teniendo un descendiente macho y una hembra, y que la función de apareamiento toma el valor del mínimo del número de machos y hembras (que son entonces los mismos a partir de la siguiente generación).
Dado que la reproducción total dentro de una generación depende ahora en gran medida de la función de apareamiento, en general no existe ninguna condición necesaria y suficiente para la extinción final, como es el caso en el proceso clásico de Galton-Watson. [ cita necesaria ] Sin embargo, excluyendo el caso no trivial, el concepto de media de reproducción promediada (Bruss (1984)) permite una condición general suficiente para la extinción final, tratada en la siguiente sección.
Si en el caso no trivial la media de reproducción promedio por pareja permanece limitada a lo largo de todas las generaciones y no excede 1 para una población suficientemente grande, entonces la probabilidad de extinción final es siempre 1.
Citar ejemplos históricos del proceso Galton-Watson es complicado debido a que la historia de los apellidos a menudo se desvía significativamente del modelo teórico. En particular, se pueden crear nuevos nombres, los nombres existentes se pueden cambiar a lo largo de la vida de una persona y, históricamente, las personas a menudo han asumido nombres de personas no relacionadas, particularmente de la nobleza. Por lo tanto, un pequeño número de apellidos en la actualidad no es en sí mismo evidencia de que los nombres se hayan extinguido con el tiempo, o de que lo hayan hecho debido a la desaparición de líneas de apellidos; eso requiere que hubiera más nombres en el pasado y que mueren debido a la extinción de la línea, en lugar de que el nombre cambie por otras razones, como que los vasallos asuman el nombre de su señor.
Los nombres chinos son un ejemplo bien estudiado de extinción de apellidos: actualmente solo se utilizan unos 3.100 apellidos en China, en comparación con los cerca de 12.000 registrados en el pasado, [16] [17] y el 22% de la población comparte los nombres Li. , Wang y Zhang (que suman cerca de 300 millones de personas) y los 200 nombres principales que cubren el 96% de la población. Los nombres han cambiado o se han extinguido por diversos motivos como que las personas tomaran los nombres de sus gobernantes, simplificaciones ortográficas, tabúes contra el uso de caracteres del nombre de un emperador , entre otros. [17] Si bien la desaparición de las líneas de apellidos puede ser un factor en la extinción del apellido, de ninguna manera es el único ni siquiera un factor significativo. De hecho, el factor más importante que afecta la frecuencia de los apellidos es que otros grupos étnicos se identifican como Han y adoptan nombres Han. [17] Además, si bien han surgido nuevos nombres por diversas razones, esto se ha visto compensado por la desaparición de nombres antiguos. [17]
Por el contrario, algunas naciones han adoptado apellidos sólo recientemente. Esto significa que no han experimentado la extinción de apellidos durante un período prolongado y que los nombres se adoptaron cuando la nación tenía una población relativamente grande, en lugar de las poblaciones más pequeñas de la antigüedad. [17] Además, estos nombres a menudo se han elegido de forma creativa y son muy diversos. Ejemplos incluyen:
Por otro lado, algunos ejemplos de alta concentración de apellidos no se deben principalmente al proceso Galton-Watson:
Actualmente sólo se utilizan 3.100 apellidos en China [...] en comparación con casi 12.000 en el pasado. Una "disminución evolutiva" de los apellidos es común a todas las sociedades. [...] [P]ero en China, dice [Du], donde los apellidos se han utilizado durante mucho más tiempo que en la mayoría de los otros lugares, la escasez se ha agudizado.
