Exponencial pletístico

En matemáticas , la exponencial pletística es un operador definido sobre series de potencias (formales) que, al igual que la función exponencial habitual , traduce la adición en multiplicación. Este operador exponencial aparece de forma natural en la teoría de funciones simétricas , como una relación concisa entre las series generadoras de polinomios simétricos homogéneos de múltiples variables , elementales y completos . Su nombre proviene de la operación denominada pletismo , definida en el contexto de los llamados anillos lambda .

En combinatoria , la exponencial pletística es una función generadora de muchas secuencias de números enteros , polinomios o series de potencias bien estudiadas, como el número de particiones de números enteros . También es una técnica importante en la combinatoria enumerativa de grafos no etiquetados y muchos otros objetos combinatorios. ^{[1] [2]}

En geometría y topología , la exponencial pletística de un determinado invariante geométrico/topológico de un espacio, determina el invariante correspondiente de sus productos simétricos. ^[3]

Definición, propiedades principales y ejemplos básicos

Sea un anillo de series de potencias formales en la variable , con coeficientes en un anillo conmutativo . Denote por ${\displaystyle R[[x]]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{0}[[x]]\subset R[[x]]}$

El ideal que consiste en series de potencias sin término constante. Entonces, dado , su exponencial pletístico está dado por ${\displaystyle f(x)\in R^{0}[[x]]}$ ${\displaystyle {\text{PE}}[f]}$

${\displaystyle {\text{PE}}[f](x)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f(x^{k})}{k}}\right)}$

donde es la función exponencial habitual. Se comprueba fácilmente que (escribiendo simplemente cuando se entiende la variable): ${\displaystyle \exp(\cdot )}$ ${\displaystyle {\text{PE}}[f]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[ll]{\text{PE}}[0]&=1\\{\text{PE}}[f+g]&={\text{PE}}[f]{\text{PE}}[g]\\{\text{PE}}[-f]&={\text{PE}}[f]^{-1}\end{aligned}}}$

Algunos ejemplos básicos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}[ll]{\text{PE}}[x^{n}]&={\frac {1}{1-x^{n}}},n\in \mathbb {N} \\{\text{PE}}\left[{\frac {x}{1-x}}\right]&=1+\sum _{n\geq 1}p(n)x^{n}\end{aligned}}}$

En este último ejemplo, es el número de particiones de . ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

La exponencial pletística también se puede definir para anillos de series de potencias en muchas variables.

Fórmula de suma de productos

La exponencial pletística se puede utilizar para proporcionar innumerables identidades de suma de productos. Esto es una consecuencia de una fórmula de producto para las propias exponenciales pletísticas. Si denota una serie de potencias formales con coeficientes reales , entonces no es difícil demostrar que: La expresión de producto análoga también se cumple en el caso de muchas variables. Un caso particularmente interesante es su relación con las particiones enteras y con el índice de ciclo del grupo simétrico . ^[4] ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ $${\displaystyle {\text{PE}}[f](x)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-a_{k}}}$$

Relación con funciones simétricas

Trabajando con variables , denotamos por el polinomio simétrico homogéneo completo , que es la suma de todos los monomios de grado  k en las variables , y por los polinomios simétricos elementales . Entonces, y se relacionan con los polinomios de suma de potencias: por las identidades de Newton , que pueden escribirse sucintamente, utilizando exponenciales pletísticos, como: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h_{n}\,t^{n}={\text{PE}}[p_{1}\,t]={\text{PE}}[x_{1}t+\cdots +x_{n}t]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}e_{n}\,t^{n}={\text{PE}}[-p_{1}\,t]={\text{PE}}[-x_{1}t-\cdots -x_{n}t]}$

Fórmula de Macdonald para productos simétricos

Sea X un complejo CW finito , de dimensión d , con polinomio de Poincaré donde es su k ésimo número de Betti . Entonces el polinomio de Poincaré del n ésimo producto simétrico de X , denotado , se obtiene a partir del desarrollo en serie: $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum _{k=0}^{d}b_{k}(X)\,t^{k}}$$ ${\displaystyle b_{k}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}(X)}$ $${\displaystyle {\text{PE}}[P_{X}(-t)\,x]=\prod _{k=0}^{d}\left(1-t^{k}x\right)^{(-1)^{k+1}b_{k}(X)}=\sum _{n\geq 0}P_{\operatorname {Sym} ^{n}(X)}(-t)\,x^{n}}$$

El programa pletístico en física

En una serie de artículos, un grupo de físicos teóricos, entre ellos Bo Feng, Amihay Hanany y Yang-Hui He , propusieron un programa para contar sistemáticamente operadores invariantes de calibre de traza única y múltiple de teorías de calibre supersimétricas . ^[5] En el caso de las teorías de calibre de D-branas que investigan las singularidades de Calabi-Yau , este conteo está codificado en el exponencial pletístico de la serie de Hilbert de la singularidad.

Referencias

1. Pólya, G.; Read, RC (1987). Enumeración combinatoria de grupos, gráficos y compuestos químicos. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4612-4664-0. ISBN 978-1-4612-9105-3.
2. Harary, Frank (1 de febrero de 1955). "El número de grafos lineales, dirigidos, con raíz y conexos". Transactions of the American Mathematical Society . 78 (2): 445–463. doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0068198-2 . ISSN  0002-9947.
3. Macdonald, IG (1962). "El polinomio de Poincaré de un producto simétrico". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 58 (4): 563–568. Bibcode :1962PCPS...58..563M. doi :10.1017/S0305004100040573. ISSN  0305-0041. S2CID  121316624.
4. Florentino, Carlos (7 de octubre de 2021). "Cálculo exponencial pletístico y polinomios característicos de permutaciones" (PDF) . Discrete Mathematics Letters . 8 : 22–29. arXiv : 2105.13049 . doi :10.47443/dml.2021.094. ISSN  2664-2557. S2CID  237451072.
5. Feng, Bo; Hanany, Amihay; He, Yang-Hui (2007-03-20). "Contando invariantes de calibre: el programa pletístico". Journal of High Energy Physics . 2007 (3): 090. arXiv : hep-th/0701063 . Bibcode :2007JHEP...03..090F. doi :10.1088/1126-6708/2007/03/090. ISSN  1029-8479. S2CID  1908174.