Función generadora de probabilidad

Serie de potencias derivadas de una distribución de probabilidad discreta

En teoría de probabilidad , la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una representación en serie de potencias (la función generadora ) de la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria . Las funciones generadoras de probabilidad se emplean a menudo por su descripción sucinta de la secuencia de probabilidades Pr( X = i ) en la función de masa de probabilidad para una variable aleatoria X y para hacer disponible la teoría bien desarrollada de series de potencias con coeficientes no negativos.

Definición

Caso univariado

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores x en los números enteros no negativos {0,1, ...}, entonces la función generadora de probabilidad de X se define como ^[1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

donde es la función de masa de probabilidad de . Nótese que las notaciones con subíndice y se usan a menudo para enfatizar que pertenecen a una variable aleatoria particular y a su distribución . La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los números complejos con ; el radio de convergencia suele ser mayor. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle p_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<1}$

Caso multivariado

Si X = ( X ₁ ,..., X _d ) es una variable aleatoria discreta que toma valores ( x ₁ ,..., x _d ) en la red entera no negativa d -dimensional {0,1, ...} ^d , entonces la función generadora de probabilidad de X se define como

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

donde p es la función de masa de probabilidad de X. La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los vectores complejos con ${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}$

Propiedades

Serie de potencias

Las funciones generadoras de probabilidad obedecen a todas las reglas de las series de potencias con coeficientes no negativos. En particular, , donde , x se acerca a 1 desde abajo de , ya que las probabilidades deben sumar uno. Por lo tanto, el radio de convergencia de cualquier función generadora de probabilidad debe ser al menos 1, según el teorema de Abel para series de potencias con coeficientes no negativos. ${\displaystyle G(1^{-})=1}$ ${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$

Probabilidades y expectativas

Las siguientes propiedades permiten la derivación de varias cantidades básicas relacionadas con : ${\displaystyle X}$

1. La función de masa de probabilidad de se recupera tomando derivadas de , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

   ${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$

2. De la propiedad 1 se deduce que si las variables aleatorias y tienen funciones generadoras de probabilidad iguales, , entonces . Es decir, si y tienen funciones generadoras de probabilidad idénticas, entonces tienen distribuciones idénticas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$ ${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. La normalización de la función de masa de probabilidad se puede expresar en términos de la función generadora mediante

   ${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}$

   La expectativa de está dada por ${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}$

   De manera más general, el momento factorial de está dado por ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$ ${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(X-k)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$

   Por lo tanto, la varianza de está dada por ${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$

   Finalmente, el momento bruto de X viene dado por ${\displaystyle k^{th}}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$

4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$donde X es una variable aleatoria, es la función generadora de probabilidad (de ) y es la función generadora de momentos (de ). ${\displaystyle G_{X}(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{X}(t)}$ ${\displaystyle X}$

Funciones de variables aleatorias independientes

Las funciones generadoras de probabilidad son particularmente útiles para trabajar con funciones de variables aleatorias independientes . Por ejemplo:

• Si es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente distribuidas de forma idéntica) que toman valores de números naturales, y ${\displaystyle X_{i},i=1,2,\cdots ,N}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}$

donde son números naturales constantes, entonces la función generadora de probabilidad está dada por ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}})}$.

• En particular, si y son variables aleatorias independientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)}$y

${\displaystyle G_{X-Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z)}$.

• En lo anterior, el número de variables aleatorias independientes en la secuencia es fijo. Supongamos que una variable aleatoria discreta toma valores en los números enteros no negativos, que es independiente de , y consideremos su función generadora de probabilidad . Si no solo son independientes sino que también se distribuyen de manera idéntica con una función generadora de probabilidad común , entonces ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle G_{N}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle G_{X}=G_{X_{i}}}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$

Esto se puede ver, utilizando la ley de la expectativa total , de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}}$

Este último hecho es útil en el estudio de los procesos de Galton-Watson y de los procesos compuestos de Poisson .

• Cuando no se supone que estén distribuidos de forma idéntica (pero aún así sean independientes e independientes de ), tenemos ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z)}$, dónde . ${\displaystyle f_{n}=Pr(N=n)}$

Para s distribuidos de manera idéntica, esto se simplifica a la identidad establecida anteriormente, pero el caso general a veces es útil para obtener una descomposición de mediante funciones generadoras. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S_{N}}$

Ejemplos

• La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria casi seguramente constante , es decir, una con y es ${\displaystyle Pr(X=c)=1}$ ${\displaystyle Pr(X\neq c)=0}$

${\displaystyle G(z)=z^{c}.}$

• La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria binomial , el número de éxitos en los ensayos, con probabilidad de éxito en cada ensayo, es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}$

Nota : es el producto β de la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Entonces, la función generadora de probabilidad de una moneda justa es

${\displaystyle G(z)=1/2+z/2.}$

• La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa en , el número de fallos hasta el éxito con probabilidad de éxito en cada ensayo , es ${\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}$ ${\displaystyle r^{th]}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}}$, que converge para . ${\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}$

Tenga en cuenta que este es el producto de la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria geométrica con parámetro en . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}$

• La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con parámetro de tasa es ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}$

Conceptos relacionados

La función generadora de probabilidad es un ejemplo de función generadora de una sucesión: véase también serie de potencias formales . Es equivalente a la transformada z de la función de masa de probabilidad y, a veces, se la denomina así.

Otras funciones generadoras de variables aleatorias incluyen la función generadora de momentos , la función característica y la función generadora de cumulantes . La función generadora de probabilidad también es equivalente a la función generadora de momentos factorial , que también puede considerarse para variables aleatorias continuas y de otro tipo. ${\displaystyle \operatorname {E} \left[z^{X}\right]}$

Notas

1. http://www.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap3.pdf ^{[ URL básica PDF ]}

Referencias

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas (2.ª edición). Wiley. ISBN  0-471-54897-9 (Sección 1.B9)