Exponente de Lyapunov

La tasa de separación de trayectorias infinitamente cercanas.

En matemáticas , el exponente de Lyapunov o exponente característico de Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza la tasa de separación de trayectorias infinitamente cercanas . Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio de fases con un vector de separación inicial divergen (siempre que la divergencia pueda tratarse dentro de la aproximación linealizada) a una velocidad dada por ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

$${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$$

¿Dónde está el exponente de Lyapunov? ${\displaystyle \lambda }$

La velocidad de separación puede ser diferente para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Por tanto, existe un espectro de exponentes de Lyapunov , igual en número a la dimensionalidad del espacio de fases. Es común referirse al mayor como exponente máximo de Lyapunov (MLE), porque determina una noción de previsibilidad para un sistema dinámico. Un MLE positivo generalmente se toma como una indicación de que el sistema es caótico (siempre que se cumplan algunas otras condiciones, por ejemplo, compacidad del espacio de fase). Tenga en cuenta que un vector de separación inicial arbitrario normalmente contendrá algún componente en la dirección asociada con el MLE y, debido a la tasa de crecimiento exponencial, el efecto de los otros exponentes se borrará con el tiempo.

El exponente lleva el nombre de Aleksandr Lyapunov .

Definición del exponente máximo de Lyapunov

El exponente máximo de Lyapunov se puede definir de la siguiente manera:

$${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}}$$

El límite asegura la validez de la aproximación lineal en cualquier momento. ^[1] ${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}$

Para un sistema de tiempo discreto (mapas o iteraciones de punto fijo) , para una órbita que comienza con esto se traduce en: ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}$$

Definición del espectro de Lyapunov

El vector líder de Lyapunov.

Para un sistema dinámico con ecuación de evolución en un espacio de fases de n dimensiones, el espectro de exponentes de Lyapunov ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$

$${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,}$$

atractormatriz jacobiana. ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}}$$

${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {\dot {Y}}=JY}$$

${\displaystyle Y_{ij}(0)=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x(0)}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle \Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))}$$

teorema de Oseledets ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

El conjunto de exponentes de Lyapunov será el mismo para casi todos los puntos de partida de un componente ergódico del sistema dinámico.

Exponente de Lyapunov para la linealización variable en el tiempo

Para introducir el exponente de Lyapunov, considere una matriz fundamental (por ejemplo, para la linealización a lo largo de una solución estacionaria en un sistema continuo), la matriz fundamental consiste en las soluciones linealmente independientes de la aproximación de primer orden del sistema. Los valores singulares de la matriz son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz . El mayor exponente de Lyapunov es el siguiente ^[2] ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)}$ ${\displaystyle \{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)^{*}X(t)}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$

$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.}$$

asintóticamente estable de Lyapunov

Efectos Perron de la mayor inversión de signos del exponente de Lyapunov

En 1930, O. Perron construyó un ejemplo de un sistema de segundo orden, donde la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov negativos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es inestable de Lyapunov. Además, en una determinada vecindad de esta solución cero, casi todas las soluciones del sistema original tienen exponentes de Lyapunov positivos. Además, es posible construir un ejemplo inverso en el que la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov positivos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es estable de Lyapunov. ^{[3] [4]} El efecto de inversión de signos de los exponentes de Lyapunov de las soluciones del sistema original y del sistema de primera aproximación con los mismos datos iniciales se denominó posteriormente efecto Perron. ^{[3] [4]}

El contraejemplo de Perron muestra que un exponente máximo de Lyapunov negativo no indica, en general, estabilidad, y que un exponente máximo de Lyapunov positivo no indica, en general, caos.

Por lo tanto, la linealización variable en el tiempo requiere una justificación adicional. ^[4]

Propiedades básicas

Si el sistema es conservador (es decir, no hay disipación ), un elemento de volumen del espacio de fase permanecerá igual a lo largo de una trayectoria. Por tanto, la suma de todos los exponentes de Lyapunov debe ser cero. Si el sistema es disipativo, la suma de los exponentes de Lyapunov es negativa.

Si el sistema es un flujo y la trayectoria no converge a un solo punto, un exponente es siempre cero: el exponente de Lyapunov correspondiente al valor propio de con un vector propio en la dirección del flujo. ${\displaystyle L}$

Importancia del espectro de Lyapunov

El espectro de Lyapunov se puede utilizar para dar una estimación de la tasa de producción de entropía, de la dimensión fractal y de la dimensión de Hausdorff del sistema dinámico considerado . ^[5] En particular a partir del conocimiento del espectro de Lyapunov es posible obtener la llamada dimensión de Lyapunov (o dimensión de Kaplan-Yorke ) , que se define de la siguiente manera: ${\displaystyle D_{KY}}$

$${\displaystyle D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}}$$

dimensión de información^[6]entropía de Kolmogorov-Sinaí^[7]dimensión de Lyapunov,^[8]dimensión de Lyapunovdifeomorfismo^[9] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{KY}}$

El inverso multiplicativo del mayor exponente de Lyapunov a veces se denomina en la literatura tiempo de Lyapunov y define el tiempo característico de plegado electrónico . Para órbitas caóticas, el tiempo de Lyapunov será finito, mientras que para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico

Puntos dentro y fuera del conjunto de Mandelbrot coloreados por el exponente de Lyapunov.

