En esta página se enumeran algunos ejemplos de espacios vectoriales . Consulte espacio vectorial para conocer las definiciones de los términos utilizados en esta página. Consulte también: dimensión , base .
Notación . Sea F un cuerpo arbitrario como los números reales R o los números complejos C.
El ejemplo más simple de un espacio vectorial es el trivial: {0}, que contiene únicamente el vector cero (véase el tercer axioma en el artículo Espacio vectorial ). Tanto la suma de vectores como la multiplicación escalar son triviales. Una base para este espacio vectorial es el conjunto vacío , de modo que {0} es el espacio vectorial de dimensión 0 sobre F . Todo espacio vectorial sobre F contiene un subespacio isomorfo a este.
El espacio vectorial cero es conceptualmente diferente del espacio nulo de un operador lineal L , que es el núcleo de L . (Por cierto, el espacio nulo de L es un espacio cero si y sólo si L es inyectivo ).
El siguiente ejemplo más simple es el propio campo F. La suma de vectores es simplemente una suma de campos, y la multiplicación escalar es simplemente una multiplicación de campos. Esta propiedad se puede utilizar para demostrar que un campo es un espacio vectorial. Cualquier elemento distinto de cero de F sirve como base, por lo que F es un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo.
El campo es un espacio vectorial bastante especial; de hecho, es el ejemplo más simple de un álgebra conmutativa sobre F. Además, F tiene solo dos subespacios : {0} y F mismo.
Un ejemplo básico de un espacio vectorial es el siguiente. Para cualquier entero positivo n , el conjunto de todas las n -tuplas de elementos de F forma un espacio vectorial n -dimensional sobre F a veces llamado espacio de coordenadas y denotado F n . [1] Un elemento de F n se escribe
donde cada x i es un elemento de F . Las operaciones sobre F n se definen por
Comúnmente, F es el cuerpo de los números reales , en cuyo caso obtenemos el espacio de coordenadas real R n . El cuerpo de los números complejos da el espacio de coordenadas complejo C n . La forma a + bi de un número complejo muestra que C es en sí mismo un espacio vectorial real bidimensional con coordenadas ( a , b ). De manera similar, los cuaterniones y los octoniones son espacios vectoriales reales de cuatro y ocho dimensiones respectivamente, y C n es un espacio vectorial real de 2n dimensiones.
El espacio vectorial F n tiene una base estándar :
donde 1 denota la identidad multiplicativa en F .
Sea F ∞ el espacio de sucesiones infinitas de elementos de F tales que sólo un número finito de elementos son distintos de cero. Es decir, si escribimos un elemento de F ∞ como
entonces solo un número finito de los x i son distintos de cero (es decir, las coordenadas se vuelven todas cero después de un cierto punto). La suma y la multiplicación escalar se dan como en el espacio de coordenadas finito. La dimensionalidad de F ∞ es infinitamente numerable . Una base estándar consiste en los vectores e i que contienen un 1 en la ranura i -ésima y ceros en el resto. Este espacio vectorial es el coproducto (o suma directa ) de un número numerable de copias del espacio vectorial F.
Obsérvese el papel de la condición de finitud aquí. Se podrían considerar secuencias arbitrarias de elementos en F , que también constituyen un espacio vectorial con las mismas operaciones, a menudo denotadas por F N - ver más abajo. F N es el producto de un número contable de copias de F .
Por el lema de Zorn , F N tiene una base (no hay una base obvia). Hay una infinidad de elementos en la base. Puesto que las dimensiones son diferentes, F N no es isomorfo a F ∞ . Vale la pena señalar que F N es (isomorfo al) espacio dual de F ∞ , porque una función lineal T de F ∞ a F está determinada únicamente por sus valores T ( e i ) en los elementos base de F ∞ , y estos valores pueden ser arbitrarios. Por lo tanto, se ve que un espacio vectorial no necesita ser isomorfo a su doble dual si es de dimensión infinita, en contraste con el caso de dimensión finita.
A partir de n espacios vectoriales, o una colección infinitamente contable de ellos, cada uno con el mismo cuerpo, podemos definir el espacio producto como se muestra arriba.
Sea F m × n el conjunto de matrices m × n con entradas en F . Entonces F m × n es un espacio vectorial sobre F . La suma de vectores es simplemente una suma de matrices y la multiplicación escalar se define de la manera obvia (multiplicando cada entrada por el mismo escalar). El vector cero es simplemente la matriz cero . La dimensión de F m × n es mn . Una posible elección de base son las matrices con una única entrada igual a 1 y todas las demás entradas 0.
Cuando m = n la matriz es cuadrada y la multiplicación matricial de dos de estas matrices produce una tercera. Este espacio vectorial de dimensión n 2 forma un álgebra sobre un cuerpo .
El conjunto de polinomios con coeficientes en F es un espacio vectorial sobre F , denotado F [ x ]. La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de la manera obvia. Si el grado de los polinomios no tiene restricciones, entonces la dimensión de F [ x ] es infinitamente numerable . Si, en cambio, uno restringe a polinomios con grado menor o igual a n , entonces tenemos un espacio vectorial con dimensión n + 1.
Una posible base para F [ x ] es una base monomial : las coordenadas de un polinomio con respecto a esta base son sus coeficientes , y la función que envía un polinomio a la secuencia de sus coeficientes es un isomorfismo lineal de F [ x ] al espacio de coordenadas infinito F∞ .
El espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual a n se denota a menudo por P n .
El conjunto de polinomios de varias variables con coeficientes en F es un espacio vectorial sobre F denotado F [ x 1 , x 2 , ..., x r ]. Donde r es el número de variables.
Sea X un conjunto arbitrario no vacío y V un espacio vectorial arbitrario sobre F . El espacio de todas las funciones desde X hasta V es un espacio vectorial sobre F bajo la adición y multiplicación puntuales . Es decir, sean f : X → V y g : X → V dos funciones, y sea α en F . Definimos
donde las operaciones del lado derecho son aquellas en V . El vector cero está dado por la función constante que envía todo al vector cero en V . El espacio de todas las funciones desde X hasta V se denota comúnmente V X .
Si X es finito y V es de dimensión finita, entonces V X tiene dimensión | X |(dim V ), de lo contrario el espacio es de dimensión infinita (incontablemente si X es infinito).
Muchos de los espacios vectoriales que surgen en matemáticas son subespacios de algún espacio funcional. Damos algunos ejemplos más.
Sea X un conjunto arbitrario. Consideremos el espacio de todas las funciones desde X hasta F que se anulan en todos los puntos de X excepto en un número finito de puntos . Este espacio es un subespacio vectorial de F X , el espacio de todas las funciones posibles desde X hasta F . Para ver esto, observe que la unión de dos conjuntos finitos es finita, de modo que la suma de dos funciones en este espacio seguirá anulándose fuera de un conjunto finito.
El espacio descrito anteriormente se denota comúnmente ( F X ) 0 y se llama espacio de coordenadas generalizado por la siguiente razón. Si X es el conjunto de números entre 1 y n , entonces se ve fácilmente que este espacio es equivalente al espacio de coordenadas F n . Del mismo modo, si X es el conjunto de números naturales , N , entonces este espacio es simplemente F ∞ .
Una base canónica para ( F X ) 0 es el conjunto de funciones {δ x | x ∈ X } definidas por
La dimensión de ( F X ) 0 es, por tanto, igual a la cardinalidad de X . De esta manera podemos construir un espacio vectorial de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo. Además, todo espacio vectorial es isomorfo a uno de esta forma . Cualquier elección de base determina un isomorfismo al enviar la base sobre la canónica para ( F X ) 0 .
El espacio de coordenadas generalizado también puede entenderse como la suma directa de | X | copias de F (es decir, una para cada punto en X ):
La condición de finitud está incorporada en la definición de la suma directa. Compárese esto con el producto directo de | X | copias de F que daría el espacio de funciones completo F X .
Un ejemplo importante que surge en el contexto del álgebra lineal en sí es el espacio vectorial de aplicaciones lineales . Sea L ( V , W ) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V a W (ambos espacios vectoriales sobre F ). Entonces L ( V , W ) es un subespacio de W V ya que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar.
Obsérvese que L( F n , F m ) puede identificarse con el espacio de matrices F m × n de forma natural. De hecho, al elegir bases apropiadas para espacios de dimensión finita V y W, L(V,W) también puede identificarse con F m × n . Esta identificación normalmente depende de la elección de la base.
Si X es un espacio topológico , como el intervalo unitario [0,1], podemos considerar el espacio de todas las funciones continuas desde X hasta R. Este es un subespacio vectorial de R X ya que la suma de dos funciones continuas cualesquiera es continua y la multiplicación escalar es continua.
El subconjunto del espacio de todas las funciones de R a R que consiste en funciones (suficientemente diferenciables) que satisfacen una cierta ecuación diferencial es un subespacio de R R si la ecuación es lineal. Esto se debe a que la diferenciación es una operación lineal, es decir, ( a f + b g )′ = a f ′ + b g ′, donde ′ es el operador de diferenciación.
Supóngase que K es un subcuerpo de F (cf. extensión de cuerpo ). Entonces F puede considerarse como un espacio vectorial sobre K restringiendo la multiplicación escalar a elementos en K (la adición vectorial se define como normal). La dimensión de este espacio vectorial, si existe, [a] se denomina grado de la extensión. Por ejemplo, los números complejos C forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales R. Del mismo modo, los números reales R forman un espacio vectorial sobre los números racionales Q que tiene una dimensión infinita (incontable), si existe una base de Hamel. [b]
Si V es un espacio vectorial sobre F, también puede considerarse como un espacio vectorial sobre K. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula
Por ejemplo, C n , considerado como un espacio vectorial sobre los reales, tiene dimensión 2 n .
Aparte del caso trivial de un espacio de dimensión cero sobre cualquier cuerpo, un espacio vectorial sobre un cuerpo F tiene un número finito de elementos si y solo si F es un cuerpo finito y el espacio vectorial tiene una dimensión finita. Por lo tanto, tenemos F q , el único cuerpo finito (salvo isomorfismo ) con q elementos. Aquí q debe ser una potencia de un primo ( q = p m con p primo). Entonces, cualquier espacio vectorial n -dimensional V sobre F q tendrá q n elementos. Nótese que el número de elementos en V es también la potencia de un primo (porque una potencia de una potencia prima es nuevamente una potencia prima). El ejemplo principal de un espacio de este tipo es el espacio de coordenadas ( F q ) n .
Estos espacios vectoriales son de importancia crítica en la teoría de representación de grupos finitos , la teoría de números y la criptografía .
