Dimensión de Lyapunov

En las matemáticas de sistemas dinámicos , el concepto de dimensión de Lyapunov fue sugerido por Kaplan y Yorke ^[1] para estimar la dimensión de Hausdorff de los atractores . Posteriormente, el concepto se ha desarrollado y justificado rigurosamente en varios artículos, y actualmente se utilizan varios enfoques diferentes para la definición de la dimensión de Lyapunov. Observe que los atractores con dimensión de Hausdorff no entera se denominan atractores extraños . ^[2] Dado que el cálculo numérico directo de la dimensión de Hausdorff de los atractores es a menudo un problema de alta complejidad numérica, las estimaciones a través de la dimensión de Lyapunov se difundieron ampliamente. La dimensión de Lyapunov recibió su nombre ^[3] en honor al matemático ruso Aleksandr Lyapunov debido a la estrecha conexión con los exponentes de Lyapunov .

Definiciones

Considérese un sistema dinámico , donde es el operador de desplazamiento a lo largo de las soluciones: , de EDO , , o ecuación diferencial , , con función vectorial continuamente diferenciable . Entonces es la matriz fundamental de soluciones del sistema linealizado y denotamos por , valores singulares con respecto a su multiplicidad algebraica , ordenados de manera decreciente para cualquier y . ${\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}$ ${\displaystyle t=0,1,...}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$

Definición a través de la dimensión de Lyapunov de tiempo finito

El concepto de dimensión de Lyapunov de tiempo finito y la definición relacionada de la dimensión de Lyapunov, desarrollados en los trabajos de N. Kuznetsov , ^{[4] [5]} son ​​convenientes para los experimentos numéricos donde solo se puede observar un tiempo finito. Consideremos un análogo de la fórmula de Kaplan-Yorke para los exponentes de Lyapunov de tiempo finito:

${\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},}$

${\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},}$

con respecto al conjunto ordenado de exponentes de Lyapunov de tiempo finito en el punto . La dimensión de Lyapunov de tiempo finito del sistema dinámico con respecto al conjunto invariante se define de la siguiente manera ${\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).}$

En este enfoque, el uso del análogo de la fórmula de Kaplan-Yorke está rigurosamente justificado por el teorema de Douady-Oesterlè, ^[6] que demuestra que para cualquier dimensión fija de Lyapunov en tiempo finito para un conjunto invariante cerrado y acotado es una estimación superior de la dimensión de Hausdorff: ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).}$

En busca de la mejor estimación de este tipo , la dimensión de Lyapunov se define de la siguiente manera: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).}$

Las posibilidades de cambiar el orden del límite de tiempo y del conjunto supremo se discuten, por ejemplo, en ^{[7] [8]}

Nótese que la dimensión de Lyapunov definida anteriormente es invariante bajo los difeomorfismos de Lipschitz . ^{[4] [9]}

Dimensión exacta de Lyapunov

Sea la matriz jacobiana en uno de los equilibrios que tiene valores propios reales simples: , entonces ${\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).}$

Si el supremo de las dimensiones locales de Lyapunov en el atractor global, que involucra todos los equilibrios, se alcanza en un punto de equilibrio, entonces esto permite obtener la fórmula analítica de la dimensión exacta de Lyapunov del atractor global (ver la conjetura de Edén correspondiente ).

Definición a través del enfoque de la física estadística y la ergodicidad

Siguiendo el enfoque de la física estadística y asumiendo la ergodicidad , la dimensión de Lyapunov del atractor se estima ^[1] mediante el valor límite de la dimensión local de Lyapunov de una trayectoria típica , que pertenece al atractor. En este caso y . Desde un punto de vista práctico, el uso riguroso del teorema de Oseledec ergódico , la verificación de que la trayectoria considerada es una trayectoria típica y el uso de la fórmula de Kaplan-Yorke correspondiente es una tarea desafiante (ver, por ejemplo, las discusiones en ^[10] ). Los valores límite exactos de los exponentes de Lyapunov de tiempo finito, si existen y son los mismos para todos los , se denominan absolutos ^[3] y se utilizan en la fórmula de Kaplan-Yorke . Se pueden encontrar ejemplos del uso riguroso de la teoría ergódica para el cálculo de los exponentes y la dimensión de Lyapunov en. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}$ ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}$ ${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}}$ ${\displaystyle u(t,u_{0})}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}$

Referencias

1. Kaplan J., Yorke J. (1979). "Ecuaciones diferenciales funcionales y aproximaciones de puntos fijos". Comportamiento caótico de ecuaciones diferenciales multidimensionales . Springer. págs. 204–227.
2. Ruelle D.; Takens F. (1971). "Sobre la naturaleza de la turbulencia". Communications in Mathematical Physics . 20 (3): 167–192. Bibcode :1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/bf01646553.
3. Frederickson, F.; Kaplan, J.; Yorke, E.; Yorke, J. (1983). "La dimensión de Liapunov de atractores extraños". Journal of Differential Equations . 49 (2): 185–207. Bibcode :1983JDE....49..185F. doi : 10.1016/0022-0396(83)90011-6 .
4. Kuznetsov, NV (2016). "La dimensión de Lyapunov y su estimación mediante el método de Leonov". Physics Letters A . 380 (25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Código Bibliográfico :2016PhLA..380.2142K. doi :10.1016/j.physleta.2016.04.036. S2CID  118467839.
5. Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Mokaev, TN; Prasad, A.; Shrimali, MD (2018). "Dimensión de Lyapunov de tiempo finito y atractor oculto del sistema de Rabinovich". Dinámica no lineal . 92 (2): 267–285. arXiv : 1504.04723 . doi :10.1007/s11071-018-4054-z. S2CID  254888463.
6. Douady, A.; Oesterle, J. (1980). "Dimensión de Hausdorff des atractores". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie A. 290 (24): 1135-1138.
7. Constantin, P.; Foias, C.; Temam, R. (1985). "Atractores que representan flujos turbulentos". Memorias de la American Mathematical Society . 53 (314): 1–67. doi :10.1090/memo/0314.
8. Eden, A.; Foias, C.; Temam, R. (1991). "Exponentes de Lyapunov locales y globales". Revista de dinámica y ecuaciones diferenciales . 3 (1): 133–177. Código Bibliográfico :1991JDDE....3..133E. doi :10.1007/bf01049491. S2CID  119490212.
9. Kuznetsov, N.; Alexeeva, T.; Leonov, G. (2016). "Invariancia de los exponentes de Lyapunov y la dimensión de Lyapunov para linealizaciones regulares e irregulares". Dinámica no lineal . 85 (1): 195–201. arXiv : 1410.2016 . doi :10.1007/s11071-016-2678-4. S2CID  254894000.
10. P. Cvitanovic; R. Artuso; R. Mainieri; G. Tanner y G. Vattay (2017). Caos: clásico y cuántico (PDF) . Instituto Niels Bohr.
11. Ledrappier, F. (1981). "Algunas relaciones entre la dimensión y los exponentes de Lyapounov". Communications in Mathematical Physics . 81 (2): 229–238. Bibcode :1981CMaPh..81..229L. doi :10.1007/bf01208896. S2CID  122105442.
12. Benedicks, M.; Young, L.-S. (1993). "Medidas de Sinai–Bowen–Ruelle para ciertos mapas de Henon". Inventiones Mathematicae . 112 (1): 541–576. Bibcode :1993InMat.112..541B. doi :10.1007/bf01232446.
13. Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2021). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.