Generalmente el cálculo de los exponentes de Lyapunov, tal como se definen anteriormente, no puede realizarse analíticamente y en la mayoría de los casos hay que recurrir a técnicas numéricas. Un ejemplo temprano, que también constituyó la primera demostración de la divergencia exponencial de trayectorias caóticas, fue llevado a cabo por RH Miller en 1964. ^[10] Actualmente, el procedimiento numérico más utilizado estima la matriz basándose en el promedio de varias aproximaciones en tiempo finito de la definición de límites . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Una de las técnicas numéricas más utilizadas y efectivas para calcular el espectro de Lyapunov para un sistema dinámico suave se basa en la ortonormalización periódica de Gram-Schmidt de los vectores de Lyapunov para evitar una desalineación de todos los vectores a lo largo de la dirección de expansión máxima. ^{[11] [12] [13] [14]} Se describe el espectro de Lyapunov de varios modelos. ^[15] Se introducen códigos fuente para sistemas no lineales como el mapa de Hénon, las ecuaciones de Lorenz, una ecuación diferencial de retardo, etc. ^{[16] [17] [18]}

Para el cálculo de los exponentes de Lyapunov a partir de datos experimentales limitados, se han propuesto varios métodos. Sin embargo, existen muchas dificultades al aplicar estos métodos y dichos problemas deben abordarse con cuidado. La principal dificultad es que los datos no exploran completamente el espacio de fase, sino que se limitan al atractor que tiene una extensión muy limitada (si es que tiene alguna) a lo largo de ciertas direcciones. Estas direcciones más delgadas o singulares dentro del conjunto de datos son las que están asociadas con los exponentes más negativos. Se ha demostrado que el uso de mapeos no lineales para modelar la evolución de pequeños desplazamientos del atractor mejora dramáticamente la capacidad de recuperar el espectro de Lyapunov, ^{[19] [20]} siempre que los datos tengan un nivel de ruido muy bajo. También se ha explorado la naturaleza singular de los datos y su conexión con los exponentes más negativos. ^[21]

Exponente local de Lyapunov

Mientras que el exponente (global) de Lyapunov da una medida de la previsibilidad total de un sistema, a veces resulta interesante estimar la previsibilidad local alrededor de un punto x ₀ en el espacio de fase. Esto se puede hacer a través de los valores propios de la matriz jacobiana J ⁰ ( x ₀ ) . Estos valores propios también se denominan exponentes locales de Lyapunov. ^[22] (Una advertencia: a diferencia de los exponentes globales, estos exponentes locales no son invariantes bajo un cambio no lineal de coordenadas).

Exponente condicional de Lyapunov

Este término normalmente se utiliza respecto a la sincronización del caos , en la que hay dos sistemas que se acoplan, normalmente de forma unidireccional de manera que hay un sistema de accionamiento (o maestro) y un sistema de respuesta (o esclavo). Los exponentes condicionales son los del sistema de respuesta, donde el sistema de accionamiento se trata simplemente como la fuente de una señal de accionamiento (caótica). La sincronización ocurre cuando todos los exponentes condicionales son negativos. ^[23]

Ver también

• Teoría del caos
• Mezcla caótica para una derivación alternativa
• La conjetura de Eden sobre la dimensión de Lyapunov
• Teoría del floquet
• Teorema de Liouville (hamiltoniano)
• Dimensión de Lyapunov
• Hora de Lyapunov
• Análisis de cuantificación de recurrencia.
• teorema de oseledets
• Efecto mariposa

