Suma exponencial

Suma finita formada utilizando la función exponencial

En matemáticas , una suma exponencial puede ser una serie de Fourier finita (es decir, un polinomio trigonométrico ) u otra suma finita formada utilizando la función exponencial , generalmente expresada por medio de la función

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Por lo tanto, una suma exponencial típica puede tomar la forma

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

sumado sobre una secuencia finita de números reales x _n .

Formulación

Si permitimos algunos coeficientes reales a _n , para obtener la forma

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

Es lo mismo que permitir exponentes que son números complejos . Ambas formas son ciertamente útiles en aplicaciones. Una gran parte de la teoría analítica de números del siglo XX se dedicó a encontrar buenas estimaciones para estas sumas, una tendencia iniciada por el trabajo básico de Hermann Weyl en la aproximación diofántica .

Estimaciones

El objetivo principal del tema es que una suma

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

se estima trivialmente por el número N de términos. Es decir, el valor absoluto

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

por la desigualdad triangular , ya que cada sumando tiene valor absoluto 1. En aplicaciones, uno querría hacerlo mejor. Eso implica probar que se produce alguna cancelación, o en otras palabras, que esta suma de números complejos en el círculo unitario no es de números con el mismo argumento . Lo mejor que es razonable esperar es una estimación de la forma

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

lo que significa, hasta la constante implícita en la notación O grande , que la suma se asemeja a un paseo aleatorio en dos dimensiones.

Una estimación de este tipo puede considerarse ideal; es inalcanzable en muchos de los problemas principales y las estimaciones

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

Se deben utilizar funciones de tipo o(N) donde la función o( N ) representa solo un pequeño ahorro en la estimación trivial. Un "pequeño ahorro" típico puede ser un factor de log( N ), por ejemplo. Incluso un resultado aparentemente tan menor en la dirección correcta debe remitirse a la estructura de la secuencia inicial x _n para mostrar un grado de aleatoriedad . Las técnicas involucradas son ingeniosas y sutiles.

Una variante de la 'diferencia de Weyl' investigada por Weyl que implica una suma exponencial generadora

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

Fue estudiado previamente por el propio Weyl, quien desarrolló un método para expresar la suma como el valor , donde 'G' puede definirse mediante una ecuación diferencial lineal similar a la ecuación de Dyson obtenida mediante la suma por partes. ${\displaystyle G(0)}$

Historia

Si la suma es de la forma

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

donde ƒ es una función suave, podríamos usar la fórmula de Euler-Maclaurin para convertir la serie en una integral, más algunas correcciones que involucren derivadas de S ( x ), luego para valores grandes de a podría usar el método de "fase estacionaria" para calcular la integral y dar una evaluación aproximada de la suma. Los principales avances en el tema fueron el método de Van der Corput (c. 1920), relacionado con el principio de fase estacionaria , y el posterior método de Vinogradov (c. 1930).

El método del tamiz grande (c.1960), obra de muchos investigadores, es un principio general relativamente transparente; pero ningún método tiene una aplicación general.

Tipos de suma exponencial

Para formular problemas particulares se utilizan muchos tipos de sumas; las aplicaciones requieren normalmente una reducción a algún tipo conocido, a menudo mediante manipulaciones ingeniosas. En muchos casos, se puede utilizar la suma parcial para eliminar los coeficientes a _n .

Una distinción básica es entre una suma exponencial completa , que es típicamente una suma sobre todas las clases de residuos módulo algún entero N (o un anillo finito más general ), y una suma exponencial incompleta donde el rango de suma está restringido por alguna desigualdad . Ejemplos de sumas exponenciales completas son las sumas de Gauss y las sumas de Kloosterman ; estas son en cierto sentido análogos de campo finito o anillo finito de la función gamma y algún tipo de función de Bessel , respectivamente, y tienen muchas propiedades "estructurales". Un ejemplo de una suma incompleta es la suma parcial de la suma cuadrática de Gauss (de hecho, el caso investigado por Gauss ). Aquí hay buenas estimaciones para sumas sobre rangos más cortos que todo el conjunto de clases de residuos, porque, en términos geométricos, las sumas parciales se aproximan a una espiral de Cornu ; esto implica una cancelación masiva.

En la teoría se dan tipos auxiliares de sumas, por ejemplo , sumas de caracteres ; volviendo a la tesis de Harold Davenport . Las conjeturas de Weil tuvieron aplicaciones importantes para completar sumas con dominio restringido por condiciones polinómicas (es decir, a lo largo de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito).

Sumas de Weyl

Uno de los tipos más generales de suma exponencial es la suma de Weyl , con exponentes 2π si ( n ) donde f es una función suave de valor real bastante general . Estas son las sumas involucradas en la distribución de los valores

ƒ ( n ) módulo 1,

según el criterio de equidistribución de Weyl . Un avance básico fue la desigualdad de Weyl para tales sumas, para el polinomio f .

Existe una teoría general de pares de exponentes que formula estimaciones. Un caso importante es aquel en el que f es logarítmica, en relación con la función zeta de Riemann . Véase también el teorema de equidistribución . ^[1]

Ejemplo: la suma gaussiana cuadrática

Sea p un primo impar y sea . Entonces la suma gaussiana cuadrática está dada por ${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

donde las raíces cuadradas se toman como positivas.

Este es el grado ideal de cancelación que uno podría esperar sin ningún conocimiento a priori de la estructura de la suma, ya que coincide con la escala de un paseo aleatorio .

Modelo estadístico

La suma de exponenciales es un modelo útil en farmacocinética ( cinética química en general) para describir la concentración de una sustancia a lo largo del tiempo. Los términos exponenciales corresponden a reacciones de primer orden , que en farmacología corresponden al número de compartimentos de difusión modelados . ^{[2] [3]}

Véase también

• Lema de Hua

Referencias

1. Montgomery (1994) pág. 39
2. Hughes, JH; Upton, RN; Reuter, SE; Phelps, MA; Foster, DJR (noviembre de 2019). "Optimización de muestras de tiempo para determinar el área bajo la curva de datos farmacocinéticos mediante análisis no compartimental". The Journal of Pharmacy and Pharmacology . 71 (11): 1635–1644. doi :10.1111/jphp.13154. PMID  31412422.
3. Hull, CJ (julio de 1979). "Farmacocinética y farmacodinámica". British Journal of Anaesthesia . 51 (7): 579–94. doi : 10.1093/bja/51.7.579 . PMID  550900.

• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .

Lectura adicional

• Korobov, NM (1992). Sumas exponenciales y sus aplicaciones . Matemáticas y sus aplicaciones. Serie soviética. Vol. 80. Traducido del ruso por Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9.Zbl 0754.11022  .

Enlaces externos

• Una breve introducción a las sumas de Weyl en Mathworld