Referencias

1. Cencini, M.; et al. (2010). Científico mundial (ed.). Caos De modelos simples a sistemas complejos . Científico mundial. ISBN 978-981-4277-65-5.
2. Temam, R. (1988). Sistemas dinámicos de dimensiones infinitas en mecánica y física . Cambridge: Springer-Verlag.
3. NV Kuznetsov; GA Leónov (2005). "Sobre la estabilidad por primera aproximación para sistemas discretos". Actas. 2005 Congreso Internacional Física y Control, 2005 (PDF) . vol. Volumen de actas 2005. págs. doi :10.1109/PHYCON.2005.1514053. ISBN 978-0-7803-9235-9. S2CID  31746738.
4. GA Leonov; NV Kuznetsov (2007). "Linealización variable en el tiempo y efectos Perron" (PDF) . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 17 (4): 1079-1107. Código Bib : 2007IJBC...17.1079L. CiteSeerX 10.1.1.660.43 . doi :10.1142/S0218127407017732. 
5. Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de las dimensiones del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.
6. Kaplan, J. y Yorke, J. (1979). "Comportamiento caótico de ecuaciones en diferencias multidimensionales". En Peitgen, HO y Walther, HO (eds.). Ecuaciones diferenciales funcionales y aproximación de puntos fijos . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-540-09518-7.
7. Pesin, YB (1977). "Exponentes característicos de Lyapunov y teoría ergódica suave". Matemáticas rusas. Encuestas . 32 (4): 55-114. Código bibliográfico : 1977RuMaS..32...55P. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001639. S2CID  250877457.
8. Kuznetsov, Nevada (2016). "La dimensión de Lyapunov y su estimación mediante el método Leonov". Letras de Física A. 380 (25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Código Bib : 2016PhLA..380.2142K. doi :10.1016/j.physleta.2016.04.036. S2CID  118467839.
9. Kuznetsov, Nevada; Alexeeva, TA; Leonov, GA (2016). "Invariancia de exponentes de Lyapunov y dimensión de Lyapunov para linealizaciones regulares e irregulares". Dinámica no lineal . 85 (1): 195-201. arXiv : 1410.2016 . doi :10.1007/s11071-016-2678-4. S2CID  119650438.
10. Miller, RH (1964). "Irreversibilidad en pequeños sistemas dinámicos estelares". La revista astrofísica . 140 : 250. Código bibliográfico : 1964ApJ...140..250M. doi :10.1086/147911.
11. Benettin, G.; Galgani, L.; Giorgilli, A.; Strelcyn, JM (1980). "Exponentes característicos de Lyapunov para sistemas dinámicos suaves y para sistemas hamiltonianos; un método para calcularlos todos. Parte 1: Teoría". Mecánica . 15 : 9–20. doi :10.1007/BF02128236. S2CID  123085922.
12. Benettin, G.; Galgani, L.; Giorgilli, A.; Strelcyn, JM (1980). "Exponentes característicos de Lyapunov para sistemas dinámicos suaves y para sistemas hamiltonianos; un método para calcularlos todos. Parte 2: Aplicación numérica". Mecánica . 15 : 21–30. doi :10.1007/BF02128237. S2CID  117095512.
13. Shimada, yo; Nagashima, T. (1979). "Un enfoque numérico del problema ergódico de los sistemas dinámicos disipativos". Progresos de la Física Teórica . 61 (6): 1605-1616. Código bibliográfico : 1979PThPh..61.1605S. doi : 10.1143/PTP.61.1605 .
14. Eckmann, J.-P.; Ruelle, D. (1985). "Teoría ergódica del caos y atractores extraños". Reseñas de Física Moderna . 57 (3): 617–656. Código bibliográfico : 1985RvMP...57..617E. doi :10.1103/RevModPhys.57.617. S2CID  18330392.
15. Sprott, Julien Clinton (27 de septiembre de 2001). Análisis de caos y series de tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198508403.
16. Sprott, Julien Clinton (26 de mayo de 2005). "Software de espectro exponencial de Lyapunov".
17. Sprott, Julien Clinton (4 de octubre de 2006). "Exponentes de Lyapunov para ecuaciones diferenciales de retardo".
18. Tomo, Nakamura (19 de octubre de 2022). "Sistemas no lineales y espectro de Lyapunov".
19. Bryant, P.; Marrón, R.; Abarbanel, H. (1990). "Exponentes de Lyapunov de series temporales observadas". Cartas de revisión física . 65 (13): 1523-1526. Código bibliográfico : 1990PhRvL..65.1523B. doi :10.1103/PhysRevLett.65.1523. PMID  10042292.
20. Marrón, R.; Bryant, P.; Abarbanel, H. (1991). "Cálculo del espectro de Lyapunov de un sistema dinámico a partir de una serie de tiempo observada". Revisión física A. 43 (6): 2787–2806. Código bibliográfico : 1991PhRvA..43.2787B. doi :10.1103/PhysRevA.43.2787. PMID  9905344.
21. Bryant, PH (1993). "Dimensiones de singularidad extensible para atractores extraños". Letras de Física A. 179 (3): 186-190. Código bibliográfico : 1993PhLA..179..186B. doi :10.1016/0375-9601(93)91136-S.
22. Abarbanel, IDH; Marrón, R.; Perrera, MB (1992). "Exponentes locales de Lyapunov calculados a partir de datos observados". Revista de ciencia no lineal . 2 (3): 343–365. Código Bib : 1992JNS....2..343A. doi :10.1007/BF01208929. S2CID  122542761.
23. Véase, por ejemplo, Pecora, LM; Carroll, TL; Johnson, Georgia; Mar, DJ; Heagy, JF (1997). "Fundamentos de sincronización en sistemas, conceptos y aplicaciones caóticos". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 7 (4): 520–543. Código Bib :1997Caos...7..520P. doi : 10.1063/1.166278 . PMID  12779679.

Otras lecturas

• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de las dimensiones del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.
• M.-F. Danca y NV Kuznetsov (2018). "Código Matlab para exponentes de Lyapunov de sistemas de orden fraccionario". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 25 (5): 1850067–1851392. arXiv : 1804.01143 . Código Bib : 2018IJBC...2850067D. doi :10.1142/S0218127418500670.
• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. y Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhague 2005 – libro de texto sobre el caos disponible bajo licencia de documentación gratuita
• Freddy Christiansen y Hans Henrik Rugh (1997). "Cálculo de espectros de Lyapunov con ortonormalización continua de Gram-Schmidt". No linealidad . 10 (5): 1063–1072. arXiv : chao-dyn/9611014 . Código bibliográfico : 1997Nonli..10.1063C. doi :10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Archivado desde el original el 25 de abril de 2006.
• Salman Habib y Robert D. Ryne (1995). "Cálculo simpléctico de exponentes de Lyapunov". Cartas de revisión física . 74 (1): 70–73. arXiv : chao-dyn/9406010 . Código Bib : 1995PhRvL..74...70H. doi :10.1103/PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.
• Govindan Rangarajan; Salman Habib y Robert D. Ryne (1998). "Exponentes de Lyapunov sin reescalado y reortogonalización". Cartas de revisión física . 80 (17): 3747–3750. arXiv : chao-dyn/9803017 . Código bibliográfico : 1998PhRvL..80.3747R. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.
• X. Zeng; R. Eykholt y RA Pielke (1991). "Estimación del espectro del exponente de Lyapunov a partir de series temporales cortas de baja precisión". Cartas de revisión física . 66 (25): 3229–3232. Código bibliográfico : 1991PhRvL..66.3229Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.
• E Aurell; G Boffetta; A Crisanti; G Paladín; Un Vulpiani (1997). "Previsibilidad a gran escala: una extensión del concepto de exponente de Lyapunov". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 30 (1): 1–26. arXiv : chao-dyn/9606014 . Código Bib : 1997JPhA...30....1A. doi :10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.
• F Ginelli; P. Poggi; Un Turchi; H Chaté; R Livi; Una política (2007). "Caracterización de la dinámica con vectores covariantes de Lyapunov" (PDF) . Cartas de revisión física . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Código Bib : 2007PhRvL..99m0601G. doi :10.1103/PhysRevLett.99.130601. hdl :2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Archivado desde el original (PDF) el 31 de octubre de 2008.

Software

• [1] R. Hegger, H. Kantz y T. Schreiber, Análisis de series temporales no lineales, TISEAN 3.0.1 (marzo de 2007).
• [2] El producto ChaosKit de Scientio calcula exponentes de Lyapunov entre otras medidas caóticas. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una demostración de Silverlight.
• [3] Archivado el 28 de junio de 2022 en Wayback Machine. El laboratorio de software de recreaciones matemáticas del Dr. Ronald Joe Record incluye un cliente gráfico X11, lyap, para explorar gráficamente los exponentes de Lyapunov de un mapa logístico forzado y otros mapas del intervalo unitario. También están disponibles los contenidos y páginas del manual del laboratorio de software mathrec.
• [4] El software de esta página fue desarrollado específicamente para el cálculo eficiente y preciso del espectro completo de exponentes. Esto incluye LyapOde para casos en los que se conocen las ecuaciones de movimiento y también Lyap para casos que involucran datos de series de tiempo experimentales. LyapOde, que incluye código fuente escrito en "C", también puede calcular los exponentes condicionales de Lyapunov para sistemas idénticos acoplados. Su objetivo es permitir al usuario proporcionar su propio conjunto de ecuaciones modelo o utilizar uno de los incluidos. No existen limitaciones inherentes en el número de variables, parámetros, etc. Lyap, que incluye código fuente escrito en Fortran, también puede calcular los vectores de dirección de Lyapunov y puede caracterizar la singularidad del atractor, que es la principal razón de las dificultades para calcular los más exponentes negativos de datos de series de tiempo. En ambos casos existe una extensa documentación y archivos de entrada de muestra. El software se puede compilar para ejecutarlo en sistemas Windows, Mac o Linux/Unix. El software se ejecuta en una ventana de texto y no tiene capacidades gráficas, pero puede generar archivos de salida que podrían trazarse fácilmente con un programa como Excel.

enlaces externos

• Efectos Perron de las inversiones de signos exponentes de Lyapunov